Aнализ методологических подходов к описанию поляризационно-оптических параметров полупроводниковых и диэлектрических материалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

4

ОПТИЧЕСКИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ

АНАЛИЗ МЕТОДОЛОГИЧЕСКИХ ПОДХОДОВ К ОПИСАНИЮ ПОЛЯРИЗАЦИОННО-ОПТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ И ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ

МАТЕРИАЛОВ О.В. Майорова, И.Е. Скалецкая, Е.Е. Орлова

Введение

Методы поляризационно-оптического анализа современных нанотехнологических материалов приобретают особую значимость благодаря развитой теоретической и экспериментальной базе. Поляризационно-оптические методы исследования материалов, по сравнению со спектрофотометрическими, обладают более высокой экспериментальной точностью измерений. Это связано с тем, что при поляризационно-оптической диагностике исследуются амплитудно-фазовые соотношения поля световой волны, а не ее энергетика.

Поляризационно-оптические параметры (ПОП) ¥ и А являются параметрами модуля и аргумента комплексной функции отношения обобщенных комплексных коэффициентов Френеля исследуемой оптической системы. Они входят в основное уравнение эллипсометрии (ОУЭ) Друде [1]:

=

ЕР отр ЕР отр

ЕР пад ЕР пад

Е* отр отр

Ея пад Ея пад

ехр{/[АРотр - Апад + Апад - Аотр (1)

Основные проблемы прикладной эллипсометрии, предназначенной для нахождения значений ПОП (1) по экспериментальным данным ((ф) =(эксп и А(ф) =Аэксп при разных углах падения света ф, состоят в корректности выбора оптической модели отражающей системы, адекватно описывающей ее материальные оптические параметры (МОП).

В качестве критерия корректности можно рассмотреть многоугловую С-функцию правдоподобия:

шах / \ / \ С = 2 ((экс (Ф у )-Утеор (Ф у ))2 + Ь} (А ЭкС (ф } )-А ^р (ф у )) (2)

3=1

Варианты методологических подходов

На рис. 1 представлена алгоритмическая схема автоматизированной обработки эл-липсометрических данных ПОП с целью нахождения подходящих по критерию (2) МОП для прикладных производственных задач.

На первом этапе этого алгоритма по данным ПОП, получаемых с помощью лазерного эллипсофотометра (ЛЭФ), производится выбор стартовой модели из банка процедур частных моделей. На следующем этапе выбирается пара конкурирующих моделей. По соответствующим значениям конкурирующих критериев (2) выбирается наиболее статистически значимая из них модель (по наименьшей величине невязок С).

При значении выбранного параметра правдоподобия О, удовлетворяющего наперед заданной точности (в), т.е. О < в, алгоритм выдает рабочий документ о найденных расчетных значениях МОП (п7, к7, 4) и выходит на завершение работы. При невыполнении критерия О производится корректировка параметров или выбранной текущей оптической модели с повторением уже рассмотренной части алгоритма.

Рис.1. Блок-схема алгоритма обработки эллипсометрических данных

В банке процедур аналитических моделей могут быть оптимальным образом представлены четыре основополагающих алгоритма решения ОУЭ Друде (1). 1. Оптическая модель идеальной границы Френеля: ехр{'Д} = К / т = п -'к; Ш] /да7-1,

Яр=

К=

_ Nт-1) - т )

ЫтСоЭ^т-1) + #т-1С°^(Фт ) = ^-^^Фт-1) - NmCos(Фт ) ^-^^Фт-1) + NmCos(Фт )

2. Модель однородного слоя:

5т

2п

Т

Ыт^^т ),

К =

К=

КШ-1,т + КШ,т+1 еХР{-2/5 ш }

1 + К-1,тКт,т+1 ехР{-2'5т }

К-1,ш + кШ,ш+1 ехр{-2?'5ш }

1 + К-1,шКШ,Ш+1 ехр{-2/'5т}.

3. Модель двухслойной оптической системы.

ЯР

Я = т-1,т

~К-т,ш+1 ехр{-215т} + Я

ехР{ 2г^т+1 } + Ят,т+1

1 + Я-1,тЯР,т+1 ехр{-2/^} + ЯР 1 ЯР

т-1,т^т,т+1^т+1,т + 2 еХр{ } + Ят,т+1 еХр { (^т-1 + ^я )}

Я*=

Я*

_ т-1,т

" Ят,т+1 еХр { } + Ят-1,тЯт,т+1 Ят+1,т+2

еХр{-2^+1} + К, т+1 еХр{-^т-1 + 5пг)}

1 + Ят-1,тЯтт+1 еХр{ } + Ят-1,тЯтт+1 Ят+1,т+2 '

еХр{-2^^+1} + К, т+1 еХр{-^т-1 + 5ш)}

4. Модель градиентно-неоднородных по глубине структур. Моделирование неоднородных по глубине оптических систем многослойной структурой с обобщенными комплексными коэффициентами Френеля для ортогональных компонент (у) в форме цепных дробей ЯТ(Я,ф):

ят(Я,Ф) =

1 - (й)2

Т1,2 +-

'1,2 т

ехр{^2}

V ч2

2,3 ^

1 - Г,)

ТТ +

2,3

ехр{^3}

ехр{£,}

Г3, у+1

1 - (у3+1)

ТТ +

V, у+1 ^

ехр{^у+1}

. +

ехр{£/-1}

'I-1,1

Здесь связь углов между слоями описывается инвариантным законом Снеллиуса: ту 8т(ф]) = Сопв1;(/).

Эллипсометрические параметры ОУЭ (1) 1§(()ехр{/А}= а + IЬ можно представить в виде

ашя ( а)

ат^| Ь | + п если а < 0

А =

если а, Ь > 0

а,

Ь

ат^\ — I + 2п если а > 0, Ь < 0

^ а )

( = атсг^\а2 + Ь2 .

Апробация рассмотренных алгоритмов при составлении контрольных примеров показала некоторое несоответствие между экспериментальными значениями экстинкции (к) для диэлектриков с соответствующими линейными коэффициентами поглощения (а) [2]

4п

исследуемых материалов, описываемой формулой а = — к (при Я=6328 А).

Я

Контрольные примеры

Для начала выявим проблемы простейшей задачи Друде (1) для диэлектриков с идеальными границами Френеля на примере эллипсометрического анализа оптических констант стекол марки НС.

V

Оптические стекла марки НС являются монохромными светофильтрами. Их спектры, представленные на рис. 2, существенно отличаются друг от друга по параметру поглощения (а) и обладают индифферентным ходом в видимом диапазоне спектра.

Рис. 2. Типовые спектры пропускания оптических стекол марки НС.

Типовой спектр пробного определения показателя преломления одного из стекол этой марки, аппаратно полученный на ЛЭФ фирмы К.Цейса, представлен на рис. 3. Эти данные характеризуют недостаточную калибровочную настройку спектроэллипсомет-ра.

Рис. 3. Аппаратный спектр показателя преломления стекла НС на ЛЭФ (К.Цейса)

Для определения компонент комплексного (т) показателя преломления п и к этого стекла на длине волны Не-№ лазера (632.8нм) рассмотрим спектры наиболее близких длин волн 630 нм и 640 нм, представленные на рис. 4.

Представленные на рис.3 и 4, а, в данные демонстрируют далеко не индифферентный характер ни по длинам волн ни по углам падения ф. Видно, что монотонное поведение угловых разверток искомых констант материала приходится на диапазон от 60° до 70°. Подобные осцилляции могут иметь природу приборных артефактов из-за не совсем качественной юстировки и метрологической проработки его программного обеспечения.

Контрольный пересчет первичной информации (рис. 5) представлен на рис.6. На рис. 5 представлены экспериментальные значения амплитудно-фазовых ¥-Л параметров поля линейно поляризованной монохроматической световой волны при двух выбранных длинах волн и всевозможных углах падения-отражения на воздухе.

а в

Рис. 4. Эмпирическая функция к(Л,ф) (а) и эмпирическая функция п(Л,ф) (в)

Расчеты констант материала, представленные на рис.6 а, в, выполнены по первой модели из пакета алгоритмов по формулам решения обратной задачи эллипсометрии:

Г 2 7 2

|n - k = а

(3)

2nk = в

где

а= Sin2 (ç)

tg2 (ç) [Cos2 (2^) - Sin2 (2^)Sin2 (Л)] (1 + Sin(2^)Cos^) )2

>, в = Sin2(ç)-

tg2 (ç) Sin(4^)Sin^) (1 + Sin(2¥)Cos^) )2

При замене переменных х = п и у = к система (3) принимает эквивалентный

вид:

[ х - у = а [(у + а) у = с

где, при введении обозначений с = в/4 и т = в/а, единственные решения принимают вид

I а

\/л/1 + Т -1

(4)

k=4y=j +и-1

n = 4X = J —vVl + т2 +1

Применяя к решениям (4) формулы сложного радикала, можно записать их в эквивалентном комплексном виде:

4а

k =

n = -

2 4а

Ï -т -V i -1 VT+Ït + V 1 - и

(5)

Разложение решений (4) по малому параметру (т^-0) оказывается справедливым при условии, что п = 1§(ф) и при пренебрежении что справедливо в области

минимума амплитудной функции у(фкб) или квазибрюстеровских углах падения фкб. В этом случае аналитический алгоритм оценки коэффициента экстинкции имеет вид

к - Ь _ 4п3 Г у5 " _ 2п " п2 +1 11 + 3

Г5-П-Л Г5 _ 1

где при ф < фкб 1 ' 1 ; при ф = фкб <! л , a при ф > фкб

I 3 _ -4у [3 _ 0

"|2п-Л|^ 0 Л^0 . 3- 4у

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

град.

tg(56.30)=1.50512 tg(56.60)=1.51657

Увеличение масштаба

52 53 54 55 56 57 5.8 59 60 61

Х=620 нм

40 45

—I-1-1—

50 55 60

Х=630 нм

Углы падения-отражения ф, гр. I I т

65 70 75 80 85 90

200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 О

А(Х;ф), град.

Х=620 нм

Х=630 нм

40 45 50

ф, гр.

Рис. 5. Первичные данные амплитудно-фазовых функций Ф(Л,ф)-Д(Л,ф) для стекла марки НС от углов падения света в воздухе на двух длинах волн (630 нм и 640 нм).

Таким образом, из (6) видно, что угловое поведение экстинкции к квадратично мало, при малых значениях обладает тенденцией роста в области до углов квазиб-рюстера из-за знака 0 вплоть до сильного роста при у^-150 и дробно-линейно возраста-

ет с ростом у после углов квазибрюстера при недостаточно сильном по каким-либо причинам спаде фазовой функции Л(ф). Все эти аналитические свойства видны как на ярко выраженных аппаратных решениях (см. данные рис. 4.а), так и на значительно улучшенных точных решениях по модели Френеля, представленных на рис. 6. а. Здесь до 51° проявляется тенденция завышения экстинкции, после 60° до 70° - оправданный по формуле (6) подъем, но на скользящих углах падения (за 80°) он становится неоправданно высоким.

Экстинкция (светоослабление) для трёх длин волн

1 поле -экспериментальные данные для 630 нм

0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

3 поле - линейная аппроксимация для 632.8нм

Ч\\и/

0

45

50

I I I

55 60 65

70 75\ 80. 85'^ 90

-ч—-

Рис.6.а. Корректировка значений экстинкции света, отраженного от стекла марки НС по формулам (4). Среднее значение k = 0.024 ± 0.004; размах ±0.011 (N=45, а=0.01)

Рис. 6. в. Расчетные значения показателя преломления света, отраженного от стекла марки НС при углах падения от 450 до 890. Среднее статистическое значение п = 1.5175 ± 0.0008 c размахом ±0.0025 при уровне значимости 0.001 (объем выборки

N=45).

Следовательно, алгоритм (3)-(6) хорошо корректирует аппаратные решения (см. рис. 4), они существенно сглаживаются, слабо воспроизводясь в точных решениях. Это легко объяснить погрешностями, связанными с потерей синхронности определения первичных эллипсометрических параметров (-А, особо значимыми для автоматических эллипсометров с вращающимися поляризационными элементами.

Из формул (5) при т = 0, естественно, получаются параметры идеального непо-глощающего диэлектрика: к=0 и п2 =а, подчиняющиеся при угле фкб закону Брюстера.

Оценка среднего значения показателя преломления контрольного образца НС по методу брюстеровских углов (см. рис. 5) дает значение п632 8=1.5 1 36 с размахом 0.0023. Это значение стыкуется с его средним угловым значением 1.5175 (см. рис. 6.в) на границах размахов: 1.5175 - 0.0025 ~ 1.5136 + 0.0023 = 1.516 (ГОСТ НС-11).

При оценке из графика рис.5 (вставка) значения минимума амплитудной функции у0=0.5° с помощью формулы (6) получаем оценку значения к=0.0397. Эквивалентное ему значение погонного поглощения равно а = 4лкД = (800±8) мм-1, что на четыре порядка выше коэффициента поглощения стекла НС-1 и в сотни раз выше, чем для стекла НС-11.

Учитывая то обстоятельство, что эллипсометы при углах Брюстера не могут работать (измерения вырождаются из-за неопределенности отсчета азимутов одного из поляризаторов), следует использовать численные методы аппроксимации хода амплитудной функции по способу пересечения касательных в точках перегиба слева и справа от его неизвестного минимума (см. рис. 5).Такая процедура хорошо работает.

В таблице приводятся известные значения констант для стекол НС-№ 1,2,9,11. Контрольный образец подходит к стеклу НС-11.

НС№ а, мм-1 к а (633нм) к ехр Па (633нм) Пехр

НС-1 0,08 4*10-7 0,02126 1,5210 1,5200

НС-2 0,26 1,2*10-6 0,01998 1,5230 1,5220

НС-9 0,55 2,5*10-6 0,01797 1,5050 1,5052

НС-11 1,80 2*10-5 0,0094 1,514 1,5160

Выводы

Представленный анализ простейшей оптической модели в пакете возможных аналитических алгоритмов современной прикладной эллипсометрии позволяет сказать, что простые методы:

• способны расширить диапазон устойчивости приборных решений;

• снижают погрешность осцилляционных шумов в решениях обратной задачи ОУЭ;

• показывают хорошую работу метода Брюстера для оценки показателя преломления;

• дают алгоритм идентификации нормальных спектров к(ф) и п(ф) эмпирических функций оптических констант от углов падения света в модели идеальных границ;

• допускают алгоритмы оценки показателя истинного поглощения вдали от центра линий поглощения в зоне квазибрюстеровских углов изменения функций ^-А(ф);

• дают способ выявления углового спектра АО на скользящих траекториях;

Фирмам-изготовителям ЛЭФ рекомендуется усилить метрологическую проработку методик и алгоритмов прямых и косвенных измерений с привлечением ведущих специалистов прикладной оптики.

Обнаруженный на скользящих углах падения феномен АО (рентгенооптический аналог эффекта Ионеды) нельзя объяснить методами традиционной эллипсометрии.

Литература

1. Горшков М.М. Эллипсометрия. М.: Советское радио, 1977.

2. Основы эллипсометрии. / Под ред. акад. Ржанова А.В.. Новосибирск: ИФПП СОАНСССР, 1986.