Задачи Дарбу для многомерных сингулярных гиперболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ЗАДАЧИ ДАРБУ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Н, Т, Исаева

1. Постановки задач и результаты. Пусть De — конечная область евклидова пространства Em+i точек (х, - - -, xm, t), ограниченная поверхностями \х\ = t + e, \х\ = 1— t и плоскостью t = 0, где \х\ — длина вектора х = (ад,..., хт), 0 < t < АуД а 0 < е < 1. Части этих поверхностей, образующих границу dDe облает и De, обозначим через Se, S± и S соответственно.

В области D£ рассмотрим многомерные сингулярные гиперболические уравнения

ix~db

а д t dt

m

+ x,t)

i=l

д

dxi

+bX)w

■c(x, t)

n

u = 0, (1)

где Ax — оператор Лапласа по переменным х,---, xm, m ^2, а = const, а 1 < n — целое число, на важность исследования которых обратил внимание еще А. В. Бицадзе [1].

Отметим, что уравнения (1) возникают при изучении различных физических задач, например, при рассмотрении осевой симметрии Стокса, течения вязкости [2,3].

Рассмотрим многомерные аналоги задач Дарбу для уравнения (1).

Задача 1. Найти в области De решение уравнения (1) из класса C2n~2(De \ S) П C2n(De), удовлетворяющее краевым условиям

LI-

= ТЛх

Lb

= (а

S

S

£

a < 1, у = 0, п — 1;

© 2008 Исаева Н. Т.

Li-

lnt

= Tj(x), L3au\ = <Tj(x), a = 1, j = 0,n — 1;

ta 1 (L3au)\s = Tj(x), L3au\s = tjj(x), a>l,j = 0,n—l.

Задача 2. Найти в области De решение уравнения (1) из класса C2n~2(De \ S) П C2n(De), удовлетворяющее краевым условиям

lim {L°au - L3aui)t = Vj(x), L3au\s^ = <Tj(x), a < 1, j = 0, n - 1;

,■ ,/i ,ч2 I Liu — Liu2

tm

In t

= vA x)i

L3au\ = &j(x), a = 1, j = 0, n — 1;

tm t2 a [ta 1 (Uau — К>0щ)]t = vj(a

L3au\ =aj(x), a>l,j = 0,n—l,

где L3aui, Liu — вполне определенные функции, зависящие от Vj(xj, Gj{x), j = 0,n - 1.

Задача 3. Найти в области De решение уравнения (1) из класса C2n~2(De \ S) П C2n(De), удовлетворяющее краевым условиям

= 0, L3au\s =0, о. ^ 1, j = 0, п — 1;

\imta(L3au - L3aui) = Q, L3au\ =0, a < 1, j = 0, n - 1,

tm

где ui(x,t) — решение задачи Коши для уравнения (1) с данными

д

L3au1\t=0 = Tj(x), -7^L3au i

= 0, j = 0,n- 1.

t=o

S

В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат X,..., xm, t к сферическим r,6\,..., 9m-i ,t, r > 0, 0 < ф < 2л, 0 < 0i ^ п i = 1, 2,3, ...,m — 1.

Пусть {Ykm(0)} — система линейно независимых сферических функций порядка n, 1 ^ k ^ kn, (m — 2)lnlkn = ^ + m — 3)!(2^-m — 2),

в = (9i,...,9m_i), W^(S), l = ОД,..., — пространства Соболева, а S= {(г, в) G S, е < г < ДД}.

Лемма [4]. Пусть f(r, в) G W21(S). Если l > m + 1, то ряд

О кп

Яг,в) = ^Т,Ж rKm( в, (2)

п—0к=1

а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p ^ l — m + 1, сходятся абсолютно и равномерно.

Через Tjn(r), jr), йк„(r,t), akn(r,t), ЬЩr,t), еЩr,t), рП обозначим коэффициенты разложения ряда (2) соответственно функций Tj (r,ff), <7j(r,e), щ(г, в, t)p(e), aiPi(e)p, b(r, в, t)p, c(r,6,t)p, p(в), pi(6) = f, i = 1, • • • ,m, j = 0,n - 1.

Введем множество функций:

oo kn

(S)= f(r, 0):f G W'((Wfkkir) ||;(M]) l n=0 k=l

3m |

д)))(ехр2п2)п2г < oo, l > —, q = 0,1,... >.

| fni r W cq^2( (£,-

Пусть, далее, p ^0 — наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенствам a + 2p ^ m — 1, если a ^0, и 2 — а + 2p ^ m —1, если а ^ 2; q ^0 — наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенствам 2 — a + 2q ^ m — 1, если 0<a ^ 1, и а + 2q ^ m — 1, если 1 ^ а < 2, а также s такое, что s = [—Щ + п — 1], если а ^ 0, и s = [f- — 2 + п], если а ^ 0, где [а] — целая часть числа а,

{2(п — j — 1) + цр, если а ^ 0 или а ^ 2, у = 0, п — 1, тах(цр, q + 1) + 2(п — у — 1),

если 0 < a ^ 1 или 1 ^ a < 2, у = 0, п — 1,

{2(п — у — 1) + если а ^ 0 или а ^ 2, у = 0, п — 1,

тах(цд, g + 1) + 2(п - у - 1),

если 0 < а ^ 1 или 1 ^ а < 2, у = 0, п — 1,

Yn-i =

Ъ = « + 1, 3 = 0, п - 2, s + 1, если а ^ О ил и а ^ 2,

max(s, g) + 1, гаги О < а ^ 1 или 1 ^ а <2.

Если щ(х, t), Ь(ж, t), с(ж, t) G W^Ds) П C2n 3(DE), i = 1,..., rri, l Js 2n -m — 2, то имеет место

Теорема 1. Если е = 0я

Tj (r, в) = rs+1 т* (r, в), Vj{ r, в) = rs+1v*j{ r, в),

T*(r,e) g BjS), V*(r,e) g Blj(S),

(Tj (r, 0) = rcr* (r, 0), a* (r, 0) G B\. (S'), j = 0, n - 1, то задачи 1 и 2 разрешимы неоднозначно.

Теорема 2. При е = 0 однородные задачи, соответствующие задаче 1 и задаче 3, имеют бесчисленное множество нетривиальных решений.

Теорема 3. Если е >0 н Tj(т,в) е Bla.{В), jr,e) G B^(В), (Tj(r, 0) G Bl (S), j = 0,n — 1, то задачи 1 и 2 разрешимы.

Отметим, что теоремы 1 и 2 при n = 1 получены в [5,6], а теоремы 2 и 3 при a,i(x, t) = 6(x, t) = c(x, t) = Од = l,...,m, а < 1, а 7^ —1, —3, ..., доказаны в [7].

Если ввести новую неизвестную функцию va(x,t) = Lau, то задача 1 при n = 2 распадается на следующие две задачи.

Задача 4. Найти в области De решение уравнения Lava = 0, удовлетворяющее краевым условиям

va|s = n(x), va|se = &i(x), а < 1,

lnt

= T\ (x), va|se = ai(x), а=1,

S

ta—u|s = T0(x), va|Se = ax(x), а > 1.

(3)

Задача 5. Найти в области De решение уравнения

удовлетворяющее краевым условиям

uls = T

u

Ш S

a — 1.

uls =

= T0(x), u|se (x), u\s

ffo(x), a < 1,

= a0(x), a=l, = ffo(x), a > 1.

(5)

2. Доказательство теоремы 1 для задачи 1 при n = 2. Пусть е = 0 . В этом случае [5,6] показано, что задача 4 имеет бесчисленное множество решений вида

ж kn

va( r,e,t) = J2'52v'kk,n( r,t)Yn,m( 0), (6)

n=0 k=l

где функции vOkn(r,t) определяются из двумерных задач Дарбу.

Для решения задачи 1 достаточно решить задачу 5, где va(x,t) определяется из (6). Ее решение u(r, 9,t) будем искать в виде ряда

ж kn

u(r,9,t) = J212uk*,n( r,t)Yn,m( ^ (7)

n—0k=l

где и^ Дr,t) — функции, которые будут определены ниже.

Подставим (7) в (4). Затем полученное выражение умножим на р(9) G С°°(Г), при этом р\ ф 0, k = 1, кп, п = 0,1,..., и проинтегрируем по единичной сфере Г в Em.

Далее, учитывая свойства сферических функций УП“т(9) [4], для ua n(r, t) получим ряд

Poua,Orr Poua,Ott

m — 1

pi

lu1

'i0 I ua,0r

fcV _ OPo 1 , 11 _ 11

u0aa,0t ^ ua,0itc0\0 fJ0ua,0

n=lk=l

kuk _ nkuk n a,nrr rn a.ntt

m — 1

рП^^2 ain

i=l

bkuk _ aPn к -0kvk

unaa,nt ^ aa,nt Pnua,r.

u

k

a,nr

k

С

n

\ пк m

-^+£(Й£п-1-™п)

<и}= О,

An = n(n + m

2).

(8)

Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений

PoUa,orr Pou

m — 1

a.Ott

P0Ua,0r

PoUa,Ot PoVa,0,

t

(9)

PlUa,lrr PlUa,ltt '

HI___^okak ——nkvk ——nkvk — nkvk

Plaa,lr ,Plaa,lt <? PlaaA — Pl°aA Г ’ t ’ rz

-Ж

Qac\U

biu1 1 -1"'1

y0ua^)^0ua,0

c0Ua,0 ), n = ^ k = l,kb (10)

чг=1

pk Uk — Pk Uk

rn a,nrr rn a,ntt

m — 1

— nkvk______vk +hk vk

— Pnva,n £ / / ) 7 /J,in-laa,n-lr ^ un-laa,n-lt

—pknui,

r

k-n-i ( m

a „k„.k

, Pn^a,nt 9 P\ t ’ rz

n~kuk

k=l

£(«^-2 - (n - 1)n — 1)

г=1

Ua,n — 1 f , к — \, kn, n — 2,3,....

) (11)

Нетрудно показать, что если {«„ „}, к = 1, кп, п = 0,1,, — решение системы (9)—(11), то оно является и решением уравнения (8). При этом заметим, что каждое уравнение системы (9)—(11) можно представить в виде

LaUk „ = Uk

m — 1

An

atla,n — ua,nrr ua,ntt

yk _ —yk _ —yk

a,nr t a,nt r2 a,n

= Va,n{TA) + /a,„(r,t), ^ = 1; kn, n = 0,1,..., (12)

где /a n(r, t) определяется из предыдущих уравнений этой системы, при

этом /k.,о(r,t) — 0.

Наряду с уравнением (12) рассмотрим уравнение

L0U0 ,n — U0 ,nrr Uo ,n

m — 1

uo,nr-Afuo,n = vo,n(r>t) + fo,n(r’t)- (13)

к

С

n — 1

к

Из краевых условий (5) для функции п(r,t) с учетом леммы

соответственно будем иметь

ul,J. r,0) = тП ^ ul,n( r,r) = °kn( r^ a < 1, k = 1, kn, n = 0, 1,.

uk aa,n In t = tL( ^, t=o <n( r,r)= r^ a = 1, k = 1, kn, n = 0, 1,. .

a-uka i — тk (r n|t=0 '0n\' ), r,r) = °L(r ), a > 1, k = 1, kn, n = 0,1,

(14)

С помощью функциональной связи между решениями задачи Коши для уравнений (12) и (13), а также результатов из [7], в [6] доказано, что задача (12), (14) имеет бесчисленное множество решений.

Далее, аналогично [7,8] доказывается, что задача 5 также имеет множество решений вида (7), где u,п(r, t) определяются из двумерных задач Дарбу (12), (14), и принадлежит искомому классу.

Теорема 1 для задачи 1 при n = 2 доказана.

3. Доказательство теоремы 1 для задачи 1 при n > 2. Справедливость теоремы 1 установим методом индукции по п.

Пусть она верна при п = I. Докажем ее для п = 1+1. В этом случае задачу 1 можно разбить на две задачи, одна из которых задача 5, а другая

Задача 6. Найти в области D0 решение уравнения L'va = О, удовлетворяющее краевым условиям

L°aVo\ s = тЛX, L°aVa\So= Д, t—H 1 o' II t—H V e

L°ava = д(x, S Lava 1 So ~ аЛX, t—H 1 o' II t—H II e

In t

ta 1 (Liva) S = тДX , x , a > 1, j = 0, / - 1

По предположению задача 6 имеет множество решений vДг, в, t) вида (6). Значит, как в случае п = 2, задача 5 имеет бесчисленное множество решений вида (7) и принадлежит искомому классу.

Теорема 1 для задачи 1 доказана. Ее справедливость для задачи 2 с учетом результатов [7] устанавливается аналогичным образом.

4. Доказательство теоремы 2. Сначала рассмотрим случай n = 2. Пусть е = 0 и Tj(x) =0, Oj (x) = 0, j = 0,1. Тогда, как показано в [7,8], задача 4 имеет бесчисленное множество нетривиальных решений va(r, в, t) вида (6), где функции r,t) определяются из двумерных

задач Дарбу.

Далее, решая задачу 5 в виде (7), как в случае теоремы 1, убеждаемся, что ее решение и(г, в, t) = 0.

Пусть теперь теорема 2 верна при n = I. Установим ее для n = l +1. По предположению если е = 0, то решение задачи 6 гДг, в, t) = 0. Отсюда и из [7,8] следует, что решение u(r,e,t) задачи 5 в виде (7) также не тождественно нулевое.

Теорема 2 для задачи 1 доказана. Ее справедливость для задачи 3 показывается аналогично.

5. Доказательство теоремы 3. Пусть е > 0. Сначала рассмотрим задачу 1 при n = 2. Она в этом случае распадается на задачи 4 и 5. Решение задачи 4 будем искать виде ряда (6). Тогда ее коэффициенты будут удовлетворять уравнению (8), которое, в свою очередь, сводится к системе уравнений (9)—(11). Каждое уравнение этой системы имеет вид

____1,,fc ——Vk ——vk = fk (r t) Об4)

yu™r> — ua,nrr ua,ntt ' _ ua,nr + ua,nt о u&,n Ja,n\'i0J• \±UJ

r,-, —

t

Наряду с уравнением (15) рассмотрим уравнение

Л,

т k k к | m ^ k Лп k rk / <\

-^0^0,n = v0:nrr v0,ntt ~ ^0,nr ^2 ^0,n

При этом из краевых условий (3) для функций v^Jyr,t) соответственно получим

k (

a,n \

,.k

a,n

111 t

- vk

t=0

n I £=0

: Tln(r), vk,n(r,r - e) = °kn(r), a < 1;

Tln( r), vk,J.r,r - e) = °kn(r), a = 1; (17)

II s , vk,n(r,r - e)=°L(r) , a > 1.

Используя функциональную связь между решениями задачи Коши для уравнений (15) и (16), задачу (15), (17), как в [6], сводим к задаче Дарбу для уравнения (16), которое имеет единственное решение [7].

Далее, как в случае задачи 4, показывается, что задача 5 также имеет решение вида (7).

Разрешимость задачи 1 при n = 2 показана.

Методом индукции по n для n > 2 устанавливается справедливость теоремы 3 для задачи 1.

Для задачи 2 эта теорема доказывается аналогично.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

2. Дауне L. Е., Pell W. Я. The Stokes flow about a spindle // Quart Appl. Math.1960. V. 18. P. 257-262.

3. Payne L. E., Pell W. H. On Stokes flow about a toms // Mathematica. 1960. V. 7. P. 78-92.

4. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962.

5. Алдашев С. А. Задачи Дарбу — Проттера для одного класса многомерных сингулярных гиперболических уравнений // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2000. С. 116-118.

6. Алдашев С. А. О задачах Дарбу — Проттера для одного класса многомерных сингулярных гиперболических уравнений // Вести. КазГУ. Сер. математика, механика, информатика. 2001. № 1. С. 51-63.

7. Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. Алматы: Гылым, 1994.

8. Алдашев С. А. О задачах Дарбу — Проттера для одного класса многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 1. С. 6468. 22

г. Актюбинск

22 июня 2007 г.