Критерий единственности решения задачи Дарбу-Проттера для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений четного порядка с оператором Чаплыгина Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

КРИТЕРИЙ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧИ ДАРБУ — ПРОТТЕРА ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТНОГО ПОРЯДКА С ОПЕРАТОРОМ ЧАПЛЫГИНА А. А. Турганбаев

Пусть В£ — конечная область евклидова пространства Ет+\ точек

(хх,..., хт, Ь), ограниченная поверхностями

г г

М = + \х\ = 1-I уЩ)<%

о о

и плоскостью

г0

1 = 0, 0 < I < г0: = I у/д(€)<%,

о

где \х\ — длина вектора х = (хх,..., хт), а 0 ^ е < 1.

Части этих поверхностей, образующих границу дВе облает и Ве, обозначим через Бе, Б\ и5 соответственно.

В области В£ рассмотрим вырождающиеся многомерные гиперболические уравнения четного порядка:

п

/ д2 т д д

ЗЬ2 ' дх, ' дх

г=1

где д{Ь) ^иЬ^и д(0) = 0, д{Ь) € С2((0,Ьо)) П С([0,*о]), Аж — оператор Лапласа по переменным хх,... ,хт, т а 1<п — це-

лое число, на важность исследования которых обратил внимание еще А. В. Бицадзе [1].

© 2008 Турганбаев А. А.

Рассмотрим многомерный аналог задачи Дарбу для уравнения (1)

[2].

Задача 1. Найти в области Ве решение уравнения (1) из класса С2™-1 (Ве) П С2п(Ве), удовлетворяющее краевым условиям

ии\3 = 0, Ь%к=0, з = 0,п-1, (2)

= 0, ии\3е= 0, з = 0,п-1. (3)

я

В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат хх,..., хтк сферическим г,^,...,вт^, г > 0, 0 < ^ < 2п, 0 < в^ < п, г = 2,...,ш — 1, сохранив обозначения, использованные в [3].

Пусть Ле — проекция области В£ па плоскость (г, Ь) с границами

г г

Г е:г = I + Т\ ■. г = \ — ! = е < г < 1.

о о

Пусть \Укт(в)} — система линейно независимых сферических функций порядка п, 1 ^ к ^ кп, (ш — 2)\и\кп = (п+ш — 3)!(2п+ш — 2), в = в,..., вт-1), ДД I = ОД,..., — пространство Соболева.

Через акп(г,Ь), акп(г,Ь), ЪЩг,Ь), еЩг,Ь), рП обозначим коэффициенты разложения ряда по сферическим функциям т(в) соответственно функций см(г,6,г)р(6), а^р, Ъ(г, 0,ф, с(г, р(в), г = 1,. .., т, причем р(в) € С(Н), Н — единичная сфера в Ет.

Если аД х, Д, Ъ(х, Д, е(х, Д € .ОД, г = 1,...,ш, I ^ ш+1, то имеет место

Теорема 1. Если е = 0, то задача 1 имеет бесчисленное множество нетривиальных решений.

Теорема 2. Решение задачи 1 и(х, Д тождественно нулевое тогда и только тогда, когда е > 0.

Докажем теоремы индукцией по п.

Пусть п = 2. Если ввести новую неизвестную функцию у(х,Ь) = Ьп, то задача 1 распадется на две следующие задачи.

Задача 2. Найти в области Бе решение уравнения Ьу = 0, удовлетворяющее краевым условиям

у\з = 0, «к=0 (4)

или

Уг\з = 0, у\Зе= 0. (5)

Задача 3. Найти в области Ве решение уравнения

Ьп = у(х, Ь), (6)

удовлетворяющее краевым условиям (4) или (5). Для задачи 2 в [4] доказана следующая

е

ненулевых решений вида

ж кп п=0 к=0

а также установлена справедливость теоремы 2.

Теперь будем доказывать теорему 1. Сначала рассмотрим задачу (1), (2). Для ее решения достаточно решить задачу (6), (4), где у(х,Ь) определяются из (7).

Решение п(т, в, Ь) ищем в виде ряда

ж кп

п{т,в,1) = ^Т.ПкЛ тЖПки в), (8)

пк

где пЩт,Ь) — функции, которые будут определены ниже.

Подставив (8) в (6), аналогично [4,5] с учетом (7) для иП(г,Ь) получим уравнения вида

Ф)Роио гг — Роио гг

ш

9&)рЪ + У2а}0 иЪг + Ъ1и1 г + еоио — Ро^о

ОО кп

Е Хл 9(1)рПиПгг — РкПипгг

г=1

ш

пк

г=1

д^рп + т. акт иПг + ЪПиПг

г=1 )

икп — рПъПг\= О, Ап = п(п+ш — 2).

) (9)

Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных урав-

нении:

ш—

9(ЧРоиогг ~ Роиои + „ 9\ЧР0и0г = РоЧ,

(10)

д(г)рк икгг — РгЩгг

к-к , ш 1 /, \к-к А1д(Ь) к-к

-дШ

иг

ри

= №

да иог + Ъоиог + еоио ,

.= 1, Л=1,А;П, (11)

д№)рпипгг рпипгг

ш

Ап

д{1)рп<г - —Ф)р\

кк

кк = Рп^п

г

кп— ( т

Е т ак

к=1 и=1

к ик Ъ и

гп-1 ип-1 г "Т" Ъп-1 ип-1 г

кк Ъи

к

"п-1 ^

¿=1

(4— — (п — 1 )а1кп-1)

ип-1 г, к _ ^ kn, п — 2, 3^... ] (12)

Учитывая ортогональность сферических функций {Упкт(в)} [6], из краевого условия (2) в силу (8) будем иметь

икп{г,Щ = 0, икп{г,Щ =0, к = 1,кп, п = 0,1,.... (13)

Нетрудно показать, что если {ик}, к = 1, кп, п = 0,1,..., — решение системы (10)—(12), то оно является и решением уравнения (9).

к

п

к

п

к

Таким образом, задача (1), (2) сведена к системе задач Дарбу для уравнений (10)—(12). Теперь будем искать решение этих задач.

Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (10)—(12) мож-

но представить в виде

9{t)unrr untt

^-lg(t)üknr - ^g(t)uk = vkn + fk(r,t), (14)

где /Пк(т, Ь) определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом Д(т, Ь) = 0.

Произведя в (14) замену переменных

ükn{r,t) = r ™ukn{r,t)

и положив затем

2/3

r = r, y =

получим

yuknrr - uknyy + ^ßukn - b(y)ukny = fk(r, y),

_ [(m — 1)(3 — то) — 4An] _ J_

4 ' (У) ~ 2g

dg_ _g dy у

fn(r,y) = r 2

=1 (vk(r,t) + fk(r,t))

(15)

Полагая

ukn = exp

HO

уравнение (15) приводим к виду

У"пгг ~ "пуу + ^f^n = c(y)u* + fk(r, y),

(16)

c{y) = —4{b2 + 2b'y) G C(y > 0), fk(r, y) = fk(r, y) exp

HO d£

t

y

y

y

Уравнения (16), в свою очередь, с помощью замены переменных г = г,

хо = переходит в уравнение

■к - шк

ПГГ ПХ()Хо

1

Зжо

9п(г,х „)= — {/,

-2/3

/3 1

зх0~ 'пхо Зжд

(17)

пХ О

/1

/1

При этом краевое условие (13) запишется в виде сик(г, 0) = 0, сик(г, г) = 0, к = IX", п = 0,1,..., г < 1. (18)

В [4] показано, что задача (17), (18) имеет бесчисленное множество ненулевых решений. Следовательно, сначала решив задачу (10), (13), а затем (11), (13) и т. д., найдем последовательно все Д, к = 1, кп, п = ОД,....

Таким образом, задача (6), (4) имеет нетривиальное решение в виде ряда

^ кп

и(г,в, Д = (19)

пк

где пЩг, Д определяются из задачи (17), (18).

Как и в [3,7], нетрудно показать, что полученное решение вида (19) принадлежит искомому классу.

Используя результаты С. А. Алдашева [4,5], можно показать, что задача (6), (5) (т. е. задача (1), (3)) также имеет ненулевые решения вида (19).

п

Переходим к доказательству теоремы 2. Пусть е > 0. Тогда из теоремы 2 для задачи 2 вытекает, что у(х, Д = 0. Далее, снова применяя теорему 2, теперь уже для задачи 3 будем иметь п(х, Д = 0.

Первая часть теоремы 2 доказана.

к

к

с

п

Пусть теперь решением задачи 1 будет п(х,Ь) = 0. Покажем, что е> 0. Предположим противное т. е. е = 0. Если е = 0, то из теоремы 1 вытекает, что задача 1 имеет нетривиальные решения вида (19). Приходим к противоречию.

п

Пусть теперь теорема 1 верна при п = к. Докажем ее при п = к + 1. В этом случае задачу 1 можно разбить па две задачи, одна из которых — задача 3, а другая

Задача 4. Найти в области Бе решение уравнения ЬкV = 0, удовлетворяющее краевым условиям

Vу\з = 0, VУ\Зе= 0, 3 = 0,к - 1,

или

д _

дЬ

е

альное решения у(х, Ь). В этом случае задача 3 также имеет ненулевые решения вида (19).

Теорема 1 доказана.

п к п

к + 1. По предположению при е > 0 решением задачи будет у(х, Ь) = 0.

Ьп

задачу 2, которая по теореме 2 имеет решение п(х,Ь) = 0. Первая часть теоремы 2 доказана.

Пусть, далее, п(х,Ь) =0 — решение задачи 1. Покажем, что е > 0.

е

противоречию.

Теорема 2 установлена полностью.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

2. Frotter M. Я. New boundary value problems for the wave equation and equations of mixed type // J. Rath. Mech. Anal. 1954. V. 3, N 4. P. 435-446.

3. Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. Алматы: Гылым, 1994.

4. Алдашев С. А. Критерий единственности решения задачи Дарбу — Проттера для многомерных гиперболических уравнений с оператором Чаплыгина // Укр. мат. жури. 2004. Т. 56, № 8. С. 1119-1127.

5. Алдашев С. А. Критерий существования собственных функций спектральной задачи Дарбу — Проттера для вырождающихся гиперболических уравнений // Математический журнал. Алматы: ИМ МО и HPK. 2006. Т. 6, № 2(20). С. 2332.

6. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962.

7. Алдашев С. А. О задачах Дарбу для одного класса многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 1. С. 64-68.

г. Актюбинск

22 июня 2007 г.