Амплитудные инварианты Френеля-Брюстера. Ii. Оптические свойства модели Френеля Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 4. 2008. Вып. 3

УДК 517.9

И. Е. Скалецкая, В. Е. Холмогоров, Т. К. Крутицкая, А. В. Бармасов

АМПЛИТУДНЫЕ ИНВАРИАНТЫ ФРЕНЕЛЯ-БРЮСТЕРА.

II. ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МОДЕЛИ ФРЕНЕЛЯ

Эллипсометрия [1] относится к прецизионным экспериментальным методам поляризационно-оптического материаловедения. На опыте получают амплитудно-фазовые соотношения поля световой волны, отраженной от объекта исследования, и по ним судят о значениях его оптических параметров: комплексных показателях преломления m = n — ik (n - вещественный показатель преломления, k - показатель экстинкции) и толщинах.

Спектральные методы - энергетические: они чувствительны к квадратам амплитуд поля световой волны и при слабых сигналах обладают большой погрешностью измерений. Более того, по спектрам пропускания обычно судят о главной части экстинкции а = 4nk/X - коэффициентах поглощения на измеряемых длинах волн (обычно X = 642, 8 нм), а значения n находят численным интегрированием по методу Крамерса-Кронига. При этом успешно совершенствуются приборы дисперсионной спектроэллипсометрии [2].

Таким образом, приборная база эллипсометрии оказывается на несколько порядков чувствительнее спектрофотометрических приборов. А ее основным недостатком остается слабое научно-методологическое и метрологическое обеспечение [3]. Физическая основа метода эл-липсометрии базируется на простом анализе поляризации светового поля после взаимодействия с объектом исследования между скрещенными поляризаторами при косом падении света по классическому закону Малюса. Именно это и отличает эллипсометрию от поляриметрии, с тем важным преимуществом, что при использовании когерентного света его взаимодействие с веществом усложняется явлениями интерференции. При этом линейные размеры (d) приповерхностных структур, приводящих к заметным вариациям параметров поля световой волны, оказываются много меньше длины волны (d -С X).

Без преувеличения можно сказать, что эллипсометрические приборы являются актуальным настоящим современных нанотехнологий и перспективным будущим их перехода к пико-и фемтотехнологиям (у-лазерным источникам). Более того, эллипсометры должны со временем заменить такие поверочные средства ГОСТа, как многолучевые интерферометры, успешно зарекомендовавшие себя в микротехнологиях.

Электромагнитное поле (E,H) линейно-поляризованного света на фронте волны с азимутом ориентации E-компонента относительно плоскости падения а и с углами падения-отражения лучей ф можно разложить на ортогональные волны: Es (ф) = E cos а и Ep (ф) = E sin(a) при E = lEle-^^).

В соответствии с планарной постановкой краевых задач в максвелловской электродинамике коэффициенты Френеля Rp и Rs на идеальных границах раздела сред по-разному преобразуются в отраженной и преломленной волнах, так что результат их восстановления сложением перпендикулярных колебаний приводит к их эллиптической деполяризации с четко заданными амплитудными (Ф) и фазовыми (Д) характеристиками. Ф и Д описываются основным уравнением эллипсометрии (ОУЭ) Эйри-Друде [4] вида:

R = tg Ф ехр {гД} = ——

Rs

© И. Е. Скалецкая, В. Е. Холмогоров, Т. К. Крутицкая, А. В. Бармасов, 2008

Конкретный вид ОУЭ (1) зависит от выбора оптической модели отражающей свет системы, от которой зависят обобщенные комплексные коэффициенты Френеля (Яр и И3). Комплексный характер (1) напрямую зависит от комплексного показателя преломления т(п,к). Для физических моделей сред с нулевым значением экстинкции (к = 0) уравнение (1) часто оказывается вещественным, за исключением систем с проявлением эффектов полного внутреннего отражения (ПВО) и нарушенного полного внутреннего отражения (НПВО). Однако и вещественную функцию Я можно записать в комплексной форме, в которой отрицательные значения Я сопровождаются фазой Д = п, а положительные - значением Д = 0 (скачковой в 0 функцией).

При выборе коэффициентов Френеля в классической форме, установленной им для идеальных геометрических границ раздела сред, ОУЭ (1) записывается предельно просто.

Задачи эллипсометрии разделяются на прямую и обратную. Прямая задача состоит в определении амплитудно-фазовых характеристик поля Ф и Д по известным оптическим параметрам веществ п, к и d. И, наоборот, - для обратных задач. На опыте приборы этого типа позволяют находить поляризационные параметры поля отраженной волны (Ф и Д) с последующим вычислением оптических постоянных веществ. Как правило, для получения наиболее точных данных об объекте требуется проведение эксперимента с дискретной разверткой по углам падения. Для адекватного разрешения произвольной оптической системы необходимо задаться ее корректной физической моделью. Однако многие задачи решаются только с помощью численных методов на ЭВМ от обработки данных до их преобразования при решении обратных задач, не имеющих аналитических решений (1).

Почти 150-летний опыт решения задач металлооптики [6] показывает, что выявленная в машинном эксперименте [7] тенденция слабой угловой зависимости оптических констант для прозрачных стекол, пересчитанных по вычисленным по ним же поляризационным углам, является реальной закономерностью. Удивительно то, что, хотя для металлов поглощение несравнимо больше светорассеяния, и экстинкция должна отражать дисперсионные механизмы светоослабления (зависимость от X, а не от ф) материалов, получается наоборот, как и в случае для прозрачных диэлектриков. Таким образом, ярко выраженная зависимость оптических констант от углов падения вступает в противоречие с их физическим смыслом в теории Максвелла и Френеля [4].

В фундаментальной монографии по прикладной эллипсометрии [3] введено понятие приборных инвариантов в зонной теории основных принципов работы эллипсометров. К сугубо теоретическим инвариантам относятся, например, неизменность форм законов Снеллиуса или записи коэффициентов Френеля для идеальных границ при введении комплексных показателей преломления (об уравнениях говорят, что они ковариантны).

Более близким из интересующих нас аналогов в поляризационной металлооптике [6] является представление об инвариантах Кеттелера, служащих для оценки оптических констант п и к по амплитудно-фазовым параметрам Ф(ф) и Д(ф) поля световой волны при отражении под произвольным углом от зеркальной поверхности металлов в виде точных аналитических решений обратной задачи эллипсометрии в ОУЭ (1):

В 1875 году Кеттелер обнаружил и в дальнейшем использовал параметры правых частей (2) в амплитудно-фазовой металлооптике как инварианты от углов падения. На рис. 1

(2)

с явным представлением г и д в виде:

Угол падения, град.

Рис. 1. Зависимость Хк от параметров foF2, НгпЕ2, Во модели ионосферы (9)

представлены результаты точного расчета этих инвариантов Кеттелера = д и 12 = г для стекла (п = 1, 5) с металлическим поглощением (к = 1) при всевозможных углах падения (0 < ф < 90°) монохроматического поляризованного света (X = 632, 8 нм). Из рис. 1 видно, что подобные «инварианты» с большим трудом можно отнести лишь к классу кусочнопостоянных величин в зоне малых углов и окрестности угла Брюстера. Идя навстречу старым рекомендациям экспериментаторов проводить измерения для нормально падающего на поверхность света, Васичек [9] предложил алгоритм пересчета оптических констант, зависящих от углов падения, на так называемые главные значения для нормального падения. Однако это не стало решением насущной проблемы досадной зависимости оптических констант от углов наблюдения (диагностики сред). Не удалось объяснить этот измерительный казус (константы п и к - непостоянны) и методологическими погрешностями описания оптических систем. Наиболее полный и последовательный анализ погрешностей эллипсометрических измерений представлен в [8].

Однако в теории эллипсометрии даже не ставилась задача о возможной коррекции решений ее обратных задач непосредственно на самих углах падения. Так, и Кеттелер, и Васичек искали пути пересчета констант на углы нормального падения. Впервые схемы подобной коррекции предложены в [7] на компьютерных моделях френелевских систем.

Опыт работы с образцами оптических стекол К-8 при обработке по высшему классу сверхглубокой шлифовки-полировки их поверхности до идеальной границы Френеля дает ту же картину, как и при машинном моделировании угловой зависимости констант, представленную на рис. 2. Здесь решения обратной задачи эллипсометрии в среднем отражают основные тенденции свойств френелевских решений этой задачи Друде (1), и для них приемлемо практическое использование алгоритма корректировки всех аномалий.

Рассмотрим свойства конформного отображения решений прямой задачи Ф и Д для ОУЭ (1) на аддитивные решения к = кх + кф его обратной задачи для экстинкции

Показатель преломления стекла К-8 1,530

45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

Угол падения, град.

Показатель поглощения стекла К-8

Рис. 2. Зависимость Хк от параметров foF2, НгпЕ2, Во модели ионосферы (9)

при неизменном показателе преломления объекта исследования (ОИ) п = 1, 5. Типовая картина угловой развертки параметров Ф и Д для семейства стекол, различных по поглощению к от 0,0001 до 1, показана на рис. 3. Из расчетных данных этого рисунка видно, что амплитудная функция Ф(ф_в) в минимуме монотонно растет с ростом показателя поглощения (экстинк-ции) к, а фазовая - монотонно убывает от 180°, меняя характер кривизны при этих углах псевдо-Брюстера ф_в.

Детальный анализ этих тенденций выполнен для водной поверхности с раствором ПАВ (п = 1, 3) на воздухе. На рис. 4 представлена программная выборка значений минимума амплитудной функции Ф(фмин) на соответствующих углах фмин в зависимости от пробного значения аргумента экстинкции в значимой для эллипсометрии области (до нескольких единиц). На рис. 4 расчетным путем демонстрируется прямая пропорциональная зависимость между экстинкцией и высотой подъема амплитудной функции в минимуме. Следовательно, сам коэффициент пропорциональности в области своего постоянства может быть назван физическим инвариантом модельной оптической системы с идеальной отражающей границей Френеля

Амплитудная функция, град. 40

к = 0,1

к = 0, 01 ^ 0, 001

30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 Угол падения, град.

Фазовая функция, град.

175 Ь-<=г

160 145 •

130 ■

115 ■

100 ■

85 70 5540 ■

25 к 10 к -5 ■“

0, 01 ^ 0, 001

30 40 50

Угол падения, град.

Рис. 3. Зависимость Хк от параметров foF2, hmF2, В0 модели ионосферы (9)

рад.

Рис. 4. Поведение минимума У (к) = шіпФ(фмин) для модели идеальной границы

при углах псевдо-Брюстера, т. е. инвариантами Френеля-Брюстера. На рис. 5 для рассмотренного ОИ показано поведение этого инварианта С = шіпФ/к.

Поскольку инвариант С = шіпФ/к берется отношением к параметру экстинкции, то при к > 0 значение С может неустойчиво скатиться к то. Подобная неустойчивость С (к) наблюдается на рис. 5 слева. Естественно, можно переопределить константу С обратным отношением, но это не устранит проблему неустойчивости в сингулярных точках модели. Завал справа на этом рисунке имеет совсем другую физическую причину, связанную с явлением аномального отражения (АО) на скользящих углах падения-отражения на ОИ.

На рис. 6 представлено полное семейство значений инвариантов Френеля-Брюстера, расчи-танное для всевозможных реалистичных значений показателя преломления 1 < п < 5 (вещественной рефракции п комплексного в общем случае показателя преломления п — ік). Из представленных на рис. 6 данных видно, что область устойчивости растет с п.

На основании расчетных данных рис. 6, в дополнение к открытым ещё в 1875 г. металлооптическим (к > 0, п) инвариантам Кеттелера, можно добавить новый класс эллипсометрических инвариантов С = шіпФ/к = сопб^п) для множества веществ от диэлектрических

0,61195 ± 0,00047

0,7

- 12 х = 1п (|£|)

- 10

Рис. 5. Инвариант Френеля-Брюстера для водного зеркала (п = 1, 3) на воздухе

Рис. 6. Инварианты Френеля-Брюстера в модели идеальной границы ОИ на воздухе

(слабо поглощающих) материалов до полупроводников. Эти инвариантные величины логично назвать инвариантами Френеля-Брюстера.

Из представленного материала следует ряд практически значимых выводов о свойствах решений прямой задачи ОУЭ в модели идеальных границ Френеля:

• Уровень экстремума амплитудной функции в радианной мере соизмерим со значением параметра экстинкции;

8

6

4

2

• С ростом экстинкции минимум амплитудной функции также растет со сдвигом в область больших углов псевдо-Брюстера по сравнению с фо = arctg n, начиная со значительных величин к ~ 0, 2;

• Фазовая функция в точках экстремума амплитудной ведет себя неустойчиво при сверхмалых экстинкциях и, наоборот, проявляет тенденцию стабилизации вблизи значения 90° со слабой зависимостью от величины экстинкции;

• Существует область удивительного постоянства в этой модели границ Френеля величин отношения функции шшФ/к = const(k) = F(n) для различных веществ от газов (n = 1, 0) или жидкостей (n = 1, 3) до конденсированных сред с неметаллическим поглощением, названных нами инвариантами Френеля-Брюстера, аналогичных инвариантам Кеттелера в металлооптике.

Общий вывод, который можно сделать из тщательно поставленного и численно выверенного эксперимента, состоит в том, что законы обратного конформного преобразования решений ОУЭ Друде-Френеля не только не равносильны, но даже не эквиваленты прямому отображению решений от таких переменных, как априорные оптические константы ОИ, когда по их значениям рассчитываются Ф и Д, по ним пересчитываются заложенные в них константы, которые не воспроизводятся полностью. Виновата в этом, по-видимому, тригонометрическая трансцендентность материальных уравнений Френеля и столь нелинейным образом, что взаимно обратные конформные преобразования не полностью и не всюду идентичны друг другу.

Summary

Skaletskaya I. E., Kholmogorov V. E., Krutitskaya T. K., Barmasov A. V. Fresnel-Brewster Amplitude Invariants. II. Optical Properties of the Fresnel Model.

The work deals with formal asymptotic solutions for weak gravitational waves in the high-

frequency approximation. The solutions are constructed in a special form of the so called spacetime ray expansion with a complex-valued eikonal (phase function), which enables one to construct the solutions localized in a spherical layer propagating in radial directions.

Литература

1. Горшков М. М. Эллипсометрия. М., 1974. 200 с.

2. Прокопенко В. Т. и др. Цифровой автоматический фотометр-поляриметр. Авт. свид.

№ 1569914, приоритет от 08.07.1996.

3. Kinosita K., Ymamoto M. Angle-ellipsometry / In: Principal angle-of-incidence ellipsometry, P. 64-75.

4. Drude P. Uber die gesetze der reflaxion und ozechund des lichthe an der grenze absorbierender krystalle // Ann. Physik. (B). 1887. V. 32. S. 584-600.

5. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. М., 1986. 660 с.

6. Пришивалко А. П. Отражение света от поглощающих сред. Минск, 1963.

7. Алексеев С. А., Прокопенко В. Т., Скалецкий Е. К. и др. Введение в прикладную эл-липсометрию. Ч. 1. Метрологические основы ноль-эллипсометрии. СПб., 2005. 100 с.

8. Ржанов А. В., Свиташев К. К., Семененко А. И. и др. Основы эллипсометрии. Новосибирск, 1978. 424 с.

9. Васичек А. Теория отражения света поглощающим слоем, нанесенным на металл // Оптика и спектроскопия. 1961. Т. 11, № 2. С. 242.

Принято к публикации 01 апреля 2008 г.