Простая модель эволюции сложной системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ь = {/ Є С'°°(КП) | / = 0 вне По} • Через Н =И/21 (О) обозначим гильбертово пространство, являющееся замыканием Ь относительно евклидовой нормы

ІМІЇг = ІІ^ІІІ, = 1^иУи)йх.

Н."

Пусть функция = Р{х,и) : И" х II —> II (Р(х, 0) = 0) представляет собой сумму двух функций А = А{х,и),В = В(х,и) : И" х И, -» И, где непрерывная функция А(х,и) монотонна по 2-ой переменной для всех іЄІ1,а функция В(х,и) равномерно (7-липшицева по 2-ой переменной, т.е. для всех іЕПи «1,^2 Є И верно неравенство \В(х,иі) — В(х,и г)| ^ С\и\ — гіг|.

Замечание 1. Когда функция і*1 имеет описанное выше представление (і*1 = А + В), можно без потери общности считать, что В(х,и) = —Си, т.е. Р{х,и) = А(х,и) — Си, где функция А(х,и) монотонна по 2-ой переменной для всех х Є П, и А(х, 0) = 0.

Через 7 = 7(П) обозначим точную константу вложения, т.е. наименьшую константу в нера-

О

венстве ||и||і2 ^ 7ІІ^и||ь2 (и ЄИ^1 (П)).

0-1

Теорема 1. Пусть С < 7~2. Тогда для всех функций у ЄТУ2 (^) задача Дирихле

Г А и = Р(х,и) + <р(х) и = 0 на дО

О

не может имееть двух различных решений из класса ТУ2Х (Г2).

Можно показать, что оценка на константу С, обеспечивающая единственность в задаче Дирихле, точна для нелинейностей вида Р = А + В, описанных выше. Согласно замечанию 1, можно считать, что В[х,и) = —Си.

Теорема 2. Пусть С > 7~2, область П звездна; функция А = А(х,и) Є (7(11" х И) монотонна по переменной и для всех х Є Гі, и А(а;,0) = -^А(х, 0) = 0. Тогда существует ненулевое

О 1

решение и £\У2 (П) задачи Дирихле

( Аи = А(х,и) — Си,

\ и — 0 на дП,

т.е. эта задача имеет, по крайней мере, два решения (одно из них тривиально).

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 02-01-

00248.

ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ ЭВОЛЮЦИИ СЛОЖНОЙ СИСТЕМЫ

© А.В. Чистяков (Ижевск)

Макрохарактеристикой рассматриваемой системы является плотность распределения /(г, £) числа элементов системы (частиц) по характерному параметру - линейному размеру г. Система интерпретируется как сплошная механическая среда, удовлетворяющая в пространстве размеров уравнению неразрывности

д£ дь1 т дт

при условии баланса частиц

vf(0,t) = Л*)

на границе их зарождения. Скорость роста V определяется внутренними факторами (размером частицы) и внешними условиями (физическими моментами распределения Мг = /0°° гг/(г, 1)с1г i =

( г

= 0,1,2,3) и энергетический ресурсом и окружающей среды. В формуле V = ах 4- /?Мз II------------

V га

в простейшей форме отражен компромисс между ростом частицы за счет притока энергии извне и ее разрушением при взаимодействии с другими частицами и порождающей систему агрессивной средой. Движущей силой развития является ненасыщенность среды х = и — М3. Параметр га определяет порог роста, за которым начинается разрушение частицы. Тот же компромисс выражен в формуле 3 = ^х + еМ2(М1 — гаМо) интенсивности возникновения j зародышей частиц.

Функция распределения / (статистика системы) восстанавливается по физически измеряемым параметрам Мо, М\, Мг, М3, удовлетворяющим замкнутой системе обыкновенных дифференциальных уравнений

^2- = 'ух + еМ2{М\ - гаМ0), = г(ах + ^М3)М^1 - (г = 1,2,3).

сЧ аг га

Управление системой осуществляется заданием энергетического ресурса. При постоянном ресурсе и(Ь) = ио единственным стационарным состоянием является распределение Дирака /оо (г) = ^-д(г —

Га

— га). Приход к равновесию можно назвать тривиальной эволюцией системы или концом развития: все ресурсы среды израсходованы на создание однородного по размеру коллектива частиц, неспособного к саморазвитию.

Многообразие физических состояний макросистемы представляет собой усеченный конус, выделяемый неравенствами М{ ^ 0, М3 ^ и0, М0М2 - М2 ^ 0, М1М3 - М| ^ 0. Стационарное состояние, являющееся крайней точкой этого конуса, достижимо только в случае устойчивости. Нетривиальная эволюция, характеризующаяся неостанавливающимся качественным обновлением системы, начинается тогда, когда устойчивость равновесия теряется. В системе дифференциальных уравнений, описывающей изменение физических параметров, присутствуют петли положительной обратной связи. Усиление обратных связей, как правило, приводит к потере устойчивости равновесного состояния и возникновению сложной динамики [1]. В данной модели при потере устойчивости стационарного состояния мягко появляются автоколебания. В режиме автоколебаний масса системы М3 колеблется весьма незначительно, но ее численность Мо изменяется очень резко. Есть и характерный сдвиг по фазе колебаний (приближенно в четверть длины волны) между численностью системы и массой. Вполне вероятно, что при потере устойчивости автоколебаний могут возникнуть хаотические режимы.

Рис.1. Устойчивый цикл.

20 40 60 80 100 [

Рис.2. Поведение системы в зоне устойчивости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пригожий И., Николис Г. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979.

К РАСЧЕТАМ БЕЗАРБИТРАЖНЫХ ЦЕН ОПЦИОНОВ © А.С. Шведов (Москва)

Доклад посвящен некоторым математическим вопросам, связанным с расчетами безарбит-ражных цен опционов и других финансовых инструментов. Существуют несколько различных подходов к расчетам безарбитражных цен. При одном из этих подходов выписывается уравнение с частными производными для безарбитражной цены финансового инструмента, и вопрос определения безарбитражной цены сводится к решению некоторой краевой задачи для этого уравнения. Другой подход связан с использованием мультиномиальных решеток. В третьем подходе используются датчики случайных чисел, этот подход относится к методам типа Монте-Карло. При всех этих подходах необходимо построить стохастические модели, характеризующие изменение величин, от которых зависит цена финансового инструмента, определить правильную форму стохастической модели, конкретные значения параметров, провести тестирование модели.

В качестве примера рассмотрим облигацию с погашением в момент времени Т, которая является конвертируемой, т.е. в любой момент времени £, 0 ^ ^ Г, владелец облигации имеет право

обменять ее на г акций некоторой компании. Будем считать, что цена облигации V является функцией только от цены акции 5, момента времени £ и некоторого показателя в (например, той или иной процентной ставки). Рассмотрим промежуток времени Д< и предположим, что за этот промежуток времени цена акции 5 изменяется по закону Д5 = ц : 5 : Д£ + а : в : е-^л/Ъл, + о(Д<), показатель в изменяется по закону А9 = у>Д4 + 'фег%/Д£ + о(Д£). Здесь е\ и ег - стандартные нормальные случайные величины, ц, а, 1р, ф являются функциями от 5, в и £. При некоторых дополнительных предположениях можно показать, что безарбитражная цена конвертируемой облигации V является решением следующего уравнения с частными производными

V* + + УзераБтР + ^Увв-ф2 + (г - - ЩУв - гУ + К = 0,