CC BY
10
А. С. Луконина
УДК 517.984
О СХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ И ПРИСОЕДИНЁННЫМ ФУНКЦИЯМ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО ОПЕРАТОРА С ИНТЕГ РАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ*
В статье рассматривается оператор L :
1{у) = $у'(х) + у'(\ - xh-pi(x)y{x)+p2{x)y{l - х) (1)
с интегральным граничным условием:
1 ил
U(y) = \p{t)y{l)dt = 0, pit) = , о<а < 1, (2)
где (3"" * 1, p,(x)eC'[0,l], (/=1,2); на к(г) накладываются условия:
а) k(t) е C[0,l] n K[0,l];
б) ¿2(1)-у2*2(0)*0 , Дг2(0)-у2Л:2(1)^0 , где у=Р-л/Э5Ч •
1 k(t)
Граничное условие схожего с (2) вида: J ^— v(t)dt — 0 для оператора у'(х) было впервые рассмотрено А. М. Седлецким. Оператор (1), (2) при р^(х)= р2{х)= 0 был подробно изучен А. Г1. Хромовым [1].
Для оператора (1), (2) устанавливается равносходимость разложений по собственным и присоединённым функциям (в дальнейшем - с.п.ф^ и в обычный тригонометрический ряд Фурье, а также аналог теоремы Жорда-на - Дирихле из теории тригонометрических рядов.
1. Резольвента оператора (1), (2). Обозначим через Rxf=(1-Л£)~'/, где Е — единичный оператор, X — спектральный параметр, резольвенту оператора L. Тогда R} f есть первая компонента вектора Гг(.г), Г=( ' \, z(x) - решение следующей краевой задачи в про-
VY U
странстве вектор-функций размерности два:
z'(x)+P1(x)z(x) = XDz{x)+F](x), ° p(r)d/=0, (3)
* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1) и РФФИ (проект 03-01-000169).
где 0=(С/ с1=-т-—, Р1{х)^ОТ-1Р(х)Т,
V0 -л)
Присутствие ненулевой матрицы /¡(х) является серьёзным препятствием в исследовании асимптотического поведения решения данной краевой задачи. Проведём преобразование системы (3), заменяющее РДх) на
матрицу с элементами о(|): Я(хД)=Яп(х)+уЯ| (х), где Я0(х) - диаго-нальная матрица с элементами /г,,(х)=ехр! - \, ри{х) (/=1,2) —
V О )
диагональные элементы матрицы /^(х), Я¡(х) - кодиагональная матрица, являющаяся единственным решением матричного уравнения Н'о (*)+ Ъ {х)но (*)+ {»I ~ ОН, (х))= 0. ЛЕММА 1. При больших |Х| неособое преобразование г=Я(хД)у приводит (3) к следующей краевой задаче:
у'(д:)+/\(х>(х)=Я,/)у(х)+^(х), ¿7(у)=#(я(хД>) = 0, (4)
где Рк(х)= ^Я4(х,Х)[Я;(х)+ Рх(х)Я,(х)], ^(х)= 1Г\х,ХЩх). к
Обозначим через область, получающуюся из полуплоскости
ЯеХс{> 0 удалением всех нулей функции й0 + а,еГ''" где
а0=А11(1)-й22(0)-{^(1)-у2^(0)), а, = (- 1)а(1 - Г' )(Лц(0)• ¿22 (0)+ А,, (1> И22(1)),
а2=(-1)2(в-1)йц(0)-А22(1)-(л2(0)-Т2*2(1)),
вместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса 80.
ЛЕММА 2. Пусть ЦхД)=Л1ХФ - решение краевой задачи:
м>'(х)=Х£Цх)+Ф(х), ¿7(н>)=0, где ф(х)=(ф,(х), ф2(х))Г, <р,.(х)е£[0,1 ], (г = 1,2). Тогда в области 56о при больших |>. справедливы оценки:
где | ■ || и • |х - нормы в пространстве вектор-функций размерности два /,[0,1] и |] соответственно,
1 йаф 1с[5,1-8 ]=°(е"Ы811ф11) дая любого 5б[°'|)'
Элементы матрицы Р} допускают оценку 0\— 1, следовательно, с учетом леммы 2 оператор Е + Я^ Рк обратим, а то с л а краевая задача (4) в области 56 имеети притом единственное решение V = (е+К} к Рх) 1 Л, > р) . Окончательно получаем, что есть первая компонента вектора
г я^.ф+ад^ад-
2. Равносходимость разложений но с.п.ф. оператора I и в тригонометрический ряд Фурье. С использованием оценок для У?Г/ Ф устанавливается утверждение, которое является ключевым моментом в доказательстве как теоремы равносходимости, так и аналога теоремы Жордана -Дирихле:
ЛЕММА 3. Для любой функции /(х)е /.[0,1] справедливо соотношение
lim
/ГЯ(хД)[(е + Ä, Р>У % Fx (*)- Яа Щ1 (х) F, (х)]л
=г
=0.
Следствие Если обозначить через !(к) первую компоненту вектора TH(x,l)Rn Щ1 (x)fj (д:), то lim max f(/?x (l)f - l{X))dk L 0.
r->coOäx<l
?J=r
ТЕОРЕМА 1. Для любой функции /'(x)ei[0.l] и для любого 5е| 0,-- j
имеет место соотношение
lim max \Sr(f,x)-aM(f,x)¡=0,
r-юО 8<*<1-6
где Sr(f,x) - частная сумма ряда Фурье по с.п.ф. оператора L для собственных значений, попавших в круг |^.j<r, oj¿i(/,x) - частная сумма тригонометрического ряда Фурье по системе {ехр2knix}~^_x, для тех к, для
которых 2\к\n<r'd\, d= r-L-=.
Vß2-1
3. Аналог теоремы Жордана - Дирихле о сходимости разложений по с.п.ф. оператора L. Имеет место
ТЕОРЕМА 2. Для /(x)eC[0,l]nK[0,l] и удовлетворяющей краевому условию £/(/)= 0 выполняется соотношение
lim max f(x) + — f'Rxfdk\ = 0. r-»aoOS*<ll 27V
Соотношение lim maxi/"(.*)-(----- 17(Л)сЛ, =0 доказывается, как и
r-»ooOS*£l|' 2.7111,1 !
теорема 2 в [1 ], а из него и следствия к лемме 3 вытекает утверждение теоремы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лромов А. П. Об аналоге теоремы Жордана - Дирихле для разложений по собственным функциям дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием // Докл. РАЕН. 2004. № 4. С. 80 - 87.
УДК 517.5
О. А. Лукьяненко О КОНСТАНТАХ ЛЕБЕГА ДЛЯ СИСТЕМЫ ВИЛЕНКИНА
Пусть Р = {р,}*10 - последовательность простых чисел, т = {т: }°10 -последовательность целых чисел, где т0 = 1, тыл = р1т!. Будем рассматривать функции Виленкина К„(х), е N0 = 14 и {О}, на группе Ст [1], элементами которой являются бесконечные последовательности х = (х0,х[,...), 0 <хк<рк, хк е N с групповой операцией х©>' = ((х0 + ^0)то(1/?0,(х| + )гпоё Р),...), х,уе С,„. Группа От может
Х1 х ■
быть отображена на отрезок [0,1 ] при помощи отображения х ]—> ^ —.
]=(>т}+1
Для каждого к е !\0, х е Сиопределим функции Радемахера равенством гк (х) = ехр(27ггх^ /'рк), 0 < хк < рк . Если п е N0, тогда для него существует единственное представление
И=2>Л, О<ак<рк, а*е!Ч0, (1)
к=0
го п-1
В этом случае У„(х)= У1гкк (х)- Пусть Оп(х)= ]!ГР,(х) ~ ЯДР° Дирихле
А* -0 1=0
[1, с. 9В], Д,(х)= К . (х)Ои(х) - модифицированное ядро Дирихле, где
п = а*т, - дополнительное число для п и а1 = (рг -- а, )тос1 т1.
1=0
Будем рассматривать представление числа п е N0 в виде
п = Ул(а1 ,п71 -,/Ял -,+... + а, ть I.
«2)1 1 *21-1 1 '2Н *2|-1 - *2( *21 '
1 = 1
= Р/ - <?/> У = ^2,-1 -1. *2/ 1 - 2,-, *2/ ■ (2)
70
