Метод оценки вероятности принятия ошибочных решений при дискриминационном анализе транспортных узлов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Нетрудно заметить, что прямое решение экстремальной задачи для конкретного случая наглядно иллюстрирует предлагаемый подход и не вызывает принципиальных затруднений. Следует учитывать, что в частном случае для простого отношения предпочтения оценки вида (2) вырождаются в так называемые оценки Фишборна [2]. Отметим также, что предлагаемый информационно-статистический подход к проблеме морфологического и типологического анализа объектов восприимчив к априорной информации, представлен-

ной в различных видах, в том числе полученной в результате экспертного анализа факторов, определяющих предпочтительность характеристик транспортных узлов.

Литература

1. Мартыщенко Л.А., Филюстин А.Е., Голик Е.С., Клавдиев А.А. Военно-научные исследования и разработка вооружения и военной техники. СПб: МО РФ, 1993. Ч. I. 302 с.

2. Мартыщенко Л.А., Ивченко Б.П., Монастырский М.Л. Теоретические основы информационно-статистического анализа сложных систем. СПб: Лань, 1997. 320 с.

МЕТОД ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТИ ПРИНЯТИЯ ОШИБОЧНЫХ РЕШЕНИИ ПРИ ДИСКРИМИНАЦИОННОМ АНАЛИЗЕ ТРАНСПОРТНЫХ УЗЛОВ

В. Пасевич, к.ф.-м.н. (Технологический университет Польши, г. Щецин, [email protected])

Применение дискриминационных моделей при организации процедур управления в транспортных узлах достаточно часто приводит к ошибочным решениям. Поэтому нахождение вероятности таких ошибок чрезвычайно важно, особенно в условиях напряженного движения и маневров транспортных единиц на ограниченном пространстве акваторий, терминалов. В работе приводится метод нахождения вероятности таких ошибок и их оценки.

Ключевые слова: транспорт, модель, вероятность, ошибка, система.

Применение дискриминационной модели в управлении транспортными узлами (ТУ) в некоторых случаях может дать ошибочное решение. Это вытекает из самого характера моделей данного типа. Такие ошибки опасны тем, что могут привести к неадекватным решениям по управлению грузовыми операциями на акваториях, терминалах, станциях, грузовых площадках и т.д. По характеру функционирования они сами по себе являются объектами повышенной техногенной и экологической опасности. Если в этих условиях к указанным ошибкам добавить ошибки модели управления такого рода объектами, процесс принятия решений может оказаться неадекватным уже на первых шагах анализа и прогнозирования состояния объекта (ТУ) и вызвать нарушения в переработке груза. Это приведет, в свою очередь, к накоплению товара, нарушению работы ТУ, вызовет скопление подвижного состава всех видов транспорта в данном ТУ. Поэтому нахождение и оценка вероятности таких ошибочных решений чрезвычайно важны, особенно в условиях напряженного движения и маневров транспортных единиц на ограниченных пространствах ТУ.

Процесс управления ТУ рассматривается как единая процедура поддержки принятия решений взаимосвязанных подсистем выгрузки, переработки, хранения и погрузки товара для минимизации стоимости обработки груза в данном ТУ. Иными словами, управление в ТУ реализует схему подготовки и принятия решения по управлению для многомерных систем. Отсюда и постановка задачи оценки принятия ошибочных решений.

Для двух многомерных систем п :Х~^Д1,Е)

дискриминационную функцию можно записать в виде

Т=(Х-д2)'X-'(Х-^)-(Х-Д1)'X-'(Х-Дх), (1)

где - вектор средних; Е| - дополнительно определенная матрица дисперсий для 1=1,2. Эта функция известна как квадратичная дискриминационная функция (КДФ), представляющая функцию двух форм, когда Ех=£2=£, по выражению (1) она редуцируется в функцию

V=Х'Х-1 (Д1 -Д2)-+Д2 )'Х-1 (Дх -Д2), (2)

что известно как линейная дискриминационная функция (ЛДФ). Пусть Р(И,|) означает вероятность классифицирования наблюдаемого вектора в ^(1^=1,2,1 ф,]). Тогда расчет этих вероятностей требует данных распределения для КДФ и распределения для ЛДФ. Определение вероятности ошибочных классификаций описано в работах [1, 2].

В случае с ЛДФ V~N

'а 4 —, а 2

когда

V~N|--2, а

, когда Х~ (д1? Е),

где а=(д1 -Д2 )Х 1 (д1 -Д2) - расстояние Маха-

лановича между двумя многомерными нормальными распределениями. В этом случае известны точные выражения для ошибочных классифицируемых систем [3].

и

К

Р(112)=1-Е(11), где ^ =-

а

"2

Та

а

К+

Р(211)=1-Г(г2), где г2 =-

2

Та

(3)

(4)

где Г - дистрибуанта функции нормального распределения; К=/и^2^12 (q1 - априорная вероят-

Ч1С21

ность того, что наблюдения п верны; Су - затраты). В случае с КДФ распределение случайной переменной Т неизвестно. Поэтому точные выражения для классификаций не определены. Рассмотрим определение ошибочных классификаций для одномерной нормальной системы.

Для одномерной системы а2) и

л2:Х~^д2,а2), а также для данного наблюдения х КДФ имеет вид х =(Х-Ц 2 )2 (X-Ц )2

(5)

Оптимальным правилом решения, минимизирующим риск по Байесу [2, 4], будет утверждение: классифицируй наблюдение х в систему п1, если \2

^С12 ^1С21

, в противном случае - в

—2 Г

г > к=1п-1-+1п а2

систему п1.

Подставляя случайную переменную Х вместо наблюдения в правой части равенства (3), получаем соотношение

Т=

(X-Ц 2 )2 (X-Ц )2

(6)

Произведя преобразования в (6) и принимая (Ц1-Ц2 )2

- ■,получим

22 -1 --2

2 2 Т =-1 --2

-2

22 -1 --2

Х+

2 2 ^ Ц1-1 -Ц2-2 2 2 -1 --2

Х+

22 Ц1-1 -Ц2-2

- Г =

(7)

22 -1 --2

Если

(ц1,а2),

тогда

Х+

Ц1-1 -Ц2-2

2 2 -2--2

2 У

-1(Ц1 -Ц2) л

22 -1 --2

(8)

Если Х~М

(Ц2>-2) ,

тогда

Х+

Ц1-2-Ц2-1

22 -2-а2

2 У

— 2 (Ц1-Ц2 ) л

■у 1 ,1

22 — 1 -—2

(9)

Распределение Т является линейной функцией

2

смещенного распределения % с одной степенью свободы и параметром смещения, зависящим от распределения случайной переменной Х.

Если Х-^ц^, —2),

то

Р=Рг

—2 (Ц -Ц2 )2 >2)

(—2-—2) Если Х~^ц2, — 2), тогда

(10)

Р = Р2 =

—2 (ц1 -Ц2 )2

(—2-—2)

Отсюда Р(112)=Рг[т> К1Х~^ц2, —2)]=

(11)

=1-Рг

2 2 —1 -—2

Х+

22 Ц1—1 -Ц2—2 2 2 —1 -—2

< К+г

=1-Рг

Х+

Ц-1—1 -ц 2—2 2 2 —1 -—2

<

(12)

где 81 =(К+г)—2(—2-—2)-1. (13)

Рассматривая функцию плотности смещенного распределения %2, вероятность (3) определится из следующего выражения:

Р(1|2) = 1-{/Х-

х/о \к Р2

ч 2 у

к=о к+ 2 2

Т-^-й х .

2 Г^к+2^)е2в1к!

(14)

Подобным образом

Р(2|1)=1-]■/ х

х/о \к Р1

ч 2 у

2 г[к+2^]е2в1к!

dx, (15)

к=о к+ к=02 2

(16)

где 82 = (К+г)—2 (—2-—2)-1.

Принимая алгоритмы, описанные в работах [3, 4], можно вычислить интегралы в равенствах (15) и (16) для любой группы параметров [3].

Более общим случаем поставленной задачи являются определение и оценка вероятностей

1

2

2

1

2

1

1

2

2

2

2

2

1

г

1

к

х

1

1

к

х

2

2

2

2

1

ошибочных классификаций в случае многомерных нормальных систем.

Для двух многомерных систем и л2:Х~^д2,£2), где и £2 являются диагональными матрицами с диагональными элементами О(^)=(а21,..., О2,) и векторами

средних д =(д121,..., д?), 1=1, 2, КДФ для наблюдаемого вектора имеет вид

1=(х2) Е-1(х2 )-(х-Д1) Е-1(х-Д1) • (17)

Оптимальное правило решения, минимизирующее риск по Байесу, следующее: классифицируй наблюдение х в систему П при 1 > К , где

ы

К=+

N

Ч2С12

(18)

в противном случае - в П?.

Подставляя многомерную случайную переменную Х вместо наблюдения х в равенство (17) и принимая

г=¿ои -йчГ j=l

.2

,2

(19)

-О2.

получаем ,

т=Е

1=1

Л?

'21

Х. -Ни

Л?

^ о?

Х.+

=Е

1=1

2 2 ЦцОц-И-2.|°2.|

2 2 О1.-О2.

Г =

(20)

'2.

Е

.=1

Если

2 2 Х - Х. + «2 ОЧ- о2.

„2 ОЧ О2.

-Г.

а также

Х +

2 2 °Ц-О 2.

2 2'" .=1, Р.

Если Х-^д?,) и Х-^д.,

, (21)

а также

Х +

2 2

2 2 °Ц-О 2.

О2.

Р.

,1

2 2

°1| -О2. Ч У

, (22)

Поскольку матрицы Е1 и Е2 диагональные, то Х1, ХР независимы. Поэтому квадраты выражений (20) являются случайными переменными со

2

смещенными распределениями % , с одной степенью свободы и параметром смещения вида \2 / \2

Ри ="

и(дц2.)

2 2 °и-О 2.

и Ри =•

'2.

2 2 °и -02|

, (23)

.=1, •••' Р.

Отсюда случайная переменная Т является линейной комбинацией независимых случайных пе-

2

ременных со смещенным распределением % .

Патнайк [1] считал, что распределение линейной комбинации случайных переменных со смещенным распределением %2 может быть аппроксимировано многомерным центральным распределением х?П) с п степенями свободы. Если принять W=Т+г , то параметры п и с могут быть оценены путем сравнения первых двух моментов W и с%(п), где г, определяемое из (19), является постоянным.

Пусть W=¿а.(Х.+Р.)2 , (24)

1=1

где а. ив. - известные постоянные (функции

параметров двух многомерных нормальных распределений). Тогда ХЬ...,ХР будут одномерными случайными переменными с нормальными распределениями. Поэтому для каждой . Х.+в. явля-

2

ется смещенным распределением % с одной степенью свободы и параметром смещения в?. Заметим, что зависимость М№(1;), определяющая моменты относительно W, имеет вид

М„(1)= Е(еда)=ПКхр 1а.(Х. +в.) .=1 ^ 1

(25)

=ехрЕ1а.в1 (1-г. П(1-

.И .=1

В то же время функция К№(1;), создающая полуинварианты, будет натуральным логарифмом функций М№(1;), и потому

д Р

E(W)=Kl(W)=—^(1)и=Еа.(1+в?). (26)

.=1

Дисперсию для W рассчитываем как вторую производную функции К№(1;) в точке 1=0, то есть 12

Vaг(W)=K2(W) ^-dтKw(t)U= ДГ

у

=2Еа? (1+в?).

(27)

.=1

Более того, Е(сх?п))=пс и Vaг(c%(21l))=2пс2 .

Р

2

Сравнивая E(W) и E(c%(ll)), а также Var(W)

и Var(c%(n)) и вычисляя систему выражений относительно n и с, получим p

Z«j (1+2ßj)

с=

j=i

(28)

I« j (1+ßj)

j=i

p2

l[aj (1+(ß j)]

и n=

(29)

К К2)

.И

Аппроксимируя распределение W, определенное примером (23) через с%(п), вероятности ошибочных классификаций можно выразить следующим образом:

Р(112)=Рг [V 2 > К1Х~^ц 2 £2)]= = РГ> > К + ^-N(^2 ^ 2 )] =

=Pr[cx(n) > к+r]=Pr[^X(2n) <(K + r)

, если с < 0

P(1I2)=1-Pr

¿L <(K+r)/

, если c>0.

X(n)'- /c Подставляя в равенства (28) и (29)

22

(30)

2 2

Оц Od 2 2 2 —I

а, =—4—L и ßj=O2j(^ij—^2j)(O2j—O2j) .

o2j

получим n и c. Подобным образом, когда X~N(^ 1 ,Е1), выразим

P(2I 1)=Pr[Vi 2 > KIX~N(^i £i)]= = Pr[w > K+rIX~N(^i,Li)]=

= Pr[cxfn) > K+r]=Pr^ <(K+^

если c < 0

P(2I1)=1—Pr

L <(K+r)/

X(n)

, если c>0.

Подставляя в равенства (28) и (29)

а;

22 Oij —O2j

■ o2j

(31)

и ßj =Ofj(^ij — ^2j)(oij-O2j)—i,

получим n и c.

Предложенный метод был успешно применен и внедрен в практику организации процессов управления в транспортной фирме BAFTRANS (Польша), что снизило ежедневные издержки обработки груза в ТУ на 12 %.

Литература

1. Anderson T.W. An Introduction to Multivariate Statistical Analysis. Wilay, New York, 1958.

2. Kubicki J., Miklinska J., Urban-Popiolek I. Transport Miedzynarodowy Multimodalne Systemy Transportowe. Gdynia. 2000.

3. Арефьев И.Б., Пасевич В. Управляемая модель транспортного узла на базе распределения Гаусса. СПб: ГУВК, 2001. С. 37-40.

4. Маслов Е.П. Применение теории статистических решений к задачам оценки параметров объекта // Автоматика и телемеханика. 1963. № 10. С. 1338-1350.

КОМПЛЕКСНАЯ ВЕРИФИКАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ТРАНСПОРТНОЙ СИСТЕМЫ

И.Б. Арефьев, д.т.н. (Морская академия Польши, г. Щецин); А.А. Клавдиев, к.т.н.; А.А. Cулима, к.т.н. (Северо-Западный технический университет, г. Санкт-Петербург,

kss59@mail. шг)

В работе предложен научно-методический аппарат комплексной верификации результатов прогноза характеристик транспортной системы с целью обеспечения обоснованности принимаемых решений в процессе логистического управления.

Ключевые слова: прогноз, верификация, неопределенность, критерий.

Прогноз называется системным, если одновременно прогнозируется не менее т характеристических переменных транспортной системы. Переменные прогнозируются одновременно, шаг за шагом. При этом устраняется один из основных недостатков однократного прогноза - аргументы уравнений прогнозирования не стареют (носят последние по времени отсчета индексы).

Многократный прогноз можно вести на основе как алгебраических, так и дифференциальных или интегральных уравнений.

При получении долгосрочных дифференциальных прогнозов важным является установление устойчивости поведения системы. Наиболее распространенным способом установления области устойчивости являются методы Ляпунова, критерии Гурвица-Рауса.

При реализации прогнозов важно установить критерий качества полученных прогнозных результатов. Так, для краткосрочного прогноза в качестве критерия селекции предлагается использовать критерий регулярности - величину средне-