CC BY
43
точками показаны экспериментальные результаты), что доказывает эффективность разработанной математической модели МЛЧЭ.
список литературы
1. Гурвич А. М. Введение в физическую химию кристаллофосфоров. М.: Высш. школа, 1982. 376 с.
2. Chandra B. P., Khan M. S., Ansari M. H. Cleavage mechanoluminescence in crystals // Cryst. Res. Technol. 1998. N 2. P. 291—302.
3. Электронные свойства дислокаций в полупроводниках / Под ред. Ю. А. Осипьяна. М.: Эдиториал УРСС, 2000. 320 с.
4. Велиев З. А., Шикин В. Б. О движении заряженных дислокаций в полупроводниках А2В6 // Физика твердого тела. 1985. Т. 27, № 9. С. 2683—2686.
5. Нигматулин Р. И., Холин Н. Н. К модели упругопластической среды с дислокационной кинетикой пластического деформирования // Механика твердого тела. 1974. № 4. С. 131—146.
6. Гилман Дж. Микродинамическая теория пластичности М.: Металлургия, 1972. С. 18—37.
7. Прикладная электролюминесценция / Под ред. М. В. Фока. М.: Сов. радио, 1974. 416 с.
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
приборостроения и информационно- 27.02.08 г.
измерительных технологий
УДК 535.5
И. Е. Скалецкая, В. Т. Прокопенко
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики
НОВЫЕ ИНВАРИАНТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В ЭЛЛИПСОМЕТРИЧЕСКОМ МЕТОДЕ ИССЛЕДОВАНИЙ
Исследованы аналитические особенности решений основного уравнения эллип-сометрии Друде, выявлена несогласованность решений прямой и обратной задач Друде, определены новые инвариантные величины, связывающие минимум амплитудной функции отражения с показателем светоослабления при заданном показателе преломления.
Предметом исследования в настоящей статье является основная методологическая проблема амплитудно-фазового эллипсометрического метода анализа состояния поляризации светового поля. Эта проблема заключается в противоречии между высокой приборной чувствительностью метода, по сравнению с энергетическими спектральными методами, и недопустимой угловой зависимостью определяемых оптических констант исследуемых материалов при высоких значениях показателя дисперсионного поглощения прозрачных диэлектриков.
Теория метода эллипсометрии опирается на основное уравнение эллипсометрии (ОУЭ) Друде, связывающее амплитудно-фазовые параметры света, отраженного от объекта исследования, с искомыми оптическими константами материалов [1]:
ЕР отр ЕР отр
ЯР ЕРр ЕР
Яs Е5 отр Е5 отр
Е5 п Е5 п
ехр< I
Ар -Ар + А5 - А5
^отр ^п 1 п ^отр
(1)
Здесь Я — соотношение обобщенных коэффициентов Френеля (Яр и Я5) для р- и 5-компонент вектора электрического поля Е отр,п отраженной и падающей волны соответственно; у, А — экспериментально измеряемые амплитудно-фазовые характеристики поля отраженной световой волны.
Для модели идеальной границы раздела сред Френеля ОЭУ принимает вид
Я =
С08(фп +фПр )
С08(фп - фпр )
где фп, фпр — углы падения и преломления света соответственно. Рассмотрим свойства решений ОУЭ (2):
\2
(2)
п - ¡к
= Б1П фп
Л 4. ¡А ^
1 - • е
1 + 1§у • е
¡А
+1
2 2
п - к - i • 2пк = q - ¡г;
2/2 | п - к = q; I
у
п2 = к2 + q;
■2, „мЛ / >~\2
(3)
2пк = г, | (к2 + q)k2 = (г/ 2)2,
где п — показатель преломления света, к — показатель светоослабления, с явным представ лением г и q в следующем виде:
q = Б1п фп
1+
1§2 фп (соБ2 2у - бш2 2у • бш2 а) (1 + бш2 у • соБ А)2
г = Б1п фп
фп • Бт4у • бшА (1 + бш2 у • соБ А )2
(4)
у, фп, А,
160
100 >—
На рис. 1 графически представлены результаты решений прямой задачи эллипсометрии (1) для стекла в зависимости от различных значений показателя экстинкции (взятых в логарифмическом масштабе): кривая 1 характеризует изменение значений фазовой А-функции в экстремуме амплитудной \|/-функции, кривая 2 — поведение псевдобрюстеровских углов, кривая 3 — изменение экстремума у-функции. Представленные зависимости получены для псевдобрюстеровских углов при минимуме амплитудной функции. Видно, что псевдобрюсте- 7 ровские углы остаются постоянными в значи- ■ * тельном диапазоне показателей экстинкции, свойственных диэлектрикам и полупроводни- з кам, так как определяются в основном вещест- 0 оооооГ венной составляющей показателя преломления рис. 1 исследуемого материала, за исключением ме-
таллооптических материалов (к > 0,1). Это свойство постоянства в значительной области значений к характерно и для минимума амплитудной функции, который увеличивается при постоянстве псевдобрюстеровского угла в интервале нескольких сотых долей значений показателя экстинкции.
■—>1—&
0,0001
0,01
1 к
Одной из основных проблем эллипсометрии является вытекающая из уравнения (2) угловая зависимость оценки оптических констант. В таблице и на рис. 2 приведена зависимость функций у, А от угла падения фп, демонстрирующая поведение старших разрядов численных
решений, полученных при расчетах с удвоенной точностью, что гарантирует отсутствие артефактов. Здесь представлены точные аналитические решения прямой задачи эллипсометрии для металлоподобных материалов (n = 1,514, к = 1).
у, А,
180
90
А
10 20
30 40 50 Рис. 2
60 70 80 фп
В таблице приводятся точные значения у и А для нейтрального стекла марки НС-11 в соответствии с расчетными данными решений прямой задачи для этого стекла (см. рис.1). Значения п отличаются от априорной константы, равной 1,514, примерно с десятого знака после запятой. Значения к совпадают с априорным значением (к = 0,00002) только при углах псевдо-Брюстера. Легко заметить, что вне зоны „удовлетворительных" значений параметров наблюдается четкая тенденция слабой зависимости оптических констант от углов падения.
0
Фп, У (Фп) А (Фп) n (Фп) к (Фп)
45 17,1573207 179,999250 1,514000000364 1,0563850^ 10-5
50 10,043124 179,998055 1,514000000378 1,3981726^10-5
55 2,423181 179,988403 1,514000000382 1,8376010^10-5
60 5,378600 7Д52178-10-3 1,514000000363 2,4157466^10-5
65 13,036465 3,863374-10-3 1,514000000296 3,2052064^10-5
70 20,307360 3,122428-10-3 1,514000000121 4,3497838^10-5
75 27,078496 2,851078-10-3 1,513999999669 6,1841824 10-5
80 33,365809 2,7401498^10-3 1,513999998269 9,7138088^10-5
85 39,282290 2,696562^10-3 1,513999990506 1,9974942^10-4
В отличие от диэлектрических материалов, для металлов эта тенденция более ярко выражена (см. рис. 2, 3).
На рис. 3 приведены графики зависимостей оптических констант п и к от угла фп, представляющих точные аналитические решения обратной задачи ОУЭ по данным предыдущих решений прямой эллипсометрической задачи (по вычисленным у и А для п = 1,514, к = 1) при самосогласованной постановке задачи компьютерного моделирования при двойной точности расчета. При этом предполагается полное апостериорное воспроизведение априорных данных. Однако в действительности естественными, строго математическими решениями оказались угловые зависимости аналитических решений для функций п(ф) и к(ф). Анализ рис. 3 выявляет теоретическое свойство угловой зависимости оптических констант.
Обратимся теперь к предпосылкам существования инвариантных величин, которые логично назвать инвариантами Френеля — Брюстера. В поляризационной металлооптике [2] существует представление об инвариантах Кеттелера (1875 г.), описываемых выражениями (4).
Результаты точного расчета инвариантов Кеттелера 11 = q и 12 = г для стекла (п = 1,5, к = 1) представлены на рис. 4 в виде графиков зависимости этих функций от угла падения фп.
Очевидно, что инварианты Кеттелера относятся к кусочно-постоянным функциям в зоне малых углов и в окрестности угла псевдо-Брюстера.
п, к
50 40 30 20 10
Z
10 20 30 40 50 60 70 80 ф г Рис. 3
Il, I2* 10
0 -10 -20 -30
I1
15 25
35 45 55 65 75
Рис. 4
85 ф г
В соответствии с представлением амплитудно-фазовых функций (см. рис. 1) можно выявить стабильные инварианты: это относительно постоянное отношение /к при фиксированном значении вещественного показателя преломления п:
Уmin псевдобрюстеровский угол n + 1 _ constn
(5)
к 4П
Аналитическую оценку инварианта (5) задачи Друде (1) в модели идеальных границ раздела сред Френеля для псевдобрюстеровских углов резонно назвать новой инвариантной величиной метода эллипсометрии ymin /к = const n Френеля — Брюстера [3].
Общий вывод, который можно сделать по результатам компьютерного моделирования, заключается в том, что обратное конформное преобразование решений ОУЭ Друде (3) не только не равносильно, но даже не эквивалентно прямому преобразованию (2): ma priori ^ ^ у, А ^ ma posteriori ф ma priori. Причиной этого, по-видимому, является экспоненциально чувствительная тригонометрическая трансцендентность материальных уравнений Френеля со столь нелинейным характером, что взаимообратные конформные преобразования оказываются неидентичными друг другу.
В качестве примера применения методики определения показателя светоослабления, основанной на инвариантах Френеля — Брюстера, рассмотрим кристаллы нитрида бора (BN). Этот материал благодаря термомеханической прочности и химической стойкости является уникальным для космических технологий. Его основные физико-химические свойства хорошо изучены [4], за исключением оптических констант, оценка которых затруднительна вследствие сложной подготовки образцов и измерений их характеристик в более широкой области
к
0
I
2
5
для интегрирования по методу Крамерса — Кронига. Эти сверхпрочные кристаллы обладают опаловым (сильно поглощающим) белесым цветом и сильно развитой шероховатостью хорошо рассеивающих свет рабочих граней, обработка которых обычно производится столь же прочными порошками кристаллов карбида кремния.
С помощью стандартных эллипсометрических многоугловых измерений диффузно отражающих образцов нитрида бора на длине волны Не—№-лазера (Х=632,8 нм) оценены его показатели преломления для обыкновенного (п0= 1,765 ± 0,009) и необыкновенного (пе = 1,59 ± ± 0,01) лучей.
Показатель экстинкции этих кристаллов по инвариантам Френеля — Брюстера для выбранных показателей преломления можно оценить величинами ке= 0,06 и ко= 0,18.
список литературы
1. ГоршковМ. М. Эллипсометрия. М.: Сов. радио, 1974.
2. Пришивалко А. П. Отражение света от поглощающих сред. Минск, 1963.
3. Алексеев С. А., Прокопенко В. Т., Скалецкий Е. К. и др. Введение в прикладную эллипсометрию: / Учеб. пособие. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2005. Ч. 1.
4. Шарупин Б. Н. Структура и свойства пиронитрида бора. // Химическое газофазное осаждение тугоплавких неорганических материалов: Сб. Л.: ГИБХ, 1976. С. 66—101.
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
твердотельной оптоэлектроники 18.01.08 г.
