Модель транспортного узла на базе распределения Гаусса Текст научной статьи по специальности «Математика»

где

" 0 1 0 . . 0 " ■ 0"

0 0 1 . . 0

А = ••• • •• ... .. . ... , В =

0 0 0 . . 1 0

—а п —ап—1 —ап—2 . .—а1. _ 1 _

с=[с о ... о].

Преобразование переменных состояния выполняется с помощью матрицы Трг, которую можно получить, используя соответственно матрицы достижимости для исходной системы

Р„ = [В АВ ... ЛГВа ]

и системы в канонической форме

Р = [В АВ ... АГВ„ ].

Преобразующая матрица Трг находится по формуле

Тр^Ра-Р"1. (15)

Для системы (13)-(14) можно синтезировать дискретный наблюдатель, структура которого дает возможность значительно уменьшить объем вычислений, необходимых для решения матричного уравнения ТА-ГТ=ЫС, являющегося условием Луенбергера для построения наблюдателя Г.

Таким образом, синтезируется наблюдатель, структура которого дает возможность существенно сократить процедуру подготовки и принятия решения по управлению судном.

Литература

1. Арефьев И.Б., Мартыщенко Л.А. Теория управления. -СПб: СЗТУ, 2000. - 173 с.

2. Трояновский Я. Концепция построения автоматизированных систем управления движением судов в районе водных путей и судоходства Нижней Одры. // Междунар. межвуз. сб. науч. тр. - СПб: Судостроение, 2006. - № 7. - С. 157-160.

3. Арефьев И.Б., Трояновский Я. Автоматизация судо-пропуска на внутренних водных путях. - СПб: Система, 2007. - 251 с.

МОДЕЛЬ ТРАНСПОРТНОГО УЗЛА НА БАЗЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАУССА

И.Б. Арефьев, д.т.н. (Северо-Западный технический университет, г. Санкт-Петербург); В. Пасевич, к.ф.-м.н. (Сельскохозяйственная академия Польши, г. Щецин, [email protected])

Ключевые слова: минимизация критериев стоимости и времени, ление Гаусса, плотность истинного разложения.

Современные технологии моделирования сложных процессов и систем все более ориентируются на интеграцию отдельных собственных элементов по их математическому описанию и соответствию отдельных процедур для решения основной задачи - минимизации стоимости и времени на разрешение ситуаций. В этом отношении транспортные системы не являются исключением. Настоящая работа посвящена одному из решений данной задачи, которое основано на создании модели системы управления транспортным узлом (ТУ) на базе распределения Гаусса.

При создании процедур принятия и поддержки решения по управлению в современных системах управления транспортом часто используют политранспортные модели, когда конкретные процедуры перевозки единицы груза не формируются, а создаются мультимодальные системы из разных видов единиц-перевозчиков для минимизации процесса доставки единицы груза по критериям минимума стоимости и времени.

В работах [1,2] показано, что в определенных условиях управление грузопотоком в ТУ подчиняется распределению Гаусса. Тогда для объектов подобного типа справедливо следующее утверждение.

Допустим, что Х^.-.Дп является переменной из © нормального распределения с неизвестной

управление грузопотоком, политранспортные модели, распреде-

средней точности К. Тогда условное разложение переменной © при К=г (г>0) является нормальным распределением со средней (—и точностью т (г>0), а граничное распределение К является гамма-распределением с параметрами а>0 и Р>0.

Отсюда совместное апостериорное распределение переменных © и К при условии, что Xj=Xj 0=1,...,п), будет трактоваться как условное разложение случайной переменной © и К=г и окажется нормальным разложением со средней ц' и точностью (т+п)г, при этом: тц+пх

т+п

(1)

а граничное распределение переменной К являет-

1

ся гамма-распределением с параметрами а+—п и

в, где

в'=в+1£(х,—х)2+«.

п|=1 2(т+п)

2

(2)

В некоторых задачах информация, полученная для © до начала наблюдения о состоянии ТУ, может быть значительно меньше по сравнению с информацией, которая ожидается при завершении анализа совокупного состояния ТУ. В задачах та-

кого типа выбор и обоснование распределения заранее не могут быть весьма простыми, даже если найти соответствующее семейство распределений параметра 0. В таких случаях принимается стандартное распределение генерального параметра, понимая, что используется неточное распределение. Если принять, что плотность такого разложения является плотностью равномерного распределения на всей вещественной прямой, то она не является плотностью истинного разложения.

В ряде случаев можно получить распределение, близкое к реальному. Для этого рассмотрим задачу, сформулированную в утверждении. Пусть случайная выборка Хх,...,Х„ берется из распределения, для которого неизвестны параметры 0 и К согласно утверждению о совместном распределении параметров 0 и К, тогда

Ь( 0 ,г) «л/гехр[-—(0-ц)2 ]га-1е-2

(3)

Условное распределение переменной 0 при К=г оказывается нормальным распределением, при том что конечное распределение переменной 0 не является нормальным распределением. Частоту конечного распределения переменной 0 найдем как

g0(0) = ¡Ь(0,г)аг, для 0е .

(4)

Если использовать символы пропорциональности и принять все факторы, исключающие 0, то на основании (3) функция g примет вид:

Т -а-1

§0(0) ~[Р+^(0-^)2] 2 -

ат(0-ц) (2а+1)/2

2а' р ]

(5)

Сопоставление данной функции с частотой изменения состояния ТУ по позиции времени 1 со ступенями а показателя отклонения ц и точностью вычисления т получим

ё(у! ацт) =

-|- (а+1)/2

. (6)

т Г[(а+1)/2]

, 1+-(у-ц)2

|яа Г(а/2) [ а

Приведем пример, иллюстрирующий полученный результат. Рассмотрим нормальное распределение, в котором средние значения 0 и К неизвестны. Необходимо найти гамма-распределение из группы распределений, представляющих априори переменные 0 и К. Как будут выбраны показатели ц,т,а и р, если Е(0)=2, Б2 (0) =5, Е(К)=3, Б2(К)=3?

Решение. Поскольку К принято как гамма-распределение с параметрами а и р, справедливо

Е(К)=3= в и Б2(К)=3= в-, получаем а=3 и Р=1,

при ц=2, когда Е(0)=ц. Принимая распределение 0 по дискрету 1 со степенями свободы как 2а при точности ат/р , получим:

»2(0) =

(7)

ных 0 и К при условии х2=4,48 и ^(х21 - х2)2 =

2а-2 ат т(а-1)

Отсюда т=0,1.

Таким образом, получено решение для распределения переменных 0 и К.

Для окончательного подтверждения полученного теоретического результата приведем еще один пример реализации.

Пусть нормальное распределение выведено из 10 наблюдений, при этом получено х1 =4,20 и 10

£(хи - Х1)2 =5,40.

1=1

Необходимо найти среднее значение и варианты распределения заранее известных перемен-

10 2

»2—" 2(х21 - х2) '

1=1

=5,82. Апостериорным распределением наблюдения определим новое распределение К и доверительный интервал 0 на уровне величины 0,05.

Решение. Согласно (6), параметры ц', т', а' и Р' заранее распределены для переменных 0 и К и определены как ц'=4,18, т'=10,1, а'=8 и Р'=3,94. На основании этих значений получим среднее для вариантов состояния переменных 0 и К: Е(0)=4,18; Б2(0)=0,056; Е(К)=2,03 и Б2(К)=0,515.

Отсюда также находим ц''=4,33, т''=20,1, а''=13 и Р''=7,08, Е(0)=4,33, Б2(0)=0,029, Е(К)=1,84 и Б2(0)=0,029, Е(К)=1,84, Б2(К)=0,260.

Получаем изменение 0 в распределении 1 с 26 степенями свободы при ц''=4,33 с точностью а''х"/р''=36,9. Следовательно, Р[-2,056<

< 736,9(0-4,33) < 2,056] =0,95.

Теперь можно утверждать, что интервал доверия 0 на уровне состояния 0,05 приводится к виду 3,99<0<4,67.

Предложенная методика была использована для создания модели принятия решения по управлению политранспортным терминалом в фирме «Stowaгzyszenie агтоЮгон> гуЪасЫск. ХАСЬАБ ОЬОШт» (Польша).

Литература

1. Пасевич В. Анализ и прогнозирование транспортных систем. - СПб: Система, 2006. - 83 с.

2. Арефьев И.Б., Пасевич В. Управляемая модель транспортного узла на базе распределения Гаусса. // Тр. Междунар. конф.: Математика в инженерных и экономических расчетах. -СПб: ГУВК, 2001. - С. 37-40.

0