CC BY
104
УДК 535.32
Г. С. Макеева, О. А. Голованов, Д. Н. Ширшиков
ВЛИЯНИЕ МАГНИТОСТАТИЧЕСКОГО ДИПОЛЬ-ДИПОЛЬНОГО И ОБМЕННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В СИСТЕМАХ ФЕРРОМАГНИТНЫХ НАНОЧАСТИЦ НА ЭФФЕКТИВНУЮ МАГНИТНУЮ ПРОНИЦАЕМОСТЬ ЗЯ-НАНОКОМПОЗИТА1
Аннотация. На основе математической модели электродинамического уровня строгости с учетом обмена и в «безобменном» приближении проведено численное исследование влияния магнитостатического диполь-дипольного и обменного взаимодействий в ансамблях ферромагнитных наночастиц Ni0.7Zn0.3Fe2O4 в 3.0-нанокомпозите из опаловой матрицы при различном числе учитываемых в элементарной ячейке модели магнитных частиц сферической геометрии, считая фактор заполнения магнитным компонентом постоянной величиной. Показано, что различные виды магнитных взаимодействий, как магнитостатическое диполь-дипольное, так и обменное, могут быть способом изменения (модуляции) комплексной эффективной магнитной проницаемости 33>нано-композитов.
Ключевые слова: магнитные взаимодействия, обменное взаимодействие, ди-поль-дипольное взаимодействие, магнитные наночастицы, 3.0-нанокомпозит, опаловая матрица, эффективная магнитная проницаемость.
Abstract. On the basis of a mathematical model of the electrodynamic level of rigor taking into account the exchange and “exchangeless” approximation, the authors have numerically investigated the influence magnetostatic dipolar and exchange interactions in Ni0.7Zn0.3Fe2O4 nanoparticles located in 3D-opal nanocomposite with different number of accountable magnetic particles of spherical geometry in the cell, considering the filling factor of the magnetic component to be a constant. It is shown that the magnetic interactions, both the dipolar and exchange interactions, may be the ways to modify the effective permeability of 3D nanocomposite.
Key words: magnetic interactions, exchange interaction, dipolar interaction, magnetic nanoparticles, 3D-nanocomposite, opal matrix, effective permeability,
Введение
Физические свойства магнитных наноструктур вызывают особый интерес у специалистов, занимающихся синтезом и исследованием новых наноматериалов [1]. Интерес к магнитным наноструктурам мотивирован прежде всего тем, что их свойства обладают большим разнообразием и значительно отличаются от свойств массивного материала. Они зависят от многих факторов: химического состава, методов синтеза, размера и формы магнитных включений, взаимодействия частиц с соседними частицами и окружающей их матрицей [1].
Одним из наиболее интересных с теоретической и практической точек зрения примеров таких наноматериалов являются магнитные 3,0-нанокомпозиты из опаловых матриц, содержащие системы магнитных наночастиц [1].
1 Работа выполнена при поддержке Российским фондом фундаментальных исследований грант № 12-02-97025-р_поволжье_а.
Ансамбли магнитных частиц привлекают пристальное внимание исследователей как системы, которые обладают замечательными свойствами, не имеющими аналогов в массивных кристаллах. Именно на этом и основано применение их в высокотехнологичных процессах. Известно, что в зависимости от содержания магнитной компоненты наноструктура может находиться в суперпарамагнитном, суперферромагнитном или ферромагнитном состояниях [1].
Среди факторов, определяющих электромагнитные свойства 3,0-ансамблей ферромагнитных наночастиц, одними из наиболее важных являются магнитные взаимодействия - магнитостатическое диполь-дипольное и обменное, которые могут не только изменять поведение таких систем, но и приводить к появлению в них качественно новых, коллективных эффектов [2]. Их описание является весьма нетривиальной задачей. Значительным стимулом в изучении ансамблей ферромагнитных наночастиц служит широкая перспектива их практического применения.
Создание новых наноструктурных материалов с заданными свойствами и совершенствование известных требует проведения большого количества дорогостоящих экспериментов, часть из которых может быть заменена более дешевым вычислительным экспериментом. Математическое моделирование предоставляет широкие возможности в определении тех параметров и характеристик анизотропных наноструктурных материалов, которые крайне сложно определить в эксперименте, в том числе эффективных электромагнитных параметров.
Необходимость численного моделирования волновых процессов в анизотропных наноструктурных материалах, базирующегося на математических моделях без упрощения уравнений и граничных условий, вытекает из того факта, что использование идеализированных, упрощенных моделей в приближении эффективной среды часто приводит к некорректным выводам [3].
В этой связи актуальной является задача численного исследования влияния различных видов магнитных взаимодействий - магнитостатического диполь-дипольного и обменного - в ансамблях магнитных наночастиц (на основе математических моделей электродинамического уровня строгости с учетом обмена и граничных условий) и расчета компонентов тензора эффективной магнитной проницаемости магнитных 3D-нанокомпозитов из опаловых матриц.
2. Математическая модель с учетом обмена и граничных условий
Построение математической модели волновых процессов в магнитных 3D-нанокомпозитах базируется на решении 3D-краевой задачи электродинамики для системы уравнений Максвелла:
rot H (t) = є0 +° E(t);
(1)
(2)
B(t) = M (t) + ц 0 H (t),
(3)
с соответствующими электродинамическими граничными условиями, дополненной уравнением движения вектора намагниченности в ферромагнетике в форме Ландау - Лифшица с учетом обменного взаимодействия [2]:
Здесь Е(ґ), Н(ґ) - векторы напряженности электрического и магнитного полей; М (ґ) - вектор намагниченности среды; В(ґ) - вектор магнитной индукции; Н эф (ґ) - суммарное эффективное поле, включающее поле обменного взаимодействия НС1 (ґ); V - оператор Лапласа; є - относительная диэлектрическая проницаемость среды; а - электропроводность среды; £0, ^0 - электрическая и магнитная постоянные; у - гиромагнитное отношение; тг = ауН о - частота релаксации, а - параметр диссипации; Хо - статическая восприимчивость; q - константа обменного взаимодействия.
Электродинамическая модель волновых процессов в магнитных 3.0-нанокомпозитах строится на основе декомпозиционного подхода [4].
На рис. 1 показана модель магнитного 3і>нанокомпозита на основе опаловой матрицы из диэлектрических 8і02 наносфер, который рассматриваем как квазипериодическую 3,0-наноструктуру с геометрическими размерами ячейки а, Ь, с .
Область 3.0-нанокомпозита на основе опаловой матрицы (рис. 1,б) разбивается на автономные блоки с магнитными нановключениями и виртуальными каналами Флоке (ФАБ) [5], содержащие диэлектрические 8І02 наносферы и магнитные наночастицы, внедренные в межсферические полости опаловой матрицы (рис. 1,в).
Сложная структура 3.0-нанокомпозита на основе опаловой матрицы требует определения дескриптора ФАБ, содержащего диэлектрические наносферы и магнитные наночастицы в межсферических октаэдрических и тетраэдрических полостях (с различным числом наночастиц). Дескриптор (в линейном приближении в виде матрицы рассеяния Я или проводимости У [4]) ФАБ, содержащих диэлектрические 8і02 наносферы и магнитные наночастицы, определяется из решения краевой задачи дифракции [5].
3. Результаты расчета эффективной магнитной проницаемости 3.0-нанокомпозита с учетом обменного взаимодействия различного числа наночастиц
На основе методики, развитой в [6], вводим тензор эффективной магнитной проницаемости магнитного 3^-нанокомпозита и эффективную диэлектрическую проницаемость є2, являющуюся скалярной величиной. Кому у
поненты |1 , ца тензора эффективной магнитной проницаемости и эффек-
М) = -у(лМ (ґ) хНэф (ґ)) + юу (хо Н (ґ)-М (ґ));
Н эф (ґ) = Н (ґ) + Н q (ґ);
Н q (ґ) = q V2M (ґ).
(4)
(5)
(6)
у
тивная диэлектрическая проницаемость є определяются из решения квази-совместной системы уравнений [6]:
У (ГУ /ко)1 + (Гу /ко)1 М =
2єУ
м2 = (ГУ / ко)1 - (ГУ / ко)1 ма
п ч
є = || /ко)
у
(7)
где Гу, Г-У, Гу||, Г2! - постоянные распространения продольных (правополяризованной и левополяризованной) волн и поперечных (обыкновенной и необыкновенной) волн, распространяющихся в неограниченной гиромагнитной среде в направлении Но (Но = Но ^) и перпендикулярно Но
( Но = Но .?о) соответственно; мг = 1; ко = Юд/єоМо .
Рис. 1. Модель магнитного 3.0-нанокомпозита на основе опаловой матрицы: а - направление распространения волнового процесса с волновым вектором к; б - периодическая 3^-наноструктура и направление внешнего постоянного
магнитного поля Но; в - моделирование ячейки периодической 3.0-наноструктуры автономным блоком с каналами Флоке: 1 - диэлектрические 8і02 наносферы,
2 - магнитные наночастицы; V - основная область; V = V и Уі и V и ¥4 -области диэлектрических наносфер; V - V - область магнитных наночастиц; оа2а (а = 1,2,...,6) - локальные системы координат для входных сечений Ба (граней); а, Ь, с - геометрические размеры ячейки
Из характеристического уравнения [6] рассчитаны постоянные распространения Гу, Г-У, ГУ||, ГУі продольных и поперечных волн (п = о) и в результате решения квазисовместной системы уравнений (7) относительно неиз-
вестных ц2, ц2, е 2 получены комплексные значения эффективных электромагнитных параметров.
Рассмотрим влияние на эффективную магнитную проницаемость числа N магнитных наночастиц в межсферической полости опаловой матрицы в ФАБ (рис. 1,в). Расчеты выполнены для одинакового во всех вариантах N = 1, 3-5) коэффициента заполнения р межсферического объема магнитными наночастицами р = 0,07. В каждом из вариантов диаметр й магнитных наночастиц сферической геометрии подбирается так, что суммарный объем заполнения полости магнитным компонентом во всех случаях N = 1, 3-5) остается одинаковым.
Результаты электродинамического расчета действительной и мнимой частей диагональной ц2 и недиагональной ц2 компонент тензора эффективной магнитной проницаемости магнитного 3,0-нанокомпозита на основе опаловой матрицы в зависимости от относительной величины постоянного магнитного поля Яо™ = (Но - Нг) / Нг на частоте / = 26 ГГц (Нг = 9180Э) показаны на рис. 2.
- расчет, О - эксперимент [7]
Рис. 2. Расчетные зависимости действительной и мнимой частей диагональной ц2 (а) и недиагональной ц2 (б) компонент тензора эффективной
магнитной проницаемости от относительной величины Н0отн = (Н0 - Нг)/Нг, при различном числе N учитываемых в модели магнитных наночастиц: / = 26 ГГц; 8Ю2 наносферы (г = 100 нм, еу = 4,6 - 4 • 10-4); магнитные наночастицы Ni0.7Zn0.3FeA, (4пИ3 = 5000Гс, а = 0,08, е = 9,5-0,3); кривая 1 - N = 1, й = 50 нм; 2 - N = 3, й = 35нм; 3 - N = 4, й = 31 нм, 4 - N = 5, й = 29нм
б)
Рис. 2. Окончание
Кривые 1-4 на рис. 2 получены при различном числе N (вставка рис. 2) учитываемых в элементарной ячейке модели магнитных наночастиц сферической геометрии диаметра й (кривая 1 - N = 1, й = 50 нм; кривая 2 - N = 3, й = 35 нм; кривая 3 - N = 4, й = 31 нм, кривая 4 - N = 5, й = 29 нм), считая фактор заполнения р межсферической полости магнитными наночастицами постоянной величиной, р = 0,07. В расчете принято, что магнитный 3,0-нанокомпозит на основе опаловой матрицы из диэлектрических наносфер SiO2 (радиус наносфер г = 100 нм, относительные комплексная диэлектрическая и
магнитная проницаемости еу= 4,6-4• 10 4, |1у= 1); в модели октаэдрические межсферные полости (рис. 1,в) заполнены N магнитными наночастицами; материал наночастиц №0.72па3Ре204 (намагниченность насыщения 4кМ$ = 5000 Гс,
константа обменного взаимодействия Ч = 2,2 -10 9 Э • см2, параметр диссипации а = 0,08, комплексная диэлектрическая проницаемость е = 9,5 - /0,3 ).
Как показывает анализ результатов расчета (см. рис. 2), при увеличении числа N = 1-5 учитываемых в модели магнитных наночастиц с уменьшением их геометрических размеров (й = 50-29 нм) и при сокращении расстояния между ними до длины обменного взаимодействия эффективная магнитная проницаемость нанокомпозита возрастает (кривые 3, 4 рис. 2), несмотря на то, что суммарный объем заполнения полости магнитным компонентом во всех случаях ^ = 1, 3-5) остается одинаковым.
На рис. 2 показаны для сравнения расчетные и экспериментальные [7] зависимости. Наилучшее совпадение результатов моделирования с экспериментом в области ферромагнитного резонанса (ФМР) наблюдается в модели,
учитывающей наибольшее из рассмотренных число магнитных наночастиц N = 5 с минимальным диаметром (й = 29 нм) в полости опаловой матрицы (при выбранном значении параметра диссипации а = 0,08).
Однако в рамках детерминированной модели (при выбранном значении параметра диссипации а = 0,08) вдали от ФМР (#0 < Н0) расчетные значения мнимой части диагональной ц2 компоненты тензора эффективной магнитной проницаемости (рис. 3), определяющие магнитные потери нанокомпозита, отличаются от экспериментальных [7] .
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 Н 0,кЭ
Рис. 3. Зависимости мнимой части диагональной компоненты ц2 тензора эффективной
магнитной проницаемости магнитного 3.0-нанокомпозита на основе опаловой матрицы от величины постоянного магнитного поля Н0: / = 26 ГГц, магнитные наночастицы №0.72по.зРе204, параметр диссипации а = 0,08, N = 5, й = 29 нм
3. Сравнение результатов расчета на основе математической модели в «безобменном» приближении и с учетом поля обменного взаимодействия
Как следует из результатов математического моделирования (рис. 2), при увеличении числа (Ы = 1-5) учитываемых в элементарной ячейке модели магнитных наночастиц в ФАБ одновременно с уменьшением их геометрических размеров (й = 50-29 нм) и сокращением расстояния между ними эффективная магнитная проницаемость нанокомпозита возрастает (кривые 3, 4) при постоянном факторе заполнения р межсферической полости магнитными наночастицами. Это может быть следствием конкуренции доминирующих магнитных взаимодействий в системе.
Согласно уравнению Ландау - Лифшица (4) движение вектора намагниченности определяется эффективным магнитным полем Нэф (^), в котором
находится наночастица. Эффективное поле Нэф ^) представляет собой сумму
(5) поля анизотропии, локальных дипольных полей, поля обменного взаимодействия Ну ^).
Особенности микроволновых магнитных свойств ансамбля магнитных частиц объясняются взаимодействиями в ансамбле. Намагниченность - важнейшая характеристика ансамбля - определяется как индивидуальными параметрами магнитных наночастиц, составляющих ансамбль, так и характером их взаимодействий. В системах ферромагнитных наночастиц в магнитных нанокомпозитах возможны оба вида взаимодействий - как магнитостатическое диполь-дипольное, так и обменное [8].
Для того чтобы выявить влияние различных видов взаимодействий -диполь-дипольного и обменного - проведен электродинамический анализ распространения электромагнитных волн в 3,0-магнитных нанокомпозитах на основе решения уравнений Максвелла (1), (2) совместно с уравнением движения вектора намагниченности в ферромагнетике без учета обменного взаимодействия [2]:
= -у( М хН) + »г (%0 Н -М). (8)
ш
В уравнении Ландау - Лифщица (4) поле обменного взаимодействия Ну теперь не учитывается (Ну = 0), для чего константа обменного взаимодействия полагается равной Ч = 0.
В «безобменном» приближении на основе уравнений (1), (2), (8) проведен электродинамический расчет действительной и мнимой частей диаго-
2 2 нальной ц и недиагональной ца компонент тензора эффективной магнитной проницаемости магнитного 3,0-нанокомпозита в зависимости от относительной величины постоянного магнитного поля Н0отн = (Н0 - Нг)/Нг, на частоте / = 26 ГГц (в модели N = 5, й = 29 нм), результаты которого представлены на рис. 4 (параметры магнитного 3,0-нанокомпозита те же, что и на рис. 2). Для сравнения на рис. 4 (пунктирные кривые) показаны также расчетные зависимости, полученные с учетом обменного взаимодействия (в математической модели в уравнении Ландау - Лифщица (4) Ну Ф 0).
Из результатов математического моделирования (рис. 4) следует, что оба вида взаимодействий - магнитостатическое диполь-дипольное и обменное - существенно влияют на внутреннее магнитное поле и, как следствие, на ФМР в магнитном 3,0-нанокомпозите.
В магнитном 3,0-нанокомпозите со слабо взаимодействующими наночастицами, одиночными в ячейке ^ = 1) и имеющими наибольшие из рассмотренных размеров (й = 50 нм), наблюдается значительная деградация эффективной магнитной проницаемости (сплошная кривая 1 на рис. 4).
Приближение невзаимодействующих наночастиц справедливо, если среднее дипольное магнитное поле, действующее на наночастицу, много меньше поля анизотропии. Если это условие нарушается, тогда кооперативные эффекты, обусловленные магнитными взаимодействиями, существенно изменяют магнитные свойства ансамблей наночастиц [9]. Это подтверждается экспериментальными исследованиями влияния взаимодействия на комплексную магнитную восприимчивость [10, 11].
а)
б) _
________- расчет в «безобменном» приближении НЧ = 0;
_______- - расчет с учетом обменного взаимодействия Н Ф 0; О - эксперимент [7]
Рис. 4. Зависимости действительной и мнимой частей диагональной ц2 (а, б)
и недиагональной ц2 (в, г) компонент тензора эффективной магнитной проницаемости магнитного 3.0-нанокомпозита на основе опаловой матрицы от относительной величины Н0отн = (Н0 - Нг)/Нг: / = 26 ГГц, магнитные наночастицы №0.72па3Ре204, параметр диссипации а = 0,08; кривые: 1 - N = 1, й = 50 нм;
2 - N = 3, й = 35нм; 3 - N = 4, й = 31 нм, 4 - N = 5, й = 29 нм
-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
в)
і
1 1
£ Iі ‘/4 г ІІ
'і' 'і' У, '/3 й
¥ V ' >2 ^ 1
1.1 #-II ч "3/ 1.1 п/ \Ч^4 и'*
І,1 І/ Ч № \у 21
УиЙі
,0 -0 ,8 -0 ,6 -0 ,4 -0,2 г) Рис. 4. Ои 0 0,2 0 знчание ,4 0 6 0 ,8 1,
1шца
1,0 но
8
1
Как показывает анализ результатов математического моделирования, в «безобменном» приближении (сплошные кривые 2-4 рис. 4), при увеличении числа (Ы = 3-5) учитываемых в модели магнитных наночастиц, вовлеченных в ансамбль, наряду с уменьшением их геометрических размеров (с1 = 50-29 нм) и уменьшением расстояния между частицами, магнитостатическое диполь-дипольное взаимодействие обусловливает изменение эффективной магнитной проницаемости и эффективного параметра диссипации (сплошные кривые 2-4 рис. 4).
Как показывает сравнение результатов математического моделирования в «безобменном» приближении (сплошные кривые рис. 4) и учет обменного взаимодействия (пунктирные кривые), при увеличении числа учитываемых в элементарной ячейке модели магнитных наночастиц с уменьшением их геометрических размеров и сокращением расстояния между ними до длины обменного взаимодействия последнее начинает играть доминирующую роль и эффективная магнитная проницаемость 3.0-нанокомпозита резко возрастает.
При переходе к масштабу порядка длины обменного взаимодействия при наличии сильной связи между магнитными наночастицами в ячейке, обусловленной обменными силами, имеет место дополнительный механизм потерь, связанный с возбуждением и совместным движением взаимодействующих между собой поверхностных и объемных спинов в магнитных наночастицах [12]. В результате обменного взаимодействия эффективный параметр диссипации (пунктирные кривые 3, 4 рис. 4) резко возрастает) [13].
Таким образом, неоднородное внутреннее магнитное поле и пространственное распределение магнитного момента вызывают существенные изменения эффективной магнитной проницаемости и эффективного параметра диссипации. Результаты, приведенные на рис. 4, показывают, что магнитные взаимодействия, как магнитостатическое диполь-дипольное, так и обменное, могут быть способом изменения (модуляции) комплексной эффективной магнитной проницаемости 3^-нанокомпозитов [14].
Изучение особенностей физики микроволновых явлений в магнитных наноструктурированных материалах позволяет не только получить ценную информацию о природе физических взаимодействий, но и определить перспективы практического применения новых магнитных нанокомпозитов.
Список литературы
1. Ринкевич, А. Б. Нанокомпозиты на основе опаловых матриц с 3!)-струк-турой, образованной магнитными наночастицами / А. Б. Ринкевич, В. В. Устинов, М. И. Самойлович и др. // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. - 2008. - № 4. - С. 55-63.
2. Гуревич, А. Г. Магнитные колебания и волны / А. Г. Гуревич, Г. А. Мелков. -М. : Наука, 1994. - 464 с.
3. Митра, Р. Критический взгляд на метаматериалы / Р. Митра // Радиотехника и электроника. - 2007. - Т. 52, № 9. - С. 1051-1058.
4. Никольский, В. В. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики /
B. В. Никольский. - М. : Наука, 1983. - 297 с.
5. Голованов, О. А. Электродинамический анализ распространения электромагнитных волн в 3.0-магнитных нанокомпозитах на основе опаловых матриц / О. А. Голованов, Г. С. Макеева, М. А. Чиркина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 2. -
C. 126-135.
6. Макеева, Г. С. Математическое моделирование распространения электромагнитных волн в наноструктурированных гиромагнитных средах методом автономных блоков с магнитными нановключениями и каналами Флоке / Г. С. Макеева, О. А. Голованов // Радиотехника и электроника. - 2009. - Т. 54, № 12. - С. 1455-1459.
7. Ustinov, V. V. Anomalous magnetic antiresonance and resonance in ferrite nanoparticles embedded in opal matrix / V. V. Ustinov, A. B. Rinkevich, D. V. Perov et al. // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 2012. - V. 324. - P. 78-82.
8. Castel, V. Broadband Ferromagnetic Resonance Measurements in Ni/ZnO and Niy-Fe2O3 Nanocomposites / V. Castel, J. B. Youssef, and C.Brosseau // J. Nanomaterials. -2007. - V. ID 27437. - P. 16.
9. Горобец, Ю. И. Магнитное упорядочение в гранулированной системе /
Ю. И. Горобец, Ю. И. Джежеря, А. Ф. Кравец // Физика твердого тела. - 2000. -
Т. 42, № 1. - С. 121-125.
10. Van Lierop J. Mossbauer spectra of single-domain fine particle systems described using a multiple-level relaxation model for superparamagnets / J. Van Lierop,
D. H. Ryan // Phys. Rev. B. - 2001. - V. 63. - Р. 064406(13).
11. Jonsson, P. Nonlinear dynamic susceptibilities of interacting and noninteracting nanoparticle systems / P. Jonsson, T. Jonsson, J. L. Garcia-Palacios, P. Svedlindh //
J. Magn. Magn. Mater. - 1999. - V. 222, № 1-2. - P. 219-226.
12. Shilov, V. P. Effect of unidirectional anisotropy on the ferromagnetic resonance in ferrite nanoparticles / V. P. Shilov, J.-C. Bacri, F. Gazeau et al. // Phys. Rev. B. -1999. - V. 60. - P. 11902-11905.
13. Pardavi-Horvat, M. Nonlinear phenomena in magnetic nanoparticle systems at microwave frequencies / M. Pardavi-Horvat, G. S. Makeeva, O. A. Golovanov // IEEE Trans. Magn. - 2008. - V. 44. - Р. 3067-3070.
14. Zheng Hong. Microwave Magnetic Permeability of Fe3O4 Nanoparticles. Chin. / Zheng Hong, Yang Yong, Wen Fu-Sheng, YI Hai-Bo, Zhou Dong, Li Fa-Shen. // Phys. Lett. - 2009. - V. 26, № 1. - Р. 017501.
Макеева Галина Степановна
доктор физико-математических наук, профессор, кафедра радиотехники и радиоэлектронных систем, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Голованов Олег Александрович доктор физико-математических наук, профессор, кафедра общепрофессиональных дисциплин, Филиал Военного учебно-научного центра сухопутных войск «Общевойсковая академия Вооруженных сил РФ» (г. Пенза)
E-mail: [email protected]
Ширшиков Дмитрий Николаевич адъюнкт, кафедра общепрофессиональных дисциплин, Филиал Военного учебнонаучного центра сухопутных войск «Общевойсковая академия Вооруженных сил РФ» (г. Пенза)
E-mail: [email protected]
Makeeva Galina Stepanovna Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of radio engineering and radio electronic systems, Penza State University
Golovanov Oleg Alexandrovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of interprofessional disciplines, branch of the Military Educational and Research Center of the land forces “Combined Arms Academy of the Armed Forces of RF” (Penza)
Shirshikov Dmitry Nikiolaevich Postgraduate student, sub-department of interprofessional disciplines, branch of the Military Educational and Research Center of the land forces “Combined Arms Academy of the Armed Forces of RF” (Penza)
УДК 535.32 Макеева, Г. С.
Влияние магнитостатического диполь-дипольного и обменного взаимодействий в системах ферромагнитных наночастиц на эффективную магнитную проницаемость 3.0-нанокомпозита / Г. С. Макеева, О. А. Голованов, Д. Н. Ширшиков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 4 (24). - С. 150-161.
