Задачи Дирихле и Пуанкаре для многомерного гиперболического уравнения с оператором Чаплыгина Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И ПУАНКАРЕ

ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРОМ ЧАПЛЫГИНА

Р, Б, Сеилханова

В работе для многомерного гиперболического уравнения с оператором Чаплыгина в области с отходом от характеристики доказана корректность задач Дирихле и Пуанкаре.

В теории уравнений в частных производных гиперболического типа краевые задачи с данными на всей границе области служат примером некорректности поставленных задач [1].

1. Постановка задач и результаты. Пусть Бр — конечная область евклидова пространства Ет+1 точек (х, • • •, хт, £), ограниченная поверхностями

г г

= / N = 1 - У чШ)^

о о

и плоскостью

г<1

1 = 0, 0 < * < ¿о, : у^д = I

о

где |х| — длина вектора х = (х, • • • , хт), а 0 < в = со1^ < 1. Части этих поверхностей, образующих границу дБр области Бр, обозначим через Бр, Б1 и Б соответственно.

В области Бр рассмотрим вырождающееся многомерное гиперболическое уравнение

д(*)Дхп - Щг = 0, (1)

© 2009 Сеилханова Р. В.

где Аж — оператор Лапласа по переменным xi,..., xm, m >2, g(t) > О при t > О и g(0) = 0, g(t) G C2((0, t0)) П C([0, t0]).

В качестве задач Дирихле и Пуанкаре для уравнения (1) рассмотрим следующие.

Задача 1. Найти в области Dß решение уравнения (1) из класса C(Dß)C\C2(Dß), удовлетворяющее краевым условиям

u|s = т{х), u\sß = (г{х), u|si = <{x), (2)

или

ut\s = Hx), u\sß= &(x), u|si = <x). (3)

В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат x\,... ,xm, t к сферическим r,0\,..., 0m_i ,t, r > 0, 0 < 0\ < 2^,0 < 6i ^ -ж, i = 2,?>,... ,m — 1. Пусть {Y^fm 0)} — система линейно независимых сферических функций порядка n, 1 ^ k ^ kn, (m — 2)\n\kn = (n + m — 3)!(2n+m — 2), 0 = (Wl2{S), l = 0,1,...,— пространства Соболева, a Sß = {(г, в) G S, 0 < г < jqrg }• Имеет место [2]

Лемма. Пусть f(r, в) G S). Если l > m — 1, то ряд

ж kn

f(r,e) = Y.i2fkn(r)Ylm{ в), (4)

n=0 k=l

а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p ^ l — m

Через r), r), r), r) обозначим коэффициенты разложения ряда (4) соответственно функций r{r, 0), v(r, 0), a{r, 0), <{r, 0). Введем множество функций

{оо kn

f(r,ff) : f G WK(||f„k(0||^((0il))

n=0 k=l

+ r) ¡сДОд])) exp 2(П + n(m — 2)) < ж, 1 > m — 1 L

Пусть

т(г,0)=г3т * (r,0), v(r,0) = rV (r,0), a(r,0) = rV (r,0), т*(r,0), V*(r, 0) G B'(S), a*(r,e) G B'(Sp), ^(r, 0) G B'(S \ Sp). Тогда имеет место

Теорема 1. Задача 1 однозначно разрешима.

2. Доказательство теоремы 1. Сначала рассмотрим задачу (1), (2). В сферических координатах уравнение (1) имеет вид [2]

/ m _ 1 1 \

g(t) urr н--ur---Su -utt = 0, (5)

rr

д1 = 1, д^ = (втв! • • •втв^-!)2, ]>!•

Так как искомое решение задачи принадлежит классу С (Ир) П С2{Бр), то его можно искать в виде

^ кп

п{ = г,±)Укт{ в), (6)

п=0 к=1

где пЩ— функции, подлежащие определению. Подставляя (6) в (5), используя ортогональность сферических функций У£т(в) [2], получим

/,\-к . ТО ~ 1 <-1\-к -к 9(Чиптт + г 9(чиПг ~ игМ--ип = 0, ^

Ап = п(п + т — 2), к = 1, кп, п = ОД, • • • •

Выполнив в (7) замену переменных пЩг, £) = Г1 -т)/2пЩт,Ь) и положив затем

4 N 2/3

Г = Г, у = | ^ у

будем иметь

уиптт

пуу

=0

(8)

_ [(т — 1)(3 — то) — 4АП]

4 ' (У)~2д

<1д_

¿у

Полагая

иП = шП ехр

НО ¿С

уравнение (8) приводим к виду

УШПгг

- Ш--.... + ^ = сЫ^,

пуу

(9)

1

с(у) = --(Ь2 + 2Ь'у)еС(у>0).

Уравнение (9), в свою очередь, с помощью замены переменных

= 2„3/2

Т — Т, Хд = -у"

переходит в уравнение

9кгХ г,Хо) =

к 1 шПх0 + Ап — и г

ПХоХо Х

Зж0\ -2 /3 с ( Зх0Л /-

—) )

(10)

( Зж0\

2/3 -|

V 2 /

При этом краевые условия (2) и (3) запишутся в виде шкгХг,0) = т*(г), шП(г,/Зт)= а* (г),

ш*(г, 1 - г) = ^(г), /г = 1, кп, п = 0, 1,...: Итп = = сткп{г),

х0 ОХд

(П) (12)

шп( гЛ - г) = г), к= 1,кп, п = 0,1,...,

ткЛ г) = г^ /2 ТЩ г), Ж г)= /2 *П( г),

а^г) = /2а^О, ^^г) = ^^^ Наряду с уравнением (10) рассмотрим уравнение

Ап

' , п = , п — I п

Х

— ша,п=9а,п(Г>Х О)' (13°

у

L0^0,n — ш0,nrr ^0,nx0x0

п . к

(13o)

9ка,ЛГ Xo) =

x0 1 — а

-2a

x0 1 — а

l-ai

Xp

а

1-an

дк,Лг, хо) = сЫ)иа,п(г, хо), 0 < а = сош1; <

Уравнение (10) совпадает с (13а) при а =

Как доказано в [3] (см. также [4]), существует функциональная связь между решениями задачи Коши для уравнений (13а) и (13о).

1. Если шк'П(г,хр) — решение задачи Коши для уравнения (13о), удовлетворяющее условию

д

°) = Tn(r), Q^Uр',п(г> жо)|ж0=0 = 0,

(14)

то функция

1

ШоП( r,Xo) = YaJ r,£Xo)( I- С2

^0,'n(r> х0)

(15)

при а > 0 является решением уравнения (13а) с данными (14).

2. Если г, хо) является решением задачи Коши для уравнения (13о), удовлетворяющим условию

0,1/ ч

,n(Г Xo) =

_Vn(r)__9 k,l, ч, n

Тл--\-7ö—П-v я—wOn(r;xo)U0=o = U,

(1 — а)(3 — a)...(2g + 1— а) dxQ ,п

то при 0 < а < 1 функция

r,Xo) = Ъ-a+2q

1 д

Xp дхд

l-a+2q

со

a

д

<2(г, х0) = 0, lim X« — = vkn (г)

x0 ^о дхд

(i6)

^pliГ Xo)

X

где = Г(,г) — гамма-функция, — оператор

Римана — Лиувилля [5], ад ^ 0 — наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству 2 — а + 2д ^ т — 1. При этом функции 9ап{г,хо), 9о,п(г,хо) связаны формулами (15) в случае связи 1 и (16) в случае связи 2.

Сначала решим задачи (13о), (11) и (13о), (12). Произведя замену переменных

г + х0 г — х0

е = —. *? = —•

эти задачи запишем в следующем виде:

ип = + (^5)2 «п = - г,Ш, „), (17)

< Ы = тЦ(г,), 0 ^ ^ < О^Л^Ло, (18)

_

дц

,'п) = ¥>„('п), к = 1, кп, п = 0,1,...

1 „*( п

= К(Г]), 0 < 77 < -, < -,»7 =<Сп), е=п 2 ^ ^ /

(19)

1 А . Л

где

2

к

V

п

Как в [6], можно записать решение задачи Коши для уравнения (17) следующим образом:

V2.

«

д

Vn (й ) Д(й, а ; а, ri) - r„fc (а , m ; й, v)

« п

:rn

dÇi

J Jcfo - m)Vk(£bm)R(£i,m;£,n)d£idm, (20)

где

1/2 Y«

(й - m)(£ - n) + 2(£m+£n)

ж

«i=rn

— функция Римана уравнения Lv^ = 0 [7], a РДz) — функция Ле-жандра, ^ = n + (m — 3)/2,

Из (20) при ry = и e = используя краевое условие (18), получим интегральное уравнение первого рода 1/2

Г & 9 1

п) = / a)^^

+ П/2

п

n/Y

9п(V)= / Ж

£i(l/2 + n)

g? + ??2/a

.(1 + 1/7)77^1

d^i, o< n < m,

где

^(т?) = 2^(7?) " <('П) - r„fc Q)

1/

(1 ~ 2r?) f rnfc(a)

(i + 2т?) J a M

п

e? + ^/2 Lei(i/2+i?)j

d£b

^дкп(г]) = 2акп(г])-тк(г])-^

, (1 — 7) Г тЦ(а

(1 + 7)

-Р'

(1 + 1/^пй

которое дифференцированием сводится соответственно к следующему интегральному уравнению Вольтерра второго рода:

1/2

Vкл п)= / Ж а)

й(1 + 2г?)2^

Р!.

ап 2

и к функционально-интегральному уравнению

1

К('п) -иК(гп) = К('п), о ^ п <

ЦП

ькп( п =

(т2 - ф (1 + иУпЧ1

Vк( ырц

7

2 I 2

& + ип

(21) (22)

(1 + Ипй

ап

В [8] показано, что уравнение (22) имеет единственное решение.

Таким образом, задача (17), (18) сводится к интегральному уравнению Вольтерра второго рода (20), где ц) определяется из уравнений (21), (22).

Далее, из (20) при ц = 7£и£=1/2с учетом (19) получим следующее интегральное уравнение Вольтерра второго рода:

1/

(1 + 2ц)й Ц

& + Ц/2

1(1/2+

(23)

и функционально-интегральное уравнение вида

ЦП

ткк(ц) + ткк(т)= дк(ц) + I ткк(&)Сп(Ш о < ц < по, (24)

где

1/2

фЩт,) = 2<ркп(п) - А ( £ ) - ^2 /

•п/2

дкМ = 2акМ - ^2 /

£

&(1/2 + п)

п

М — 1 (1 +

-Р!.

&

МП"

(1 +

Так как интегральный оператор, стоящий в правой части равенства (24), вполне непрерывен, то, как показано в [8], функциональное уравнение (24) имеет единственное решение.

Следовательно, задача (17), (19) также сводится к интегральному уравнению Вольтерра второго рода (20), где тк(ц) определяется из уравнений (23), (24).

Таким образом, задачи (13о), (11) и (13о), (12) однозначно разрешимы.

Теперь будем решать задачу (13а), (11). Ее решение ищем в виде шк,п(г, хо) = + ^а2п>где г, хо) ~ решение задачи Коши (13а), (14), а г, хо) — решение краевой задачи для (13а) с условием

^'2п(г,0) = 0, г, /Зт) = ак{г) — п^Хг, рг),

к,

>;(г, 1 - г) = срп(г) - и^п(г, 1 - г), к = 1, кп, п = 0,1,....

(25)

Учитывая формулы (15), (16), а также обратимость оператора В^ [5], задачи (13а), (14) и (13а), (25) соответственно сводим к задаче Коши (13о), (14) и к задаче для (13о) с данными

д

—сок:1(г, 0) = 0, ^(г, /Зг) = ф*п(г), 1 - г) = <(г), (26)

где фкп(г), Фкп(г) — функции, соответственно выражающиеся через тЦг), а>к(г) и т%(г), рЩг).

Задача Коши (13о), (14), как видно из (20), приводится к интегральному уравнению Вольтерра второго рода.

к,

к,

Задача (13о), (26) сводится к задаче (17), (19), которое имеет единственное решение.

Следовательно, задача (13а), (11) однозначно разрешима. Аналогично доказывается однозначная разрешимость задачи (13а), (12).

Таким образом, функция (6) является решением задачи 1, где иП (r, t) определяются из двумерных задач.

Учитывая ограничения на заданные функции т{т, 0), v(r, 0), a(r, 0), ip(r, 0), как и в [3], можно доказать, что полученное решение u(r, 0,t) в виде (6) принадлежит искомому классу.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

2. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962.

3. Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. Алма-Ата: Гылым, 1994.

4. Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск: НГУ, 1973.

5. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1985.

6. Алдашев С. А. Спектральные задачи Дарбу — Проттера для одного класса многомерных гиперболических уравнений // Укр. мат. журн. 2003. Т. 55, № 1. С. 100-107.

7. Copson Е. Т. On the Riemann-Green function //J. Rath. Mech. Anal. 1958. V. 1. P. 324-348.

8. Литвипчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977.

г. Уральск, Казахстан

26 января 2009 г.