CC BY
31
Макеева Г. С., Голованов О.А., Ефимов А.А., Присталов И.М.
Пензенский государственный университет
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕНЕВЗАИМНЫХ УСТРОЙСТВ СВЧ НА ОСНОВЕ МАГНИТНЫХ 3D-НАНОКОМПОЗИТОВ МЕТОДОМ АВТОНОМНЫХ БЛОКОВ
Введение
Магнитные ЗБ-нанокомпозиты на основе опаловых матриц, содержащих наночастицы магнитных материалов в межсферических пустотах, считаются одним из наиболее перспективных классов материалов для созданиямагнитноуправляемыхприборов и устройств, в том числе невзаимных,в сантиметровом и миллиметровом диапазонах [1].
Разработка устройств СВЧ на основе новых наноматериалов требует проведения большого количества дорогостоящих экспериментов, часть из которых может быть заменена более дешевыми вычислительными экспериментами.
В настоящее время в моделировании устройств СВЧ на основе наноматериалов существуют два подхода: первый - упрощение уравнений Максвелла и материальных уравнений за счетвведения эффективных параметров наноматериала, что позволяет существенно упростить математические расчеты устройств СВЧ.Второй подход - решение ЗБ-краевых задач в строгой электродинамической постановке без каких-либо упрощений уравнений Максвелла и граничных условий.
Необходимость численного моделирования устройств СВЧ, содержащихмагнитныеЗБ-нанокомпозиты, на электродинамическом уровне строгости вытекает из того факта, что использование идеализированных, упрощенных моделей в рамках первого подхода при введении эффективных параметров нанокомпозита приводит к некорректным выводам. Для успешного применения ЗБ-нанокомпозитов в устройствах СВЧ необходимо разработать математические модели электродинамического уровня строгости и вычислительные алгоритмы для точного расчета характеристик устройств.
Математическая модель
Моделирование устройств СВЧ, содержащих магнитные 3Б-нанокомпозиты, на электродинамическом уровне строгостибазируется на решении 3Б-краевой задачи дифракции для уравнений Максвелла
rot H (t) = є0 єЩ^ + sE(t) ; (1)
rot E(t)= -
dt
m)
dt ‘
B(t) = M (t) +MoH (t) ,
(2)
(3)
с соответствующими электродинамическими граничными условиями Лифшица, в котором учитывается поле обменного взаимодействия [2]
dM (t) dt
g(M (t) X H эф(t)) + w (ZoH (t) - M (t)) ; (4)
совместно с уравнением Ландау-
H эф(t) = H (t) + H q (t) ; (5)
Hq(t) = q V2M (t) . (6)
Здесь E(t), H (t) -
намагниченности среды; ле, включающее Hq(t) -
векторы напряженности электрического и магнитного полей;
B(t) - вектор магнитной индукции; H эф( t) - суммарное
поле обменного взаимодействия; V - операторЛапласа; Є
M (t) - вектор
эффективное по- относительная
диэлектрическая проницаемость среды;s - электропроводность среды; Є0 , mo -электрическая и маг-
нитная постоянные; g - гиромагнитное отношение; W -частота релаксации; Со - статическая воспри-
имчивость; q - константа обменного взаимодействия.
Математическая модель устройства СВЧ, содержащего магнитный ЗБ-нанокомпозит, строится на основе декомпозиционного подхода [3] . Область ЗБ- нанокомпозита на основе опаловой матрицы расчленяется условными границами на подобласти - автономные блокис каналами Флоке (ФАБ) [4].Вычислительный алгоритм определения дескриптора (матрицы проводимости Y) ФАБ, содержащего диэлектрические SiO2 наносферы и магнитные наночастицы, разработан в [5].
Построение модели магнитного ЗБ-нанокомпозита проводится поэтапно. На каждом из этапов считаем, что число N магнитных наночастиц сферической геометрии одинакового диаметра d в октаэдрической полости опаловой матрицы различно (N =1-5),считая фактор заполнения полости магнитным компонентом постоянной величиной. При этом диаметры d магнитных наночастиц подбираются так, что суммарный объем заполнения полости магнитным компонентом во всех случаях остается одинаковым.
Электродинамический расчет компонентов тензора эффективной магнитной проницаемости ЗБ-нанокомпозита из опаловой матрицы
На основе методики, развитойв [6] , из характеристического уравнения рассчитаныпостоянные рас-пространенияпродольных и поперечных G , волн , ив результатерешенияквазисовместнойси-
„ S , ..S ..S ,,
стемы уравненийотносительно неизвестных m , №(Х , Є 1 (компонент m , №(Х , тензора эффективной
магнитной проницаемостии эффективной диэлектрической проницаемости є ) получены комплексные значения эффективных электромагнитных параметров магнитной ЗБ-нанокомпозита на основе опаловой матрицы . -
На рис.1 показаны результаты математического расчета зависимости действительной части RemS
S
диагональной m компоненты тензора эффективной магнитной проницаемости ЗБ-магнитного нанокомпозита на основе опаловой матрицы от относительной величины постоянного магнитного поля
Нотн 0
Hо - Hr Hr
на частоте f=2 6 ГГц(H = 9180Э ) . Кривые (1-4) на рисунке 1 получены при различ-
ном числе N учитываемых в модели магнитных наночастицсферической геометриидиаметра d ( кривая 1
N=1, d=50HM; кривая 2- N=3, d=35HM; кривая 3 - N=4, d=3lHM, кривая 4 - N=5, d=29HM), считая фактор заполнения магнитным компонентом полости опаловой матрицы постоянной величиной.
6 5 4 3 2 1 0 -1 -2
-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 H0™
Рисунок 1 - Зависимости действительной части Rem1 диагональной компоненты m 1 тензора эффективной магнитной проницаемости3Б-нанокомпозитаиз опаловой матрицы ототносительной величиныпосто-
янного магнитного поля
Нотн 0
н0 - Hr
нг
при различном числе N учитываемых в модели магнитных нано-
частиц:Г=2б ГГц; БЮ2наносферы ( Г = 100 НМ , £ = 4,6 - 4 ■ 10 4 1 );магнитные наночастиць^іо.72по.3Бе2<34, (
4pM s = 5000 Гс a = 0,08 , , £ = 9,5 - І 0,3 ,); кривая 1 - N=1, d=50нм;2- N=3, d=35нм; 3 - N=4,
d=31нм,4 - N=5, d=29нм
Магнитный 3D- нанокомпозит на основе опаловой матрицы издиэлектрических наносфер SiO2 (радиус
наносфер Г =100 НМ , относительные комплексная диэлектрическая и магнитная проницаемости
£ = 4,6 - 4 ■ 10-4 , mn= 1 );в модели октаэдрическиемежсферные полости опаловойматрицы заполнены Nмагнитными наночастицами; материал наночастиц^о.72по.3Бв204 (намагниченность насыщения
4pM s = 5000 Г с , константа обменного взаимодействия mo q = 2,2 ■ 10 9э ■ см2, параметр диссипации
a = 0,08 , комплексная диэлектрическая проницаемость £ = 9,5 - І0,3 ).
Как показывает анализ результатов (рисунок 3), при увеличении числа(N =1-5)учитываемых в модели магнитных наносфер с уменьшением их геометрических размеров ^=50-29нм) исокращении расстояния между ними до длины обменного взаимодействия последнее начинает играть доминирующую роль и эффективная магнитная проницаемость нанокомпозита возрастает (кривые 3,4).
Электродинамический расчет S-параметров волноводногоциркуляторанаосновемагнитного 3D-нанокомпозитаиз опаловой матрицы
На рисунке 2 показана конструкция циркулятора, состоящая из двух направленных ответвителей (щелевые мосты), производящих деление передаваемой электромагнитной энергии пополам, вставок из магнитных нанокомпозитов (антипараллельно намагниченных) в одном канале и диэлектрических вставок в другом канале. Циркулятор обеспечивает передачу электромагнитной энергии из канала 1 в канал 2, из 2 в 3, из 3 в 4, из 4 в 1.
l t
Hn
Ы
}d
}c
S 7 8 Д1 8 7 S
Д
b
a
Рисунок2
Волноводный циркулятор на магнитныхнанокомпозитах: a = 3,6 ММ
b = 7, 2 мм
с = 1, 5 мм
, d = 1,0 мм , Д = 14,4 мм , Д1 = 13,8 мм t = 5,0 мм , l = 24,5 мм , 8= 0,1 мм ; 1,2,3,4 - плечи циркулятора; 5 - магнитные нанокомпозиты;6 - диэлектрические вставки (£ = 5, m = 1 ); 7 - направленные ответвители; 8 - отрезки прямоугольного волновода
Математическая модель циркулятора была построена с использованием декомпозиционного подхода. Область циркулятора между сечениями S^ и S2 расчленялась условными границами (штриховые вертикальные прямые на рис.2) на два направленных ответвителя (7), четыре отрезка прямоугольного волновода (8), отрезок волновода с вставками из магнитныхнанокомпозитов,намагниченных антипараллельно (5), отрезок волновода с диэлектрическими вставками (б) . Математические модели направленных ответвителей(7) и отрезков прямоугольного волновода (8) были построены при помощи многомодовыхАБ
[7], отрезка волновода с диэлектрическими вставками (б) - при помощи АБ с виртуальными каналами Флоке [8].
Длина щели l направленных ответвителей (7) циркулятора (рис.2)должна быть такой, чтобы передаваемая электромагнитная энергии делилась пополам. Как следует из результатов математического расчета коэффициента деления кд^ = 20 lg( R21 / R31 ) , где R21 , R41 - элементы матрицы рассеяния ответ-
вителя для волны H10 ,длина щели! для деления электромагнитной энергии пополам между каналами 2,4должна быть равна l = 24,5мм .
Рисунок 3 - Зависимость модулей и фаз элементов матрицы рассеяния R^2 , R21 отрезка прямо-
угольного волновода с антипараллельно намагниченными магнитными нанокомпозитами от напряженности внешнего магнитного поля Н 0 : f = 30 ГГц
В канале циркулятора с магнитными нанокомпозитами (5) (рис.2) для одного из направлений рас-
пространения волны необходимо создать фазовый сдвиг j + P , а для обратного направления - j.На
рис.3 приведены результаты математического расчета зависимостей элементов матрицы рассеяния
R^2 = |rJ12| exp(i j12) , R211 = |R-2,11 exp(i j21) отрезка прямоугольного волновода с вставками из магнитных
нанокомпозитов (5) от напряженности внешнего магнитного поля Hо . Фазовый сдвиг j21 - j12 между
волнами,распространяющимися в прямом и обратном направлениях, равен P приHо = 9,8кЭ (рис.3).
Фазовый сдвиг в канале циркулятора при этом равен j = j21 = 5, 88p .
ІН о=9,8 кЭ
Фазовый сдвиг в канале циркулятора с диэлектрическими вставками (б) также должен составлять j = 5, 88p .Как следует из результатов математического расчета фаз элементов матрицы рассеяния
R2,1 = |r,211| exp(i j21) , = |ri112| exp(i j12) отрезка прямоугольного волновода с диэлектрическими вставка-
ми, фазовый сдвиг составляет j = 5, 88p при длине вставок А1 = 13,8 ММ .
На рис.4, 5 приведены результаты математического расчета коэффициента прохождения
kab = 20 lg(|с^| / |с+1), дБ волны типа Н10 из плеча Ь (b = 1,2,..., 4) в плечо a (a = 1,2,..., 4) (при падении
Н10 волны в плечо a (a = 1,2,..., 4) с амплитудой С+ ) для циркуляторана основе 3Б-нанокомпозитаиз
опаловой матрицы.Кривые (1-3) на рис.4 полученыпри различном числе N учитываемых в модели наночастиц сферической геометрии диаметра d (кривая 1 - N=1, d=50нм; кривая 2- N=4, d=31нм, кривая 4 -N=8, d=25нм, кривые на рис. 5 - при N=1. (Параметрынанокомпозита с
магнитныминаночастицами^о.7Епо.3Бв204. те же, что и на рис.1).
24 2 6 2 8 3 0 3 2 3 4 3 6 3 8 40 f, ГГц
0 •
-10-20-30.
-40-50-а)
k14 » k43 » k32 » k21
N\ . S'V /у ^ ^
4 \ \ \ [V \ Д S4 N\ \S\ // // "/ / / r ✓ / ' / ' / / / / s ✓
\ \ -\ \ \ \ / / / У t / 2 ' / / / J t / /
V \ \ \ \ ' 3 f / / У
kab = 20lS( Cb / k ),ДБ
24 2 6 2 8 3 0 3 2 3 4 3 6 3 8 40 f, ГГц
б)
Рисунок 4 -Зависимость коэффициентов прохождения ka^ = 20lg( / |с+|), дБ волны типа H10 из плеча Ь (Ь = 1,2,...,4) в плечо a (a = 1,2,...,4) - прямых и обратных потерь между плечамициркулятора наосновеЭБ-
нанокомпозитаиз опаловой матрицы с магнитными наночастицамиЫ1о^По.зБе204,
а) кривая 1 - N=1, d=50нм;2- N=4, d=31нм,4 - N=8, d=25нм
б) N=1, d=50нм;
- модельэлектродинамическогог уровня строгости;
- упрощеннаямодель при введении эффективных параметров нанокомпозита.
Результаты математического моделирования (рисунки 4,5)циркулятора на основе 3D- магнитного нанокомпозита получены на основе двухподходов: при помощи модели электродинамического уровня строгости (решении 3D-краевой задачи дифракции для уравнений Максвелла совместно с уравнением Ландау-Лифшица (1)-(6)) и упрощенной модели при введении в уравнения Максвелла тензора эффективной магнитной проницаемости и скалярной диэлектрической проницаемостей 3D-нанокомпозита.
Результаты (сплошные и пунктирные кривые рисунок 4) отличаются при увеличении числа(N =1-
8)учитываемых в модели магнитных наночастиц с уменьшением их геометрических размеров ^=50-25нм), посколькусущественную роль наряду с дипольным взаимодействиеммагнитных наночастиц начинает играть обменное взаимодействие.
Как следует из результатов математического расчета коэффициента прохождения из плеча
b (b = 1,2,..., 4) в плечо a (a = 1,2,..., 4) (рисунки 4,5),прямая передачаэлектромагнитной энергии из
плеча 1 в плечо 2, из 2 в Э, из Э в 4, из 4 в 1 происходит с незначительными потерями, ав остальные плечи - с достаточно большим затуханием. Качество циркулятора, в основном, определяется значениями обратных потерь. Как показываютрезультаты моделирования (рисунки 4, 5),циркуляторына ос-
нове магнитного 3D-нанокомпозитаиз опаловой матрицыобратные потери на 7-10 дБ больше, чем ферри-товыециркуляторы.
Заключение
Развит декомпозиционный подход к математическому моделированию устройств СВЧ диапазона на основе магнитных 3D-нанокомпозитов наноматериалов с учетом обмена и граничных условий. Метод по-строенна основе автономных блоков в виде прямоугольных параллелепипедов, содержащих диэлектрические SiO2 наносферы и магнитные наночастицы,и виртуальными каналами Флоке на гранях.
Разработаны вычислительные алгоритмы, реализующие модели электродинамического уровня строгости (решении 3D-краевой задачи дифракции для уравнений Максвелла совместно с уравнением Ландау-Лифшица) и упрощенной модели при введении в уравнения Максвелла тензора эффективной магнитной проницаемости и скалярной диэлектрической проницаемостей 3D-нанокомпозита. Первый подход более трудный в реализации чем второй, но полученные при этом результаты имеют большую практическую ценность, поскольку только этот подход позволяет достичь адекватности математических моделей реальным электродинамическим объектам.
Развитый метод решения задач дифракциидля уравнений электродинамики совместно с уравнением Ландау-Лифшица (без упрощений уравнения и граничных условий) предоставляет широкие возможности в определении параметров и характеристик устройств СВЧ на основе магнитных 3D-нанокомпозитов, которые сложно определить в эксперименте.
ЛИТЕРАТУРА
1. V.V. Ustinov, A.B. Rinkevich, D.V. Perov, M.I. Samoilovich, S.M. KleschevaRinkevich, A.B. // Journal of Magnetism and Magnetic Materials.2012. Vol.324. PP.78-82
2. А.Г.Гуревич. Г.А. Мелков. Магнитные колебания и волны. М.: Наука, 1994.
3. Никольский В.В., Т.И. Никольская. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики.- М.: Наука. 1983. - 297с.
4. Голованов О.А., Макеева Г.С. Радиотехника и электроника. 2009. Т.54. N12. С. 1421-1428.
5. О.А. Голованов, Г.С. Макеева, М.А. Чиркина. Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2010. N2. С. 126-135.
6. Макеева Г.С., Голованов О.А. Радиотехника и электроника. 2009. Т.54. N12. 1455-1459.
7. Никольский В.В., Голованов О.А. // РЭ. 1979. Т. 24. №.6. С.1070.
8. Голованов О.А. //РЭ.2006. Т.51. №12 .С.1423.
