CC BY
8УДК 517.956
РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ДАРБУ —
ПРОТТЕРА ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ ТИПА И ПОРЯДКА
Е, Ж, Ермекбаев
Рассмотрим на полупространстве t > О уравнение
m
tpAxu — tqutt + a¿(x, t)uXí + b(x, t)ut + c(x, t)u = 0, (1)
i=l
p, q = const > 0, p > q, Ax — оператор Лапласа по переменным xi,..., xm, x = (x, • • • , xm), m > 2, на важность исследования которого обратил внимание еще А. В. Бицадзе [1]. Оно гиперболично при t > , t
рядка. Обозначим через D конечную область евклидова пространства Em+i точек (xi,..., xm ,t), ограниченную поверхностями
|x| = —2——ér-q+2)/2, |x| = i--2——ér-q+2)/2
р — я + р — я + г
2
и плоскостью 4 = 0, где |х| — длина вектора х, 0 < 4 < (р-|+2) р-ч+2 _ Части этих поверхностей, образующих границу дВ области В, обозначим через и5 соответственно.
Рассмотрим следующую задачу Дарбу — Проттера для уравнения
(!)•
В
С(В) П С1 (В и £) П С2 (В), удовлетворяющее краевым условиям
= т(х), «^о = а(х) (2)
© 2008 Ермекбаев Е. Ж.
или
щ\б = ъ(х), м\й0 = (г{х). (3)
В дальнейшим нам будет удобно перейти от декартовых коорди-НЭ.Т Х]^ , . . . X, Ь к сферическим т,6\,... ,6т ,Ь, сохранив обозначения, использованные в [2].
Пусть Л — проекция области Б на плоскость (г, г) с границами
Г0 : г = ---ьЬ-ч+Ъ/*, Г\ : г = 1----¿Р-ч+Ъ/*,
р—д + 2 р—д+2
Т-Л = 0, 0< г < 1.
Пусть {Упт{6)} — система линейно независимых сферических функций порядка п, 1 ^ к ^ кп, (т — 2)\и\кп = (п + т — 3)!(2п + т — 2), 6 = (6\,... ,6т-\), Б), I = ОД,..., — пространство Соболева, а £= {(г, 6 е ¡,0<г<^}.
Через й4(г, г), акп(т,Ь), ЬЩт,Ь), еЩт,Ь), ТЩг), аЩт), рП обозначим коэффициенты разложения в ряд по сферическим функциям УП,т{6) соответственно функций аДг, 6, Ь)р(6), а^р, Ь(г, 6, Ь)р, е(г, 6, Ь)р, т(г, 6), а{г, 6), г = \, .. . ,т.
Введем множество функций
Б[{Б)= ¡(г, 6):1 е Ц(г
оо к п
VII ^ к Iг\\2
(од)
п
+ 11^(г) Ц^од)) :ехР 2(п2 + п(т — 2)) < те, I > т — 11.
Пусть а^ = Ь-4а^, Ь = Ь-4Ь, е = Ь-4е и а^, Ь, е е Б), г = 1, .. ., ш, I > т+1.
Теорема 1. Если т(г,6) = т3т*(г, 6), у(т,6) = т3у*(г, 6), а{т,6) = т2а*(г, 6), т*{г, 6), «*(г, 6) е Б[ (¡), а*(г, 6) е Б[(5), то задача 1 имеет бесконечное множество решений.
Отметим, что при д = 0 это теорема установлена в [3].
Доказательство. Сначала докажем разрешимость задачи (1), (2). Так как искомое решение « принадлежит С(В) П С2(В, т0 ег0 можно искать в виде ряда
^ кп
и{т,в,1) = ^Т.ики( гЖк,т( в)> (4)
п=0 к=1
где «Щт, — функции, которые будут определены ниже. Тогда, как ив [2], для «п получим ряд
я р0«1гг — р0«1 и+ + Е «1, + ьъ«ъ г +
п=1 к=1
Рп«игг Ърп«пи к+ю т
ЕС
т — 1
рп+Т1 «Ч «П" + 1п«
г=1
-к _ КРпУ
ат-1 паг,
= 0, Хп = п(п+т — 2).
(5)
Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений:
1РРо«огг — ЪРо«огг Н ъРР0«0г — 0;
ър рк«к1гг — & рк «ка + т—- рк «к, — ^ ъррк «к
т
Хп
(6)
= — ^(Еа««0г + Ц)«ог + ^«о), п=1, к=1,къ (7)
чг=1
,р к — к хо к — к ^^ ^ _/.р к —к Хп ,р к — к Ъ Рп«птт — Ъ Рп«пгг "I Т Рп«пт — рп«п
-11 т
гп — 1 «п — 1 г ' ип-1 «п—1 г
Ьк «к
и^—Л «гг
к=1
-к
1 + Е(аы—2 — (п — 1)акп—1)
г=1
п—
к — 1, кп, п — 2, 3,....
к
к
Нетрудно показать, что если {йП}, к = \,кп, п = ОД,..., — решение системы (6), (7), то оно является и решением уравнения (5).
Учитывая ортогональность сферических функций У^^6) [4], из краевого условия (2) имеем
<\г = тпхг), йП\г0 =*п(г), к= \,кп, п = 0,1,...,0 < г < 1. (8)
Таким образом, задача (1), (2) сведена к системе задач Дарбу в области П для уравнений (6), (7). Теперь будем находить решения этих задач.
Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (7), (8) можно представить в виде
Ьрйк -
ьРйкпГ — ^ грйкп = тЛ (9)
где т, Ь) определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом ¡у (т, Ь) = 0. Произведя в (9) замену переменных
\{т,г) =
_ т(1 йк
(т,Ь)
и положив затем
т = т, хо =
получим уравнение
к к к
_Ь(2+ р-^/2
Ь йк =йк -йк _айк [(т — 1)(3 — т) — 4\п] к
ьайа,п — йа,пгг йа,пх0х0 х йа,пх0 ~ йа,
х
а = <1,
2+р — д
X 1 — а
Т-а Ч-а
X к •> П
= %п(т, Х0), (10)
х0 1 — а
При этом краевое условие (8) запишется в виде
йка,п(т,Ъ) = ткп(т), йкап{т,т)= аЩт), 0< т < 1, (11)
тк(т) = /2тк(г), аЩт)= А™-"/2акп(т), к = п = ОД, .. ..
-к
т
Наряду с уравнением (10) рассмотрим уравнение
Ь0й0,п — й0,птт й0,п
[(т — 1)(3 — т) — 4Л^]йк _ .к , ,
дт2 й0 ,п — ¡0 ,п\ >,х0).
(12)
Имеет место следующая функциональная связь, как доказано в [2] (см. также [5]), между решениями задачи Коши для уравнений (10) и (12).
йк,,п т, х
уравнения (12), удовлетворяющее условию
д
йо',1п(^ °) = т°(т), о^йо',1п(т °) = ^
(13)
то функция
1
йк^л т, х0) = 1«! й^щ т, 1 — аа-1 ^
— 2-7«Г( а -аБ0Т
к,1
,п
т, х
(14)
есть решение уравнения (10) при а > 0 с данными (13).
Утверждение 2. Если т, хд) является решением задачи Ко-
ши для уравнения (12), удовлетворяющим условию
к, ,п
т,
■Щ т) д
(1 — а)(3 — а) .. . (^ + 1 — а)' дх(
■щ'М т,0) = 0,
то при 0 < а < 1 функция
к, д ¿а^А т,х0) = 11 -к+2з — -77— х дх
1-^+2^ / к,1
— 12-к+2*Г-1Г[ в — - + 1 )П0х
I йко:Щт,£х0)( 1— £2)
~.<ЛЛ
(15)
т хо) _ х0
является решением уравнения (10) с начальными данными
д
к,2
т, ,
к,2
~а,п\' ; "У "1 0 о иа,п
х0 дхо
= <( т),
где
^г(£>х«=2г
Г (я) — гамма-функция, В^г — оператор Римава — Лиувилля [6], а в ^ О — наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству 2—а+2 в ^ т— 1 . При этом функции /¡к п(т, х0), /о,п(т, х0) связаны формулами (14) в случае утверждения 1 и (15)" в случае утверждения 2.
Теперь будем решать задачу (10), (11). Ее решение ищем в виде
«1,п(Т хо) = Т хо) + «„%{т, xo),
где т, х0) — решение задачи Коши (10), (13), а «кс:;2п(т, х0) ние задачи Дарбу для (10) с условием
«а,2п( т,0) =0, «а,2п( т т)= ^ ( Г) — «^ т т), 0 < т < 1, к= 1, кп, п = $,1,....
В [7] показано, что задача Коши (12), (13) однозначно разрешима. Учитывая обратимость оператора В^г [6], из утверждения 1 получаем, что задача Коши (10), (13) также однозначно разрешима.
Далее, опираясь на формулу (15), задачу Дарбу (10), (16) сводим
к задаче Дарбу для уравнения (12) с условием д
дх^«о,п(т,°) = 0, «о.пт т),
которая имеет бесчисленное множество решений [7], где ^>п(т) — из~ вестная функция, выражающаяся через т°(т), а°(т). Значит, задача (10), (16) также имеет бесчисленное множество решений.
Таким образом, показано, что решений задачи (10), (11) — бесчисленное множество.
п,
(7), (8) (п = 1) и т. д, найдем последовательно все «Щт,Ъ), к = 1,кп, п = 0,1,....
реше-(16)
Далее, аналогично [2,7] доказывается, что функция вида (4) является решением задачи (1), (2), где й-к(т, Ь) определяются из двумерных задач Дарбу, и принадлежит классу С (В) П С1 (В и ¡) П С2 (В).
По вышеуказанной схеме устанавливается существование решения задачи (1), (3).
Теорема 1 доказана.
Отметим, что в работе [8] показано, что решение задачи 1 неединственно.
Замечание. Заметим, что в теореме 1 принадлежность заданных функций т(т,6), "(г, 0) е В^ (¡), а{т,6) е В[ (Б) существенна. Как показывают примеры, построенные в [2], при нарушении этого условия решения задачи 1 даже для многомерного волнового уравнения могут не существовать.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.
2. Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. Алматы: Гылым, 1994.
3. Нуржанов Ш. Т. Задачи Дарбу — Проттера для вырождающихся гиперболических многомерных гиперболических уравнений: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Алматы, 2000.
4. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962.
5. Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск: НГУ, 1973.
6. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. школа, 1985.
7. Алдашев С. А. О задачах Дарбу для одного класса многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 1. С. 1—5.
8. Алдашев С. А., Ермекбаев Е. Ж. О критерии единственности решения задачи Дарбу — Проттера для многомерных гиперболических уравнений с вырождением типа и порядка // Материалы междунар. российско-казахского симпоз. «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик: НИИПМА РАН, 2004. С. 18-20.
г. Алматы,
20 января 2005 г.
