CC BY
38
ЛИТЕРАТУРА
1. Пригожин И., Николис Г. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979.
К РАСЧЕТАМ БЕЗАРБИТРАЖНЫХ ЦЕН ОПЦИОНОВ
© A.C. Шведов (Москва)
Доклад посвящен некоторым математическим вопросам, связанным с расчетами безарбит-ражных цен опционов и других финансовых инструментов. Существуют несколько различных подходов к расчетам безарбитражных цен. При одном из этих подходов выписывается уравнение с частными производными для безарбитражной цены финансового инструмента, и вопрос определения безарбитражной цены сводится к решению некоторой краевой задачи для этого уравнения. Другой подход связан с использованием мультиномиальных решеток. В третьем подходе используются датчики случайных чисел, этот подход относится к методам типа Монте-Карло. При всех этих подходах необходимо построить стохастические модели, характеризующие изменение величин, от которых зависит цена финансового инструмента, определить правильную форму стохастической модели, конкретные значения параметров, провести тестирование модели.
В качестве примера рассмотрим облигацию с погашением в момент времени Т, которая является конвертируемой, т.е. в любой момент времени t, 0 ^ t ^ Т, владелец облигации имеет право обменять ее на г акций некоторой компании. Будем считать, что цена облигации V является функцией только от цены акции S, момента времени t и некоторого показателя в (например, той или иной процентной ставки). Рассмотрим промежуток времени At и предположим, что за этот промежуток времени цена акции 5 изменяется по закону AS = р : S : At + а : 5 : Е\y/Ät + o(At), показатель в изменяется по закону Ав = tpAt + + o(At). Здесь £\ и - стандартные нормальные
случайные величины, ц, а, (р, гр являются функциями от S, в и t. При некоторых дополнительных предположениях можно показать, что безарбитражная цена конвертируемой облигации V является решением следующего уравнения с частными производными
Vt + ^Vss^S2 + VsepcrSip + ^Vee^ + {r- D)SVs + {<p - 4)Ve - rV + К — 0,
где Л - рыночная цена риска для показателя в, р - корреляция случайных величин £\ и ег, D(S,6,t)SAt - дивиденды, выплачиваемые в течение промежутка времени At на одну акцию; K(S,9,t)At - купоны, выплачиваемые в течение промежутка времени At на одну облигацию, r(t) -краткосрочная процентная ставка в момент времени t.
Данное уравнение используется как для расчета безарбитражной цены конвертируемой облигации в момент времени 0, так и для определения той цены акции, при которой следует производить обмен облигации на акции. Ссылки на книги и статьи, где выводится и используется данное уравнение с частными производными, а также многие другие подобные уравнения, можно найти в работе [lj. В работе [1] также приводятся вывод данного уравнения и описание некоторых связанных с ним расчетов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шведов A.C. Применение метода конечных разностей для оценки финансовых инструментов // Эконом, журнал Высшей школы экономики. 2002. Т. 6. Вып. 2. С. 193-216.
АППРОКСИМАТИВНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ СИСТЕМЫ НАВЬЕ-СТОКСА, ЗАДАННОЙ ВО ВНЕШНОСТИ ОРГАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ © П.О. Шорыгин (Москва)
В работе изучается вопрос об аппроксимативной управляемости с границы для системы Навье-Стокса, заданной во внешности ограниченной области. Доказана возможность управления решением с границы области так, что через сколь угодно малое время решение системы Навье-Стокса будет близким к любому заданному соленоидальному полю.
Пусть и) С Rd, d = 2,3- ограниченная область с гладкой границей дси класса С00, fi = Rd \ ui. Рассматривается смешанная краевая задача для системы Навье-Стокса:
dtv(t, х) — Av + (v, V)v + Vp = f(t, x), div: v = 0 (1)
v|t=o = v0 +Uoo, v(t, -)|an = «(*,•) +^oo (2)
\v(t, x) — Woo| —> 0 при X —> 00, (3)
где x £ fi, t £ [0,T], T > 0. Начальное условие vq(x) £ Hl(fi) - заданное соленоидальное векторное поле, vœ € Rd задано. Векторное поле u(t,x), определенное на границе <90, не считается заданным, а является управлением. Пусть задано конечное условие - произвольное соленоидальное векторное поле ui(æ) £ Я:(Г2) (заметим, что малость нормы ||г>0 - ui||#i не требуется).
Определение. Задача (1)-(3) называется аппроксимативно управляемой на [0,Т] с границы, если для любого v\ 6 V1 (fi) и произвольного е > 0 существует такое граничное управление u(t,x), t € [О, Г],: x G дсо, что выполнена оценка:
1ИТ> •) - (^l(-) + Uoo)lltfi(iî) < е, (4)
где v(t,x) - решение краевой задачи (1) - (3) для системы Навье-Стокса.
Теорема. Пусть / € Z<2(0,T; V°(iî)), (vq — vœ) £ У4(П), и задано v\: (t>i — Uoo) £ Fx(fi). Тогда система (1) - (S) является аппроксимативно управляемой с границы. ВремяТ в (4) может быть выбрано сколь угодно малым.
Замечание. Методы, используемые в данной работе, были ранее применены в работе [1] Фурсикова и Эмануилова, где была доказана точная управляемость системы Навье-Стокса в случае ограниченной области.
БЛАГОДАРНОСТИ: Автор выражает благодарность A.B. Фурсикову за помощь в работе.
