Критерии однозначной решимости задачи Дарбу с отходом от характеристики для многомерного уравнения Эйлера-Дарбу-Пуассона Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

КРИТЕРИИ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧ ДАРБУ С ОТХОДОМ ОТ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА — ДАРБУ — ПУАССОНА Р, Б, Сеилханова

В [1] для уравнения колебания струны исследовалась задача Дарбу с отходом от характеристики, где было обращено внимание на изучение таких задач, для гиперболических уравнений. Многомерные аналоги этих задач для волнового уравнения предложены в [2]. В данной работе получен критерий однозначной разрешимости задач Дарбу с отходом от характеристики для многомерного уравнения Эйлера — Дарбу — Пуассона.

1. Постановка задач и основные результаты. Пусть Dp — конечная область евклидова пространства Em+i точек X,... ,xm,t), ограниченная поверхностями (3\x\ = t, \x\ = 1 — t и плоскостью t = О, где \x\ — длина вектopa x = X,... ,xm), а 0 < в = const < 1. Части этих поверхностей, образующих границу dDp области Dp, обозначим через Sp, S1 и S соответственно.

В области Dв рассмотрим уравнение Эйлера — Дарбу — Пуассона

а

Ахи - utt - jut = 0, (1)

где Ax — оператор Лапласа по переменным xi,... ,xm, m ^2, а — действительное число.

Через ua(x,t) обозначим решение уравнения (1) при данном а.

© 2008 Сеилханова Р. В.

В качестве многомерных аналогов задач Дарбу с отходом от характеристики для уравнения (1) рассмотрим следующие задачи.

Задача 1. Найти в области В в решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям

иа\Б = т(х), па\вр= а(х) при а < 1; (2)

= т(х), па\зв = <г(х) при а = 1; (3)

ua

ш

S

(га па)\в = т(х), п0\вв= а(х) при а > 1. (4)

Задача 2. Найти в области В в решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям

Нт ¿а(па — па,2) = и(х), па\зв = а(х) при а < 1; (5)

t^o

lim ¿(In t)2 ^ = v{x)i ua\sß=v{x) при а = 1; (6)

limt2-a[ta— (ua — ua2)]t = v(x), ua\S = a(x) при а > 1, (7)

где uaд (x, t), uaß (x, t) — вполне определенные функции, зависящие от a(x), v(x).

В дальнейшем нам будет удобно перейти от декартовых коорди-

HctT x^ , ... , xmm,

t к сферическим r,0\,...,0m-\,t, r ^ 0, 0 ^ 0i < 2n, 0 < 0i ^ n, i = 2, ...,m — 1. Пусть {Yjkm(0)} — система линейно независимых сферических функций порядка n, 1 ^ k ^ kn, (m — 2)lnlkn = (n + m — 3)!(2n + m — 2), 0= (01,...,0m-), WS), l = 0,1,..., — пространства Соболева, a Sß = {(г, в) е S, 0 < г < -щ^}- Через т^(г), уЩr), äk(r) обозначим коэффициенты рядов по сферическим функциям Yn;m(0) соответственно функций т(г, 0), v(r, 0), a(r, 0), а через Hß — проекцию области Dß та плоскость (r,t). Имеет место [3]

Лемма. Пусть f(r, 0) G S). Если l ^ m — 1, то ряд

ж kn

f(r,0) = Y.T.fk( rYu 0),

n=0 fc=l

а также ряды, полученные нз него дифференцированием порядка р ^ I — т + 1, сходятся абсолютно н равномерно. Введем множество функций

С оо кп

Bp (S)= f(r, e):f e WK (Ш r) II Cp+2(( 0,1))

I n=0k=l

+ ||/nM||cp([o,i])KexP 2n2)n2'' <oo, I > p = 0,1,... |

lr)l Icp([o ,1]'

Пусть далее p ^0 — наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенствам a + 2p ^ m — 1, если a ^ 0, и 2 — a + 2p ^ m — 1, если a ^2; q ^0 — наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенствам 2 — a+2q ^ m — 1, если 0 < a ^ 1, и a+2q ^ m — 1, если 1 ^ a < 2, а также s такое, что s = [—-f], если a ^ 0, и s = [-f — l], если a ^ 2, где a — целая часть числа a. Введем обозначение ц = max{s + l,p}, y = max{s + 1, q}.

Если r(r,e) = rs+1 r*(r,e), v(r,e) = rs+1 v*(r,e), т*(r,e) e вI(S), v* (r, 0) e BY(S), a(r, 0) = ra* (r, 0), a* (r, 0) e Bls+1 (Sp) нри a < 0 и a > 2; r(r,0) = rq+zт*(r,0), v(r,0) = rq+3v*(r,0), т*(r,0),v(r,0) e Blq+1 (S), a(r, 0) = rq+2a* (r, 0), a* (r, 0) e Blq+1 (Sp) при 0 < a < 1 и 1 < a < 2, то справедлив следующий критерий.

Теорема. В классе C(Dp\S) П С2 (Dp) задачи 1 и 2 однозначно разрешимы тогда и только тогда, когда в < 1. a

2. Сведение задач 1 и 2 к двумерным задачам Дарбу. В

сферических координатах уравнение (1) имеет вид

m — a

-ur---ou — utt--Щ = 0, (8)

где

r r£ t

5 = _ У" _-__— (sin0 • —

,</;si»" ' ''VVV

01 = 1, gj = (sin 01 . . . sin — 2, j > 1.

Так как искомое решение па принадлежит С {Вв), его можно искать в виде ряда

^ кп

п

а( г,в,г) = ^Т,пка. Л г,г)у£т( в), (9)

п=0 к=1

где пО,. п(т,г) — функции, которые будут определены ниже. Подставив (9) в (8) и использовав ортогональность сферических функций Уктт (в) [3], получим уравнение

Г ук = ук + т~1ук - Ук - -Ук - —Ук - 0

п — а,пгг т "а, пг "а, пИ , "а, 9 и'а,п ~ и1

= п(п + то — 2), к = 1, кп, п = 0,1,..., которое с помощью замены переменных = г-сводится к уравнению

Ьпк =ик -чк | [(то ~ 1)(3 - то) - 4А„] д, _

Далее, из краевых условий (2)-(7) для функций т, г) соответственно будем иметь

пка . Л г,0) = тк{ т), па . Л Г, ¡Зт) = аЩ т), (11)

ыг

к = 1, кп, п = 0,1, ...,а < 1;

= П т), пка . п( т,0т)=*к( т), (12)

4=0

к = 1, кп, п = 0,1, ...,а = 1;

(¿^па,0 и = тккГ, пка. ^т,вт) = аЩт), (13)

к = 1,кп, п = 0, 1,...,а>1; ПтГ(пка,п — па,2п)4 = "П(т), пка,п(т,вт) =аП(т), а<1, (14)

к — 1, кп, п — 0,1,...;

пк пк,

а'пш а'п^(1Ш)2 = 1Ук(г), <п(г,/3г) = ^(г), а. = 1, (15)

к — 1, кп, п — 0,1,...;

к

п

а.г

Ит г2-а [Г-1 (пк0,п — и^)]^ Пг), пкап(т,13г)= *кпГ, а > 1,

(16)

к = 1,кп, п = ОД,...,

где тк(г) = г^тк{г), ъ>п(г) = г211ъ1Рк(г), сгк{г) = г^^а^г).

Таким образом, задачи 1 и 2 сведены к двумерным задачам Дарбу в области Ир для уравнения (10). Решение этих задач будем изучать в п. 4. Наряду с уравнением (10) рассмотрим уравнение

п — „.к I т 1 к

Ьоип,п — пп,п

~Щ,пт ио,гм

п [(т — 1)(3 — т) — 4К]„пк

г

которое с помощью замены переменных

г + г г — г

£ = —> V =

иП,п =

(Юо)

сводится к уравнению

Мик =ик | [(то - 1)(3 - т) - 4АП] к _

4(£ + п)2

Решение задачи Коши для (17) с данными

(17)

ик,п( — п О

имеет вид [5]

(дипп дик

,п

V д£ дп

в

1 + в

,п

где

тк(0 = (2£)^(2£), */(£) = ^2(2£)^(2£)

(й — т)(£ — + +

М1

(й +

к

г

— функция Римана для уравнения Ми^ п = 0 [6], а Р^ (г) — функция Лежандра,

(ш — 3) д

(д д д

£1=41

\дК> дщ дМ'

N' — нормаль к прямой £ = п в точке направленная в сторону

полуплоскости п ^

3. Функциональная связь между решениями задачи Коши для уравнений (10а) и (10о). Сначала приведем некоторые свойства оператора Ьа, которые необходимы для дальнейших исследований. Если иа — решение уравнения Ьаи = 0, то функция

и2иа (19)

является решением уравнения _а = 0. Если иа — решение уравнения Ьаи = 0, то функция

1 диа

1~дГ = иа+2 (20)

будет решением уравнения аи = 0. Оператор Ьа обладает свойством

Ьаиа= ^ аЬ2_а^а 1 иа) . (21)

Указанные свойства устанавливаются аналогично тому, как они были доказаны для уравнения (1) [7]. Из равенства (19) имеем и_а_2Р = ¿а+2р_1 иа+2р. Применив к последнему равенству р раз формулу (20), а затем (19), получим

/1 д \Р

П2 Г+2Н««+2Р). (22)

Соотношение (22) является фундаментальной формулой [7] для решения задачи Коши. Пусть р\ ^0, ^ ^0 — наименьшие целые числа, удовлетворяющие неравенствам а + 2р\ ^ ш — 1,2 — а + 2^ ^ ш — 1.

Утверждение 1. Если иу'П(— решение задачи Коши для

уравнения (10о), удовлетворяющее условию

д

<£М) = 0, Ж4:кп(г,0) = ^(г), (23)

то функция

& г,1) = !-01-а! 4 :кп( г,ет — е

7-аГ В^2у%кп{г,-Ь)

(24)

при а < 0 будет решением уравиеиня (10а), удовлетворяющим условию

9 "" (25)

<*„М)=0, 1Ш1 Г-и^кп = ик(г).

Если же О < а < 1, то функция

г 1

= - - + 1 Ш,

я-1

(26)

является решением уравнения (10а) с начальными данными (25), где л/7гГ(|;)70, = 2Г(^|-!-)) Т(г) — гамма-функция, В^ — оператор Рима-иа — Лпувилля [7], а щ'г, г) — решение уравнения (10о) с начальными условиями

к

п

г,

г)

д

(1 — а)(3 — а) . .. (2</1 + 1 — а)' дЬ °'п

Утверждение 2. Если щ'г, г) — решение задачи Кошн для уравнения (10о), удовлетворяющее условию

Iпг, 0) = 0. (23')

то функция

д

1

(27)

(28)

г

г

при а > 0 будет решением уравпепия (10а), удовлетворяющим условию (27).

Утверждение 3. Если щ'П(— решение задачи Кошн для уравнения (10о), удовлетворяющее условию (27), то функция

1

= / ^ы^-а^ч^-ак (29)

о

является решением уравнения и = 0 с начальными данными

1'к

= тЦ(г). (30)

ц1,та

1=0

Справедливость приведенных утверждений устанавливается так же, как они доказаны для уравнения (1) и волнового уравнения [8— 10]. Приведем некоторые следствия из утверждений 2, 3. Сначала рассмотрим случай а < 0, а ф —(2г + 1), г = ОД,.... Если щ'П(г, — решение задачи Коши для уравнения (10о) с данными

01 - (1-„)..>1^-1)- °> - (31)

то из утверждения 2 следует, что функция

1

ма+2Р1,п(г^) = 7а+2Р1 J - ) ^^ С^

О

является решением уравнения Ьа+2Р1 и = 0, удовлетворяющим начальному условию (31). Тогда из соотношений (22) и (19) вытекает, что функция

Д д V1

ио П М)

'ог2

является решением уравнения (10а) и удовлетворяет условию (27).

(32)

Пусть а = — (2т + 1). Если щ'П(т,Ь) — решение задачи Коши для (10о) с данными (27), то из (19), (22) и утверждения 3 нетрудно получить, что функция

1,к / .ч .2(г+1) (1 д А +

(33)

х Iи^ыт-ег^чч!-?))<% .0

является решением задачи Коши для г+1 уи = 0, удовлетворяющим условию (27).

Используя [11,лемма 1.14.2], соотношение (33) можно записать в

виде

'Чмг

и

1,к / .ч а

5+г

О.п V

Ь

а = ^Г'(1) - ' - ыг.

(34)

4. Доказательство теоремы для задач 1 и 2. Пусть 0 < 1. Рассмотрим задачу 1.

1. СЛУЧАЙ а < 1. Решение задачи (10а), (11) будем искать в виде иа,п(т,Ь) = и10кп + иакп, где иакп{т,Ь) — решение задачи Коши (10а), (27), а и2акп{т,Ь) — решение задачи для (10а) с условием

и^Чт, 0) = 0, и^Чт, 0т) = акпт — и^т, 0т), (35)

к = 1,кп, п = ОД,....

Учитывая формулы (28), (32) и (34), задачи Коши (10а), (27) сводим к задачам Коши (10о), (31) и (10о), (27), решения которых имеет вид (18). Далее, используя формулы (24), (26), краевую задачу (10а),

и кп т,

и>' П( т, 0т) = фП( ^и а ^Оик задаче для (10о) с условием д

-М^(г,0)=0, и2£(т,0т) = <ркп(т) (36)

при 0 < а < 1, где г) — функция, выражающаяся через тп(г к

п

а^г). Эти задачи, как показано в [4], имеют единственные решения.

Следовательно, с учетом утверждения 1 получим однозначное решение задачи (10а) (11) в классе С(Нр) П С2(Нр).

2. СЛУЧАЙ а = 1. Решение задачи (10а), (12) будем искать в виде

к 'к 'к 'к

ик п\г, г) = Щ п + Щ п> где щ п (г,1) — решение задачи для уравнения (10а) с данными (30), а щ г, г) — решение краевой задачи для (10а) с условием

д

о1и1,п(г> °) = °> М = ап(г) - и1кп(г, М- (37)

В силу (29) задача (10а), (30) сводится к задаче Коши (10о), (27). Учитывая формулу (28), задачу (10а), (37) приводим к задаче (10о), (36). Таким образом, задача (10а), (12) однозначно разрешима. Используя формулы (21), (19), задачу (10а), (13) сводим к исследованному случаю а < 1.

Значит, ряд вида

^ кп

иа(г,в,г) = (38)

пк

является единственным решением задачи 1 при [3 < где функции ика п(г, г) определяются из двумерных задач.

Учитывая ограничение на заданные функции т(г, в), а (г, в), как и в [4,12], нетрудно показать, что решение (37) принадлежит искомому-классу. Теперь рассмотрим задачу 2.

1. СЛУЧАЙ а < 1. Решение задачи (10а), (14) будем искать в виде и^ ' Л г,г) = иакп + и2акп, где и2акп( г,г) — решение задачи К оши (10а), (25), а иО;кп(г,г) — решение задачи для уравнения (10а) с условием (37). В силу (24), (26) задача (10а), (25) приводится к задаче (10а), (23) при а < 0 и задаче (10о), (23') щи 0 < а < 1. Используя (32) и (34), задачу (10а), (37) сводим к задаче (10о), (36), которая однозначно разрешима [4]. Таким образом, задача (10а), (14) имеет единственное решение.

2. СЛУЧАЙ a = 1. Решение задачи (10а), (15) ищем в виде 1 ,п( r,t) = U ' П + % ' П гДе U r>t) — решение задачи Кош и для (10а)

± n ' u

с данными

д

ъЦ(г,0) =-г,*(г), -ч1'кп{г, 0) = 0, (39)

а и 'П(т,Ъ) — решение задачи Коши (10а), (37).

Учитывая (28), задачу Коши (10а), (39) сводим к задаче Коши (Юо), (39), а задачу (10а), (37) — к задаче (Юо), (36). Значит, задача (10а), (15) также однозначно разрешима. Применяя (21), (19), задачу (10а), (16) сводим к случаю а < 1. Следовательно, функция (38) является единственным решением задачи 2 при 0 < 1, где функция иа,п(г> к = 1, кп, п = 0,1,..., определяется из предыдущих краевых задач.

Первая часть теоремы доказана.

Пусть теперь решения задач 1 и 2 в классе С(Вр \ Б) П С2(Ир),

и(ж,£) тождественно нулевые. Покажем, что 0 < 1.

0

зано, что задачи 1 и 2 имеют бесчисленное множество нетривиальных решений, что приводит к противоречию. Теорема доказана полностью.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

2. Protter М. Н. New boundary value problems for the wawe equation of mixed type 11 J. Rational Mech. Anal. 1954. V. 3, N 4. P. 435-446.

3. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962.

4. Алдашев С. А. Критерии однозначной разрешимости задачи Дарбу с отходом от характеристики для многомерного волнового уравнения // Изв. HAH РК. Сер. физ -мат наук. 2007, № 3. С. 15-19.

5. Виц адзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

6. Copson Е. Т. On the Riemann — Green function //J. Rath. Mech. Anal. 1958. V. 1. P. 324-348.

7. Weinstein A. On the wawe equation and the equation of Euler — Poisson // The First simpos. in applied math. New York: MCGraw — Hill, 1954. P. 137-147.

8. Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск: НГУ, 1973.

9. Алдашев С. А. О некоторых краевых задачах для одного класса сингулярных уравнений в частных производных // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 6. С. 3-14.

10. Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1982.

11. Нахушев А. М. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик: КБНЦ РАН, 2000.

12. Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. Алматы: Гылым 1994.

13. Алдашев С. А. Задачи Дарбу — Поттера для одного класса многомерных сингулярных гиперболических уравнений // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2000. С. 116-118.

14. Алдашев С. А. О задачах Дарбу — Поттера для одного класса многомерных сингулярных гиперболических уравнений // Вестн. КазГУ. Сер. математика, механика, информатика. Алматы, 2001. С. 51-63.

г. Уральск, Казахстан

15 декабря 2007 г.