О суммируемости по Риссу спектральных разложений одного оператора с интегральным граничным условием Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кашин Б. С.,Саакян А. А. Ортогональные ряды. М.: А.ФЦ.1999.

2. Залманзон Л. А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. М.: Наука, 1989.

УДК 517.984

А. С. Луконина

О СУММИРУЕМОСТИ ПО РИССУ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ОДНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ1

В статье рассматривается оператор I., порожденный дифференциальным выражением:

1(у) = Р/(х) + /(1 - хУР]{х)у{х)+Р2(х)у{1 -х) (1)

и интегральным граничным условием:

и(у)= = = 0 < а < 1, (2)

о '

где р2 ру(л')бС'[0,1] (/=1,2); на к(г) накладываются условия:

а) *(г)еС[ОД]пГ[ОД],

б) А2(1)-у2Л2(0)^0 , А:2(0>-у2Л20)^0 >™е У = Р-Л/рМ.

Граничное условие схожего с (2) вида: £ у(г)Ж= 0 для опера-

тора у'{х) впервые было рассмотрено А. М. Седлецким. Оператор (1),(2) при р^(х)= р2(х)=0 был подробно изучен А. 11. Хромовым [1]. На основе этой работы для оператора (1),(2) автором была установлена равносходимость разложений по собственным и присоединённым функциям (в дальнейшем с.п.ф.) и в обычный тригонометрический ряд Фурье, а также получен аналог теоремы Жордана - Дирихле [2]. В настоящей статье исследуется суммируемость по Риссу разложений по с.п.ф. оператора (1),(2). Рассматриваются обобщенные средние Рисса следующего вида:

где Кх/ =(Ь-ХЕ)~ / - резольвента оператора Ь, Е - единичный оператор, X - спектральный параметр; г такие, что на окружности | X | = г нет собственных значений оператора Ь ; g{X,r) удовлетворяет условиям:

' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00003).

69

1) g\X,r) непрерывна по А. в круге |Х,| <г и аналитична по А. в круге ¡А,| < г при любом г > 0;

2) существует такая константа С, что j g(X,r) j < С Vr>0 и

(' v ^

3) существует v > 0, что g(re'arg\ г) = О -^-iargA.d j,

I 71 . л jl - n J 1

— ±argA.fi? <—, d=-rr=-

I2 I 2 VP -1

4) g(X,/■)->] при г—>ao и фиксированном X.

1. Резольвента оператора L. Нахождение R^f сводится к решению

краевой задачи в пространстве вектор-функций размерности два:

1

5m'(x)+P(x)u(x)=^w(x)+F(x), Ü(u)= ¡N(t)u{t)dt = 0, (3)

о

я fß Р( \ ( Р) м(Л М') 0

ГД£ Н -ßj' ^) = U(l-x) Р.0-Х)} mi 0

F(x) = (/(x), /(1-х)) (Т - знак транспонирования).

ЛЕММА 1. Если Я таково, что Rxf существует, то

и(х)={щ(х),и2{х))Т, где их{х) = Rx f, u2{x)=u\(l- х), удовлетворяет системе (3). И обратно: если и(х) удовлетворяет (3) и соответствующая однородная краевая задача имеет только тривиальное решение, то Rxf существует и R} f = Mj(х), и2(х)= щ(\ - х).

ЛЕММА 2. Если и(х) - решение (3), то w(x) = F~]и(х), Г=( ' 1,

\У U

является решением следующей краевой задачи:

w'(x)+P(x)w(x)=A.Dw(x)+F(x), £/(Г>)=0, (4)

где Р(х)=£>ГчР(х)Г, F(x)= DYaF(x), D = diag(d,-d). И наоборот: если н'(х) есть решение (4), то m(jc) = Гм>(х) является решением (3).

Присутствие ненулевой матрицы Р(х) является серьёзным препятствием в исследовании асимптотического поведения решения краевой задачи (4), преодолеть которое позволяет

ЛЕММА 3. Пусть Н(х,Х)=Н0(х)+~#|(х), где Н0(х) - диагональная матрица, Я, (х) - кодиагональная матрица, зависящие только от х и определяемые единственным образом из матричного уравнения Hq{x)+P(x)H0(x)+(H1(x)D-DH1(x))-0. Тогда при больших |A.j неособое преобразование w=H{x,X)z приводит (4) к следующей краевой задаче:

z'{x)+Px(x)z{x)=XDz(x)+Fx(x), U(z) = t/(r Я z) = 0, (5)

где ^(х)-^Я-,(хД)[я,'(х)+Р(х)Я1(х)], Fx(x)= H~\x,X)F(x).

Пусть hjj(x)^e\py- j*pjj(t)dt}, где pn(t) (y = 1,2) - диагональные элементы матрицы P(t). Обозначим через S5|) область, получающуюся из полуплоскости ReÄ.d>0 удалением всех нулей функции

a0 + a]e-kd +a2e'Ud, где ao=MO-Mo)-U2(lH2¿2(0)),

= (- 1Г "' С1 - Т2 (0)• ÄrCl)^,, (О) - Ä22(0)+ А,, (1) - А22(l>),

вместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса 60.

ЛЕММА 4. В области S&g при больших значениях (A. J Rxf есть первая компонента вектора ГЯ(х,А.) (e+R]XPx) 1 R\XF>оператор Л|;Ф для любого ф(х) = (ф1(х),(р|(х))г, фу(х)е ¿[0,1] (/=1,2), определяется по формуле

i ~f¡ Ra®= ¡g0(x,O-Mt)¿t- z(x,l)A~](X)Ü jg0(x,t,X)o(t)dt o Vo

где g0(x,t,X)=diag{g](x,t,X),g2{x,t,X)), g](x,t,X) = -e(t,x)e{x"')ixi, g2(x,t,X) = z(x,t)e^x~'),K'1, e(x,?)=l при t < x и нулю, в противном случае,

Z(x,X) = diag (exXd,e~xU ), A~'(X) = U(z(x,Ä.)).

2. Суммируемость по Риссу разложений по с.п.ф. оператора L.

Доказательство основного результата опирается на следующие утверждения.

ЛЕММА 5. Для любой функции /(x)e¿[o,l] имеет место

lim {|гя(л-я)[(£+/гид)-,/га^(х)-/гаЯ01(х)^(х)Л| |<л|=о,

г—><х> 1,1 II Ноо

где ¡I • ¡Ц - норма в пространстве вектор-функций размерности два L,r [0,1 ]. ЛЕММА 6. Если /(x)eC[0,l]

и удовлетворяет U(f)= 0, то существует последовательность функций /M(x)eC'[0,l], {/(/„)= 0, neN, сходящаяся к / по норме пространства С[0,1]. ТЕОРЕМА. Дтя /(x)eC[0,l]

и удовлетворяющей граничному условию £/(/)=0 выполняется соотношение lim ¡; fix)-Sr(x,/,g)¡Lrn= 0.

г —>x C[U,IJ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромов А. П. Об аналоге теоремы Жордана - Дирихле для разложений по собственным функциям дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием //Докл. РАЕН. 2004. № 4. С. 80 - 87.

2. Луконина А. С. О сходимости разложений по собственным и присоединённым функциям одного дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 67-70.

3. Гуревич А. П., Хромов А. П. Суммируемость по Риссу разложений по собственным функциям интегральных операторов // Изв. вузов. Сер. Математика. 2003. № 2 (489). С. 24-35.

o.A. Лукъяненко

УДК 517.51

о сходимости радов фурье - виленкина в пространствах лоренца по подпоследовательностям

Пусть (Р„)"=0 - система функций Виленкина [1] с образующей последовательностью (рк )" . Будем рассматривать вопросы сходимости рядов Фурье - Виленкина в пространствах Лоренца

/е ¿(о,.) 1/1

dt_ t

l/q

< +00

порожденных функцией Ч7, которая удовлетворяет следующим условиям:

1) x¥(t)>0 на (0,l], убывает на (0,l] и выпукла;

2) lim vF(i)=+oo;

/->0 +

i j 3) f---<+oo, —убывает на (0,ll;

0V(i> H'(r>

4) VpeN, 3С >0 такое, что — <

1 + -

C.

В [2] было доказано, что равенство

Ii/Ii, Y

III/II

IV,q

1 + logx

\l/<?

I

/1=1

и

определяет в пространстве Ач, ц норму, эквивалентную исходной нор-

ме ||/|