CC BY
9
Ю.В. Курышова
УДК 517.984
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ УЗЛОВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ОПЕРАТОРОВ
В статье доказывается единственность восстановления потенциала д Е Е Ь2(0,п) интегродифференциального оператора Ь(д,М), заданного выражением
X
0
и краевыми условиями
у(0) = у (п) = 0,
по так называемым узлам — нулям собственных функций (СФ). Суммируемая функция М(ж,£) полагается известной.
Узлы как спектральные данные (СД) появились впервые в работе Джойс Маклахлин [1], где доказывалась единственность восстановления классического оператора Штурма - Лиувилля по узлам. С тех пор вышла целая серия работ разных авторов, где по узлам восстанавливались различные виды дифференциальных операторов (см. литературу в [2, 3]). Для указанного интегродифференциального оператора обратная узловая задача рассматривается впервые. Следует отметить, что даже если брать в качестве СД не все узлы, а их подмножество, например, по одному узлу от каждой СФ, то обратная задача будет переопределена (это есть следствие того, что узлы несут в себе больше информации о задаче, чем, например, данные Борга или Левинсона). Но постановка обратных задач по узлам может способствовать развитию теории для некоторых классов операторов, в частности, для интегродифференциальных операторов.
Как отмечено в [4], прямая задача для оператора Ь(д,М) исследуется аналогично Ь(д, 0). Приведем из [4] необходимые сведения. Обозначим {Ап собственные значения (СЗ) краевой задачи, которую обозначим так же как и оператор Ь(д, М)
1у = А у, (1)
у(0) = у (п) = 0. (2)
п
Не нарушая общности, будем предполагать, что и := 2п / = 0,
п о
чего всегда можно добиться сдвигом спектра. Асимптотика СЗ такова
.__к
Рп := у/АП = п + —, п Е N {кп}^=1 Е /2- (3)
ГП
Пусть S(x, Л) есть решение уравнения (1) с начальными условиями S(0, Л) = 0, S'(0^) = 1. Для этого решения имеет место следующее представление:
x
ЛЛ sin px ÍT _ ,sin pt 1 л 2
S(x, Л) =-— + K(x,t)-—dt, Л = p2, (4)
pp
0
где ядро K(x,t) - непрерывная, не зависящая от p функция. Функции S(x, Лп) являются СФ задачи (1), (2), а соответствующие СЗ совпадают с нулями характеристической функции задачи Д(Л) = S(п, Л), то есть
Д(ЛП) = S(п, Лп) = 0.
Из асимптотики СФ ясно, что начиная с некоторого номера N узлы задачи L(q, M) имеют те же свойства, что и узлы L(q, 0). То есть каждая n-я СФ имеет внутри интервала (0,п) ровно n нулей (n > N). Обозначим позицию j-го узла n-й СФ x^. Как ив [1], можно показать, что узлы образуют всюду плотное множество в (0,п) ив качестве СД можно рассматривать не все узлы, а лишь их плотное в (0,п) подмножество. Не указывая, как это делать, будем в данной работе считать, что X С {x^}, что и является выбранным плотным подмножеством узлов.
Рассмотрим наряду с задачей L(q, M) задачу L(q M) того же вида. Введем для неё объекты {ЛпS(x^), {x^}, ü аналогично задаче L(q, M). Требуем, чтобы ü = 0.
Имеет место следующая теорема единственности.
Теорема. Пусть даны задачи L(q,M) и L(q M) вида (1), (2). Если X = X, то q = q п.в. на (0,1).
Доказательство. Так как X - плотное в (0,1) множество, то для любой точки £ Е (0,1) найдется сходящаяся к £ подпоследовательность узлов из X, которую мы будем обозначать {xk}kEK. Далее, СЗ двух задач L(q, M) и L(q M) также рассмотрим для тех же индексов k Е K. Обозначим Sk(x) := S(x^k), Sk(x) := S(x^k). В силу определения этих функций имеем тождества:
x
-Sk' + qSk +/ M (x,t)Sk (t)dt = Лk Sk,
0
x
-S''k + qSk + / M(x, t)Sk(t)dt = ЛkSk.
0
Умножим первое из указанных тождеств на Sk (x), второе - на Sk (x) и почленно вычтем первое из второго, получим
- Б"кБк + - д)БкБк+
+ ! М(ж,Ь) (ёк(t)Sk(ж) - (Ь^к(ж)) (Ь = (Ак - Ак)^к.
Проинтегрируем последнее тождество в интервале (0,Жк). Учтём при этом, что тождество Штурма S'kSk - S"kSk = (^'кSk - S/kSk)' даст в силу начальных и краевых условий (в узловых точках) на Sk(ж) и Sk(ж) нулевой вклад в получившееся равенство
гхк
/ (д(ж) - q(x))Sk(ж)Sk(ж)(ж+ 'о
гхк гх .
+ / М(ж, Ь) (t)Sk(ж) - Sk(Ь^к(ж)) (Ь(ж =
"Хк
= (Ак - Ак) у Sk(ж)Sk(ж)(ж. (5)
В силу (4) и (3) и их аналогов для задачи Ь(дг, М) равномерно по ж имеем
^ (ж№. (ж) = 1 - ™2-ж + 0( 1),
(Ь)5к(ж) - (ОД.(ж) = 0(-¡з). (6)
Умножим обе части тождества (5) на тогда в силу представлений (5) и (6) его можно переписать как
/оХк й(ж) - д(ж)) (1-0рХ + 0(к)) (ж + /оХк /оХ М(ж, Ь)0( 1 )(Ь(ж =
2 , 1 ^\к>) ^ 1 J0 Jо Ак - А^ /оХк 0(1)(ж.
Перейдем к пределу в полученном тождестве при - ^ то. При этом в силу выбора подпоследовательности узлов ж к ^ £ при - ^ то. В силу асимптотики (3) для СЗ Ак - Ак = 0( 1) ^ 0, и, значит, предел правой части равен
к^то
нулю. В левой части второе слагаемое, очевидно, также в пределе даст нуль, а от первого в силу леммы Римана - Лебега останется ^ 1 (^(ж) - д(ж)) (ж. Таким образом,
г е
/ (¿/(ж) - д(ж)) (ж = 0. о
А так как £ - произвольно выбранная точка из (0,1), то д = д п.в. на (0,1). Теорема доказана.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и ННС (проекты 07-01-00003, 07-01-92000-ННС-а).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. McLaughlin J.R. Inverse theory Using Nodal Points as Data - A Uniqueness Result // J. Diff. Eq. 1988. Vol. 73, № 2. P. 354-362.
2. Cheng Y.-H., Lau C.K. The inverse nodal problems for Hill's equation // Inverse problems. 2006. Vol. 22. P. 891-901.
3. Lau C.K., Tsay J. On the well-posedness of the inverse nodal problem // Inverse problems. 2001. Vol. 17. P. 1493-1512.
4. Курышова Ю.В. Обратная спектральная задача для интегродифференциальных операторов // Мат. заметки. 2007. Т. 81, № 6. С. 855-866.
УДК 517.984
А.С. Луконина
О БАЗИСАХ РИССА ИЗ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ
В статье рассматривается оператор Ь, порожденный дифференциальным выражением:
/(у) = ву' (х) + у' (1 - х) + рх (х) у (х) + р2 (х) у (1 - х) , х е [0,1] , (1)
где в2 = 1, рI е Сх[0,1] (г = 1, 2) , и интегральным граничным условием:
1
и (у ) = / р К) у (О <Й = 0, р (() = ^ ^, (2)
0
где 1/2 < а < 1, к(£) е С[0,1] П V[0,1] и удовлетворяет соотношению
(к2 (0) - 72к2 (1)) (к2 (1) - 72к2 (0)) =0, 7 = в - ^в2-^. (3)
1
Г к (£)
Граничное условие схожего с (2) вида --—р— у (£) = 0 для опера-
( 1 ^1 )
-1
тора дифференцирования Ь0у = у'(х) было впервые рассмотрено А.М. Сед-лецким. Оператор (1),(2) при рх (х) = р2 (х) = 0 был подробно изучен А.П. Хромовым [1]. На основе этой работы для оператора (1), (2) автором была доказана равносходимость разложений по собственным и присоединенным функциям (в дальнейшем с.п.ф.) и в обычный тригонометрический ряд
