Методы коррекции решений задачи Васичека Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕТОДЫ КОРРЕКЦИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ВАСИЧЕКА О.В. Майорова, Е.Е. Орлова, Е.Б. Липкович, Л.К. Шандалова, Е.К. Скалецкий, З.С. Царев

Методами машинного эксперимента с решениями обратной задачи эллипсометрии выявлены свойства зависимости оптических констант материалов от углов падения света, начиная с модели идеальных границ раздела сред. На основе их анализа найдены методы машинной корректировки этих решений способами площадей и дифференцирования

Введение

Обратная задача эллипсометрии состоит в нахождении оптических констант материала п и к по амплитудно-фазовым параметрам У-Д поля световой волны, отраженной под любым углом ф от зеркальной границы исследуемого объекта.

Поле Е линейно поляризованного света с азимутом ориентации а раскладывается на две ортогональные волны Е8(ф)=ЕСоБ(а) и Ер(ф)=Е8т(а), которые по-разному складываются в результирующее поле после взаимодействия с веществом на границе раздела сред. Эти преобразования описываются коэффициентами Френеля Яр и Я8, входящими в основное уравнение эллипсометрии Друде (ОУЭ) [1] вида

Я= гш (У )ехр{гД} =

Яр Я

Ер отр Ер пад _ Ер отр

ЕР пад

Е* отр Е* пад Е* отр

Е* пад

ехр{г[Д р -А * + А * -А4

г I I. отр пад пад о

(1)

Рассмотрим решения обратной задачи эллипсометрии (1) для комплексного т = п-гк:

п - гк 1

= Бгп 2 (9)

Ш 9)

'1 - & (У у^2

1 + гш (У )е

гД

+ 1

У

^ п2 - к2 - г2пк = д - гг

(2)

в виде системы вещественных уравнений Кеттелера:

п2 = к2 + д

/„л2

,2 . „м 2

2 ; 2 п - к = д

о

2пк = г,

(к2 + д)к2 =

г V 2 у

(3)

с единственными положительно определенными аналитическими решениями (п2, к2 > 0):

д

к 2=-2 + 2

+

о

=2+12У2+(222

к = .

- 2+

+

(4)

п =

+

22 д 1 I г

+

2 У V 2

Явные выражения для г и д в (3) можно получить несколькими способами преобразования комплексного квадрата:

11 - гш (У)егД12

гД\ 2

(1 - гш (У)ега)

„¿Д\ 2

I (1 - гш (У)егД )212

Л

(1 - гш (У)егД )(1 + гш (У )е-Д )

гДчЛ 2

,1 + гш(У)е У (1 + гш(У)е )2 V1 - (ш(У)егЛ )2) V (1 + гш(У)е )(1 + гш(У)е )у Классики эллипсометрии [2] рассматривали последний способ этого преобразования:

1 - Я^ = 1 - £ш2(2У)[1 + &п2(Д)]

1 + Я) = [1 + Со*(Д)Жп(2У)]2 Следовательно,

- г-

&и(Д)&и(4У) [1 + Со*(Д)Жп(2У )]2

2

д= 5ш2 (ф)

г = £/'п2(ф)-

tg2 ф) \_Cos1 (2у) - Ъ1п2 (2у)Нш2 (А) ] (1 + &п(2у)Со5(А) )2

tg 2(ф Л'/п(4у/)Л'/п(А) (1 + Ът(2¥)^(А) )2

При замене переменных х=п и у=к система (3) принимает вид

Г X - у = ц

1(У + Ц)У = с,

где, при введении обозначений с = г2/4 и т = г/д, решения (4) записывают в виде:

1Ц + т2 - Н^ПЦ')

к = 4У =

п = 4Х =

2

(5)

Формулы (5) при ц^-0, т.е. п=к, обладают неопределенностью типа 0-го и не могут быть использованы при простом программировании.

Выражения (4) программируются легко. Разложение решений (5) по малому параметру (т^-0) возможно при условии п = 1§(ф) в пренебрежении 1§(у) ^ 0, что справедливо в области минимума амплитудной функции ¥(фу) при углах падения псевдо-Брюстера фу. В этом случае допустима аналитическая оценка экстинкции в виде:

к =

4п

у/5

2п п2 +1 11 + 3

(6)

где при ф < фкб

5 = |п-а|

^ 3 = -4у :

при ф = фкб

5 = 1

3 = 0

а при ф > фкб

5 =

2п-А|^ 0 А^0 . 3 = 4у

Таким образом, из (6) следует, что угловое поведение экстинкции к квадратично мало при малых значениях уб, обладает свойством роста в области до углов псевдо-Брюстера из-за знака 0 вплоть до сильного роста при у^-150 и дробно-линейным ростом от у после углов Брюстера в случае недостаточного спада величины А(ф) по аналитическим (из-за !§(90°)) либо экспериментальным причинам, например, при достаточно «грязных» измерениях.

Результаты машинного эксперимента

Постановка машинного эксперимента чрезвычайно проста - по априорным значениям п и к нужно найти решения прямой задачи эллипсометрии (1), по которым необходимо апостериорно восстановить те же константы.

На рис.1, 2 представлены машинные решения для слабопрозрачного стекла типа НС-11 и высокопрозрачного стекла К-8.

Поскольку коэффициенты Френеля справедливы для всевозможных углов, постольку и пересчет по ним априорных констант обязан иметь только систематические погрешности численного эксперимента, что и отражается на рис.1. Согласно (6), вне углов псевдо-Брюстера экстинкция в главном должна иметь тангенциальный характер роста (вблизи 900), и это четко просматривается на указанном рисунке.

Для полноты машинного эксперимента на рис.2 представлены аналогичные данные решений обратной задачи эллипсометрии на прозрачном оптическом стекле марки К-8 с априорными значениями констант п =1.514 и к=10-8. Из данных рис.2 видна согласованность этих решений с достаточно малой ошибкой восстановления заложенных

г

в них констант. Однако снова наблюдается четкая тенденция угловой зависимости оптических констант материала при наклонном падении света. В реальном опыте подобные искажения принимаются за артефакт обработки данных измерений, и, естественно, исключается сама возможность определения сверх малых коэффициентов поглощения таких стекол.

Показатель поглощения (экстинкция) для НС-11.

Рис.1. Машинные решения обратной задачи эллипсометрии для НС-11

Исторический (почти 150-летний) опыт решения задач металлооптики [3] показывает, что отмеченная тенденция имеет характер реальной закономерности - измеряемые оптические константы являются реалистичными функциями углов падения-отражения. И это тем более удивительно при определенном доминировании механизмов поглощения для металлов по сравнению с механизмами светорассеяния в них, говорящем о значимом совпадении показателя экстинкции именно с показателем поглощения материала, а не наоборот, как в случае с диэлектриками.

На рис.3 представлены данные машинного эксперимента по моделированию решений обратной задачи эллипсометрии для сильно поглощающих веществ (и=1.514,

£=1). Из этих данных следует, что тенденция угловой зависимости оптических констант п(ф) и £(ф) для диэлектриков у металлоподобных веществ переходит в определенную закономерность.

п0=&,

fi, deg.

Рис. 3. Результаты численного моделирования в системе п=1.514 и k=1.

Таким образом, ярко выраженная зависимость оптических констант материалов от углов падения монохроматического света вступает в противоречие с априорными дан-

ными и, более того, с физическими предпосылками классической теории Друде-Френеля.

В 1875 году Кеттелер обнаружил в амплитудно-фазовой металлооптике пару (г и д) инвариантных соотношений для правых частей в соотношениях (3). Васичек [4], в свою очередь, предложил алгоритм пересчета оптических констант, зависящих от углов падения, на их главные значения для нормального падения. Однако это не стало решением насущной проблемы ортодоксальной зависимости оптических констант от углов наблюдения при диагностике оптических сред.

На рис.4 представлены инварианты Кеттелера 11=д(п,к,ф) и /2=г(п,к,ф).

Рис. 4. Инварианты Кеттелера для сильно поглощающих веществ (к=1)

Из данных рис.4 видно, что инварианты Кеттелера с большим трудом можно отнести разве лишь к классу кусочно-постоянных величин в зоне малых углов и в окрестности углов Брюстера. Следовательно, нужно искать поправки к этой эллипсометриче-ской задаче Васичека.

Металлооптическая задача Васичека

Из литературного обзора следует, что в эллипсометрии не ставится задача о введении поправок в решениях ее обратных задач для разных углов падения - и Кеттелер, и Васичек искали пути пересчета констант на углы нормального падения, при которых обычно и производятся измерения по схеме Бугера-Ламберта-Бэра.

Рассмотрим алгоритмы возможной численной корректировки оптических констант при решении обратной задачи эллипсометрии по данным машинного моделирования решений (1).

Самый очевидный путь подобной корректировки следует из характера поведения этих решений, изображенных на рис.1,2 и 3. Основная черта этого поведения - обратный характер монотонности роста и спада у показателей экстинкции и преломления, соответственно.

На рис.1,2 для слабо поглощающих материалов наблюдается также тот факт, что истинная экстинкция совпадает с ее оценками на углах псевдо-Брюстера. Истинное же значение показателя преломления при его регулярном спаде приходится на угол, сдвинутый от угла Брюстера на интервал, площадь под которым равна площади нарастания

разностной функции абсолютной ошибки сР(ф)=к(ф)-к(фБр), отрицательной до фБр и положительной после этого угла минимума амплитудной функции.

Следовательно, критерий п2-п1=\Г(ф)ёф при обращении в 0 может служить численным способом (площадей) выбора «истинного» значения п0.

Более того, «истинная» материальная константа п0=СопБ1 при подходящем подборе нормирующего множителя (с) может быть восстановлена почти на всем интервале измерений от 0° до 89°, кроме, естественно, 90°, при котором режим численного роста экстинкции тангенциально велик (6):

П0(ф) = п(ф) + 1/с\( к(ф) - кБр)с1ф. (7)

Результат подобной корректировки для стекла марки НС-11 по данным машинного эксперимента с этим стеклом представлен на рис.5.

Корректировка показателя преломления НС-11 1,514005 и-

1,514--♦-♦-♦-♦-♦-♦-«мммммк

1,513995 --''

<1

< I

1,51399 --

1,513985 --

• >

1,51398 --

Угол падения, в град. 1,513975 ^-i-i-i-i-i-i-1

55 60 65 70 75 80 85 90

♦-Ф-Ф-ф-ф-ф-«МИМММк

Угол падения, в град.

Рис. 5. Восстановление показателя преломления НС-11 (см. рис.1)

Таким образом, алгоритм численного решения проблемы Васичека для слабо поглощающих материалов можно считать состоятельным.

Суть этой проблемы для комплексного показателя преломления m = n - ik может быть записана в дифференциальной форме:

d d . d ,

-m =-n - i-k = 0,

dp dp dp

что справедливо в следующих простых случаях: dd

—n = 0;—k = 0, ^ n, k = Const dp dp

или в более интересной интегральной постановке

—^—n = i-^k ^ n = i [ ■dk(p)dp. (8)

dp dp 0 dp

В силу симметрии связи дифференциалов n и k в (8) аналогично выполняется корректировка экстинкции по интегралам приращений функции преломления. Следовательно, материальные константы для слабо поглощающих материалов в принципе можно восстановить по их феноменологическим аналогам ny и ky .

Более сложная картина свойств существует в решениях обратной задачи для сильно поглощающих материалов (см. рис.3).

Главное из этих свойств - совпадение истинного показателя поглощения с его значением на углах псевдо-Брюстера, равно как и истинного показателя преломления с минимумом значений п(ф) в зоне перегиба фазовой функции (63°), совпадающей и с экстремумом амплитудной.

Из условия независимости (8) сопряженных компонент комплексного показателя преломления от углов ф в дифференциальной форме следует, что

п2 - п1 = I £'(ф) с1ф = к2 - к\. (9)

Действительно, небольшой фрагмент протабулированных решений для НС-11 с сильно поглощающим наполнителем к=1, приведенный в табл. 1, с точностью до 5% подтверждает это суждение (9).

Ф,град. У(Ф) Д(ф) П(ф) к(ф) П (ф) - П0 к (ф) - к0

62.5 20.14415 92.54000 1.514940 1.000945 0.000936 0.000941

62.7 20.14930 91.57336 1.514361 1.000374 0.000357 0.000370

62.8 20.15320 91.09646 1.514176 1.000184 0.000172 0.000180

63.1 20.17000 89.69260 1.514014 1.000015 0.000010 0.000011

63.2 20.17800 89.23364 1.514086 1.000095 0.000082 0.000091

63.4 20.19585 88.32930 1.514411 1.000466 0.000407 0.000462

63.5 20.20620 87.88400 1.514660 1.000758 0.000656 0.000754

Таблица 1. Табулограммы решений для металлоподобного НС-11

Следовательно, экзотическая на первый взгляд формула (8) площадей успешно решает проблему Васичека для металлооптических измерений по восстановлению константности материальных оптических констант среды в окрестности углов псевдо-Брюстера.

Для углов, меньших углов псевдо-Брюстера, применим рассмотренный ранее метод площадей от разностного показателя поглощения, близкого по величине к площади под кривой разностного показателя преломления. Это позволит и для малых углов (почти нормального падения света), в принципе, относительно успешно так же решать эту проблему Васичека.

Повторим аналитическое содержание этого алгоритма.

Предположим, что экстинкция состоит из дисперсионной (к) и угловой (ке) частей:

к(ф) = к + ке .

Предположим также, что дисперсионная часть к не зависит от углов ф, т.е. она -искомая постоянная, совпадающая с экстинкцией на углах фБр. Тогда знакопеременная функция разности

Дф) = к(ф) - к(фБр) = ке(ф) - ке(фБр)

уже не содержит постоянной неизвестной к и отражает индикатрисные свойства экс-тинкции. Ее производная ,Р(ф)>0 содержит аддитивную постоянную наклона ке при угле Брюстера (подгоночный параметр при численной обработке):

^Р'(ф) = к'е(ф) - к'е(фБр).

Следовательно, определенный с переменным верхним пределом от на-

чального фБр в интервале углов около 0 долго остается слабо растущей поправкой (из-за близких к нулю индикатрисных компонент Р(ф)) для слабо спадающего около нулевых углов показателя преломления. Т.е., это должна быть не простая аддитивная корректировка для функций роста преломления с перегибом в точке ее экстремума. Резонно простую аддитивность использовать до точки перевала от углов Брюстера, а после нее использовать интегральное ослабление поправки в виде дополнительного, тоже самонасыщающегося по численному значению, интеграла от фмакс(пмакс) до выбранного

верхнего предела ф. Этот экстремум роста показателя преломления (если он существует) можно найти путем прямой прогонки в рассматриваемой зоне углов, улучшив ее корректировку по формуле (9) с поправкой вида

n = n(p)+

| ^'(ф)ф - | H (ф)^'(ф)^ф

фБр фшш (пшах ) _

Для скользящих углов падения (вне зоны углов квази-Брюстера) простые методы численной корректировки найти непросто. Поэтому рассмотрим строгий дифференциальный метод расчета корректирующих функций для констант сильно поглощающих материалов.

Относительный комплексный показатель преломления для измерений на воздухе имеет следующие вещественные составляющие (2):

5n

5k

5N = 5n - i5k = =

N n - ik n - ik n - ik n 2 + k2

n + ik n + ik

5n - i 5k

n

2

5n

n2 + k2 I n

+ ■

k

2

n +

k2 I k

'5k ^ ( +i

k5n

n2 + k2 n5k

V n 2 + k 2 n 2 + k 2 J

5n

n

V n у

5k k

( 5n

( n у

+i

n

5k ^ k

n k n k

—+— —+—

V k n k n

= A + iB,

где

A =•

5n

n

( n ,

5k

T

( 5n 5k ^

i+( n

. 2 '

B =

n

k

n k n k

— + — —+—

v k n k n у

Правая часть 5N/N этого выражения также может быть представлена вещественными компонентами:

2Co sec2 (p)[SCtg (Y) - i5A] = 2Co sec2 (p)[5Ctg (Y) - i5A]

(1 + R- )[1 + R2 + 2RCo sec(2p)] Z

где q = ю + iQ, вариации 5Ctg(Y) = - 5Y/Sin2(Y), 5Y = (dY%) 5ф и 5A= (dA/dф)5ф при

[[ (Y) + Cos(A) f Ctg (Y) + tg (Y )Cos(2A) + ^TT

Sin(2p)

2

© =

Q = Sin(A)J Cos(2A) + 2Cos(A) + tg(Y)

Sin(2p)

+ Sn(A)[2Cos(A) +1] tg (Y)

- Cos(2A)

Освобождаясь от комплексности д в знаменателе, умножением на комплексно сопряженное значение д*, т.е. д д*= ю2 + й2 получим следующее выражение для относительной вариации показателя (погрешности)

Пф)

~ ~ 2Co sec2(p)r.. .. A + iB =-2-^-[iA-©]

a2 +Q2

Следовательно,

Sin2 (Y)

+ iA'(p)

5p.

A = -2

Co sec2(p)

© +Q2

©

Sin2(Y)

Y'(p) + QA'(p)

5p.

и

2

2

2

в = | п+к 1 = 1 п + к

I к п) I к п

а

Бгп 2(У)

У'(() -оЛ'(()

2Со вес2(()

о2 + а2

8(.

Сопоставляя левые и правые части комплексных выражений для относительной вариации относительного показателя преломления, приходим к системе уравнений для вариаций натуральных логарифмов искомых констант:

81п(п) + Гп>| 81п(к) = -2-2-Ц-2-

У к) 81п2(р)(о2 + а2)

о

&п2(У)

У'(() + аЛ'(()

8(р

81п(п) -81п(к) = -2—

2

1+(п),

у 4 у )

(10)

Ып \р){ю2 + а2)

оЛ'(()--:

а

&п2(У)

У' (()

8(

Исключая вариации логарифма от показателя преломления в системе (10), получаем вариационное уравнение для логарифма экстинкции вида:

81п(к) = 8(

- 2

(о2 + а2)&п2(()

о + а

к

п

$>1п (У)

у '(() + | а-Щл'(()

решение которого имеет очень простой, но экспоненциально чувствительный к числовому режиму вид:

к() = кБр ехР

(

- 2|

(Бр

о+ак / п.т„. ( к V, с. 2/шч У'(() + | а - о- |Л'(() Бт (У) У п)

8(

(о2 + а2)&п2()

(11)

Выражение (11) легко обратить в метод корректировки материальной константы

кБр экстинкции по ее эмпирическим значениям к(ф) в виде

кБр = к (()еХР

2

(Бр

о+ак / п.т„. ( к V,

2,хт у' (()+1 а - о- Л (()

&п (У) У п)

8(

(о2 + а2)&п 2(()

(12)

В формулах (11) и (12) под интегралом стоят эмпирические численные выражения и для производных от поляризационных параметров У(ф) - Д(ф), и для отношения к(ф)/п(ф), включая и зависящие от углов ф величины ю и й. Сами выражения (11) и (12) не являются интегральными уравнениями типа Вольтера для величин к(ф) и п(ф), а только методологическим приемом численного решения задачи Васичека путем корректировки модельных решений основного уравнения эллипсометрии Друде-Френеля-Эйри (1).

Полученные здесь интегралы, описывающие экспоненциальный рост экстинкции на скользящих углах подобно (6), можно найти только численно. Следовательно, машинный эксперимент может служить методическим руководством в поисках путей численной корректировки угловой зависимости экстинкции и для реального эксперимента в задачах Васичека.

Выводы

Машинный эксперимент с решениями основного уравнения эллипсометрии Дру-де для классической модели идеальных границ Френеля показал принципиальное различие между априорными константами для прямой задачи и их воспроизведением в обратных решениях.

Более того, систематическая машинная погрешность этого воспроизведения принимает вид определенной аналитическими решениями угловой зависимости апостери-

(

I

орных констант оптической системы, аналогично известной в металлооптике проблеме Васичека о неконстантности оптических констант, определяемых при наклонном падении света на поверхность исследуемых материалов. Уравнения Друде для металлооп-тики составлены в упрощающем предположении о бесконечной проводимости среды, и это объясняет источник угловой зависимости в решениях обратной задачи для этого уравнения.

Несоответствие же решений прямой и обратной задач в строгой аналитической постановке общего уравнения эллипсометрии Друде в модели Френеля объяснить трудно. По-видимому, здесь проявляется трансцендентная нелинейность для этих конформных преобразований, взаимная обратимость комплексных функций от многих переменных в которых может быть определена с точностью до функционального семейства. Более того, в решениях могут проявляться эффекты их физически несостоятельных множественных ветвлений.

Поэтому впервые в задачах прикладной эллипсометрии рассмотрены аналитически обоснованные методы корректировки решений задачи Васичека о нахождения оптических констант по способу площадей в интервале малых углов падения, вложенных площадей для зоны углов псевдо-Брюстера и интегро-дифференциальный способ на скользящих углах падения. Эти методы справедливы в предположении, что амплитудно-фазовые функции прямой задачи не отягощены влиянием аномального индикатрис-ного светоослабления отраженного света, что справедливо для дробных значений экс-тинкции, как это выясняется при анализе аналитических свойств решений прямой задачи эллипсометрии.

Литература

1. Ржанов А.В., Свиташев К.К., Семененко А.И., Семененко Л.В., Соколов В.К Основы эллипсометрии. Новосибирск: Наука, 1978. 424 с.

2. Горшков М.М. Эллипсометрия. М.: Радио, 1974. 200 с.

3. Пришивалко А.П. Отражение света от поглощающих сред.Минск,1963.

4. Васичек А. Теория отражения света поглощающим слоем, нанесенным на металл. // ОиС. 1961. Т.11., №2. С.242.

5. Vasicek A. Optics of thin films. //Amsterdam, Nord Holland Publ., 1960.