Эллипсометрический инвариант Френеля-Брюстера Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭЛЛИПСОМЕТРИЧЕСКИЙ ИНВАРИАНТ ФРЕНЕЛЯ-БРЮСТЕРА В.Т. Прокопенко, Е.К. Скалецкий, Л.В. Лапушкина, О.В. Майорова, И.Е. Скалецкая, Е.Е. Орлова

В результате машинного эксперимента с решениями основного уравнения Друде для эллипсометрии на идеальных границах Френеля выявлено свойство пропорциональной зависимости минимума амплитудной функции эллипса поляризации отраженного света от величины экстинкции отражающей среды. Для семейства всевозможных показателей преломления различных сред установлен диапазон величин коэффициентов экстинкции, для которых сформулирована гипотеза о существовании инвариантов нового типа Френеля-Брюстера.

Введение

В фундаментальной монографии по прикладной эллипсометрии [1] введено понятие приборных инвариантов эллипсометрии. Более древним понятием в поляризационной [2] металлооптике является представление о инвариантах Кеттелера, служащих для определения оптических констант п и к по амплитудно-фазовым параметрам поля световой волны, отраженной под произвольным углом ф от зеркальной поверхности исследуемого объекта, согласно системе вещественных уравнений Кеттелера:

г 2 , 2 [ п2 = к2 + q

Г - к =q г г У (1)

1 2пк = г, |(к2 + q)k2 =1

с явным представлением г и q в виде:

0 2/ А 2(^)\^\2у)-Бт2 (2у)Бт2(А)]]

q= Бт 11 +-!=-2-] \,

[ (1 + Sin(2y)Cos(A))

г = | ^2 (^)Бп(4^)Бш(А)

[(1 + Бт(2у)^(А) )2

На рис.1 для стекла (п = 1.5) с металлическим поглощением (к = 1) для всевозможных углов падения (0<ф<900) монохроматического линейно поляризованного света (Х=632.8нм) представлены инварианты Кеттелера 11 = q и 12 = г.

Инварианты Кеттелера

Рис.1. Инварианты Кеттелера для сильно поглощающих веществ (п = 1.5, к = 1)

Из данных рис.1 видно, что инварианты Кеттелера с большим трудом можно отнести к классу кусочно-постоянных величин в зоне малых углов и в окрестности углов Брюстера.

Новые инварианты Френеля-Брюстера

Основное уравнение эллипсометрии Друде в модели зеркальных границ Френеля имеет аналитические решения для обратной задачи (1). Более сложные модели оптических систем не имеют аналитических решений обратных задач о нахождении оптических параметров, таких как толщины планарных слоев между идеальными границами и оптических констант этих однородных слоев. Для решения подобных задач используются численные методы.

Однако простейшая модель Друде-Френеля определяет основной характер и свойства решений прямых и обратных задач традиционной эллипсометрии. Все традиционные методы базируются на классических представлениях максвелловской электродинамики о константах материальных сред (п- показателя рефракции и к-экстинкции):

'свтр1

= т = ¡е-1

. ¡аХ

2пе0с

2 7 2

п - к = ел

2пк =

¡Ха 2пе0с

(2)

Входящие в (2) физические величины определяют известные материальные уравнения электродинамики для векторов электрической Б = еЕ и магнитной В = цН индукций с помощью параметров диэлектрической (е) и магнитной (ц) проницаемостей и токов ] = сЕ проводимости (а = 1/р) в системе единиц (с=300000 км/с). Таким образом, по значениям констант среды п и к можно вычислить произвольные пары (ц,е), (а и поляризуемость) или (еа) системы (2). Недостатком системы (2) является отсутствие в ней информации о механизмах светорассеяния, хотя значение экстинкции не исключает любого вклада в ослабление света.

Попытку описать всевозможные оптические материалы (в смысле значений п и к) по соответствующим всевозможным значениям поляризационных характеристик отраженного этим материалом света (в смысле значений его амплитудно-фазовых параметров ¥(ф)-Д(ф)) предприняли математики ВЦ ИФПП СОАНСССР [1]. Результаты в виде номограммы представлены на рис.2.

Л,О 3,4 3,3 4,4 5,0 6,0 ■'/)

9,0 10,0

у, 2рад

Рис.2. Номограмма Ф-Д для всевозможных значений п (сплошные) и к (пунктирные).

Для данных рис.2, к сожалению, отсутствует информация о значениях углов падения ф, для которых рассчитывались амплитудно-фазовые параметры ¥(ф)-Д(ф).

Типовая картина угловой развертки таких параметров для семейства различных по поглощению (к от 0.0001 до 1) стекол с п=1.5 показана на рис.3.

Амплитудная функция, гр. n=1.5

Рис.3. Семейство расчетных параметров Ф(ф)-Д(ф) для п=1.5 и к от 0.0001 до 1

Из расчетных данных рис.3 видно, что амплитудная функция ¥(Фбр) в точках минимума монотонно растет с ростом показателя поглощения (экстинкции) к (от 0.0001 до 1), а фазовая монотонно убывает от 180°, меняя характер кривизны при углах псев-до-Брюстера фБР.

Поскольку положение угла псевдо Брюстера, как видно из рис.3, зависит от величины к и, согласно закону Брюстера tg(фБp) = п, еще существеннее зависит от показателя преломления (рефракции) п, то был выполнен специальный анализ связи минимума функции ¥(фБР) с величиной к в зоне плавающих углов фБР для всевозможных материалов и по показателям преломления. Результаты этого численного анализа представлены на рис.4.

1,1 1

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

Функция отношения мин.Пси(Фи)/экстинкции

H-\-\-1-1-1-4

-10

-Ряд1

-Ряд2

-Ряд3

-—Ряд4 Ряд5 -—Ряд6 H—Ряд7

-Ряд8

-Ряд9

Логарифм экстинкции

5

Рис. 4. Универсальные инварианты Френеля-Брюстера Ф(фмин) / к. Здесь ряды функций представлены по показателям n от 1 до 3.

На основании теоретических (расчетных) данных рис.4 в дополнение к открытым в 1875 году металлооптическим (к > 0.n) инвариантам Кеттелера можно высказать гипотезу о существовании новых эллипсометрических инвариантов ¥(фмин) / к = const(n) для целого класса диэлектрических (слабо поглощающих) и полупроводниковых материалов. Такие инватиантные величины логично назвать инвариантами Френеля-Брюстера.

Литература

1. Ржанов А.В., Свиташев К.К., Семененко А.И., Семененко Л.В., Соколов В.К.. Основы эллипсометрии. Новосибирск: Наука, 1978.

2. Пришивалко А.П. Отражение света от поглощающих сред. Минск, 1963.