Оценка и хеджирование финансовых инструментов Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

При этом искомое управление должно быть с обратной связью, т. е. решение (v(t,x),u(t,x)) задачи (1),(4) определяется по формуле

(v(t, -),u(t, •)) = Bwk(t,-), (5)

где В - линейный ограниченный оператор, действующий в фазовом пространстве, a u'k(t,x) - решение некоторой специальной краевой задачи для уравнения (1).

Теорема 2. Пусть уравнение в (1) - это квазилинейное параболическое уравнение или двумерная система Навье-Стокса и выполнено условие (3). Тогда существует решение задачи стабилизируемо сти (1), (4) посредством граничного управления с обратной связью.

Замечание 3. После простых модификаций хугравления, построенного в теореме 2, можно стабилизировать стационарное решение v уравнения (1) даже когда допускается возникновение непредусмотренных флуктуаций правой части / из (1).

ОЦЕНКА И ХЕДЖИРОВАНИЕ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

© A.C. Шведов (Москва)

Доклад носит обзорный характер и посвящен математическим методам, используемым при работе с производными финансовыми инструментами (деривативами).

В развитии финансовой математики можно выделить следующие этапы. Временные границы этапов, естественно, условны.

1950 - 1965 годы. Создание классической теории портфелей из акций. Появление компьютеров сделало возможным использование новых методов для расчета составов портфелей.

1965 - 1975 годы. Создание методов оценки и хеджирования опционов на акции, а затем и других финансовых инструментов. Включение в портфель опционов позволяет существенно улучшить характеристики портфеля.

1975 - 1990 годы. Преодоление серьезной трудности, возникшей при попытке применить развитые методы к портфелям из облигаций: в случае акций процентную ставку можно округленно считать не зависящей от срока заимствования, в случае облигаций - принципиально нельзя. Создание теории процентных финансовых инструментов.

С 1990 года. Изучение финансовых инструментов, связанных с несколькими различными валютами, срочные структуры процентных ставок по которым, естественно, различны.

На первом этапе основное внимание уделялось задаче о рассредоточении капитала по различным видам ценных бумаг. Для моделирования неопределенности в качестве доходности й ценной бумаги (г = 1,..., п) берется случайная величина Ri и ищутся параметры портфеля Xi (X]”=i xt = 1) так, чтобы случайная величина

» *

R = У^XjRj,

г=1

передающая доходность портфеля, обладала теми или иными заданными свойствами. В частности, чем больше ожидаемое значение E(R), тем лучше, и чем меньше дисперсия Var(R), тем тоже лучше. При Xi > 0 по 7-й ценной бумаге ведется игра на повышение, при Х{ < 0 - игра на понижение. Задача определения параметров портфеля Xi оказывается связанной с некоторой задачей математического программирования.

Начиная со второго этапа, был задействован гораздо больший арсенал методов высшей математики. Для моделирования динамики цен различных активов, а позднее и для моделирования динамики процентных ставок, стали использоваться случайные процессы Ито, которые являются случайными процессами с непрерывным временем, а также некоторые их обобщения. Задача построения случайного процесса по имеющейся статистической информации требует использования методов эконометрики.

Математическая модель в финансовой экономике играет принципиально другую роль, чем в физике. В физике математическая модель должна как можно точнее описывать реальный процесс и давать возможность заменить дорогостоящий эксперимент более дешевым расчетом. В финансовой экономике математическая модель - это модель в некотором смысле "правильно” работающего рынка. Если в реальном мире цены на финансовые инструменты отличаются от цен этого ” правильно” работающего рынка, это указание на то, что в реальном мире существует ”неправильность”, которую можно использовать для извлечения прибыли.

Одна из проблем состоит в том, что таких ’’правильно” работающих рынков можно построить бесконечно много, и все цены для каждого из рынков будут свои. В простейшем случае для ” правильно” работающего рынка могут предполагаться выполненными условия идеального рынка, т. е. бесконечная делимость и абсолютная ликвидность всех активов, отсутствие налогов и трансакционных издержек, доступность всей информации о рынке для всех участников, выполнение всеми участниками рынка всех своих обязательств, неограниченные возможности заимствования по существующим процентным ставкам, одинаковым для всех участников. Эти условия могут быть и ослаблены, тогда ’’правильно” работающий рынок оказывается другим. И, конечно, существует произвол в выборе формы и параметров используемых случайных процессов, как и в выборе тех показателей, для которых исходно случайные процессы строятся.

Для ’’правильно” работающего рынка оценка финансовых инструментов производится из соображений отсутствия арбитража. Т. е. ищется та цена финансового инструмента, при которой невозможно построить арбитражный портфель с использованием данного финансового инструмента и каких-то других финансовых инструментов. Арбитражный портфель - это такой портфель, стоимость которого равна нулю в начальный момент времени, и существует такой более поздний момент времени, для которого стоимость данного портфеля положительна с вероятностью р > 0 и равна нулю с вероятностью 1 —р. При этом состав портфеля может неоднократно пересматриваться в зависимости от изменения состояния рынка, но покупка новых финансовых инструментов должна производиться только за счет продажи финансовых инструментов, входящих в портфель.

Существует несколько различных путей математически реализовать эту идею (после того, как исходные случайные процессы построены, и условия торговли в рамках математической модели определены). Можно указать краевую задачу для некоторого дифференциального уравнения с частными производными параболического типа, решением которой является цена интересующего финансового инструмента, как функция времени и каких-то характеристик рынка, и затем решить эту краевую задачу аналитически или численно. Можно построить случайный процесс с дискретным временем, который является аппроксимацией случайного процесса с непрерывным временем, и его использовать для расчета цены финансового инструмента, применяя прием, называемый индукцией назад. Можно использовать методы Монте-Карло.

Пусть цена финансового инструмета для ’’правильно” работающего рынка определена, и построен такой самофинансирующийся портфель, состоящий из данного финансового инструмента и каких-то других финансовых инструментов, стоимость которого при любом состоянии рынка остается равной нулю (и в котором остается неизменным число единиц интересующего нас финансового инструмента). Тогда говорят, что решена задача хеджирования данного финансового инструмента, или ограждения финансового инструмента от рыночных рисков. Найденная стратегия может быть использована в реальном мире для извлечения прибыли, если цена финансового инструмента существенно отличается от его цены для ’’правильно” работающего рынка в ту или в другую сторону.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при частичной поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований по проекту № 00-01-00201.

ЛИТЕРАТУРА

1. Campbell J.Y., Lo A.W., MacKinlay А.С. The Econometrics of Financial Markets. Princeton: Princeton Univ. Press,

1997. 611 p.

2. Hull J.C. Options, Futures and Other Derivatives. 3rd edition. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1997. 572 p.

3. Jarrow R.A. Modelling Fixed Income Securities and Interest Rate Options. N.Y.: McGraw-Hill, 1996. 256 p.

4. Merton R.C. Continuous Time Finance. Cambridge (MA): Blackwell, 1992. 732 p.

5. Musiela М., Rutkowski M. Martingale Methods in Financial Modelling. Berlin: Springer, 1997. 512 p.

6. Rebonato R. Interest-Rate Option Models. 2nd edition. Chichester: Wiley, 1998. 521 p.

7. Wilmott P., Howison S., Dewynne J. The Mathematics of Financial Derivatives. Cambridge: Cambridge Univ. Press,

1995. 317 p.

8. Шведов А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг. М.: ГУ-ВШЭ, 1999. 143 с.

9. Шведов А.С. О математических методах, используемых при работе с опционами // Эконом, журнал Высшей школы экономики. Т. 2. № 3. 1998. С. 385-409.

ЭЛЕМЕНТЫ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОТИВОКОРРОЗИОННОЙ

ЗАЩИТЫ

© Н.В. Шель, В.И. Вигдорович (Тамбов)

Оптимизация экономических показателей производства в целом и различных его сторон, в частности, основывается на сравнении валовых доходов и издержек или на сопоставлении предельных значений этих величин. В отечественной практике используется подход, базирующийся на сравнении издержек, определяемых базовым и новым вариантами. Нами предложен иной подход, который в настоящем сообщении проиллюстрирован на примере экономической оптимизации противокоррозионной защиты, хотя, в принципе, применительно к другим сторонам техники, он не имеет ограничений.

Связь между коррозионными потерями и затратами на противокоррозионные мероприятия задается уравнением: Кикп = Ккп + Ккр. Я* - последовательно истинные коррозионные потери, собственно коррозионные потери и затраты на противокоррозионные мероприятия. Ккп складывается из прямых (Кпкп) и косвенных (Кккп) потерь Кикп = Кпкп + Кккп + Ккр.

Пусть (Кпкп + Кккп)/Кпкп = К\. Тогда абсолютная величина экономического эффекта равна

ЭПз = Кп - [К^(Ккг) + К^], Кк„ = К,ехр[-КкрК2ехр(Ккр)].

Пусть К®кп = 1 . Тогда все остальное - в единицах К%кп; К2 - коэффициент эффективности мероприятия

Эпэ - Кх[\ - ехр(-К2Ккр) - Ккр/К\}\

(IЭпэ/(1К = КхК2ехр{К2Ккр) - 1);