Точная управляемость с границы и стабилизация посредством граничного управления с обратной связью параболических уравнений и системы Навье-Стокса Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Пятницкий Е.С. Синтез иерархических систем управления механическими объектами на принципе декомпози-

ции // АиТ. 1989. № 1. С. 87-89; № 2. С. 71-86.

2. Матросов В.М., Финогенко И.А. О свойствах правосторонних решений уранений динамики механических си-

стем с трением скольжения // Докл. РАН. 1995. Т. 343. № 1. С. 53-56.

3. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

ТОЧНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ С ГРАНИЦЫ И СТАБИЛИЗАЦИЯ ПОСРЕДСТВОМ ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМЫ НАВЬЕ-СТОКСА

(с) А.В. Фурсиков (Москва)

Пусть С Яп - ограничная область с границей дП класса С°°, Т > 0. Рассмотрим следующую задачу для абстрактного эволюционного уравнения

дv(t,x)/дt + = /(х), ^=0 = г'о, х)|1€ап = и(£, х), (1)

где А - абстрактный оператор, /, г’о - заданные функции, а фазовая функция г;(^,х) и управление и(Ь,х) неизвестны. Мы рассмотрим случаи, когда (1) - это краевая задача для квазилинейного параболического уравнения или для системы Навье-Стокса.

Задача точной управляемости состоит в следующем: Для заданного решения £’(£, х) дифференциального уравнения в (1), г)(0, •) ф г0, найти такое управление и(£, х), что для решения и(£, х) краевой задачи (1) справедливо равенство

ь(Т,х) = Ъ(Т,х). (2)

Теорема 1. Пусть (1) - это двух или трехмерная система Навье-Стокса. Тогда для любых Т > 0, г, /, го существует решение (г;(£, я), и(£, я)) задачи точной управляемости (1),(2).

Замечание 1. В теореме 1 мы нашли решение г’(£,х) задачи (1) в пространстве достаточно гладких функций (в котором доказана теорема единственности решения краевой задачи для трехмерной системы Навье-Стокса,) хотя мы не накладываем никаких ограничений малости на исходные данные г),г>о,/. (Недостаток места не позволяет привести точное определение функциональных пространств.)

Замечание 2. Когда (1) - это квазилинейное параболическое уравнение, теорема 1 доказана при дополнительном условии ||г)(0, •) — г?о||я>(П) < £ г^е £ достаточно мало.

Опишем проблему стабилизации с помощью управления с обратной связью. Пусть заданы /, ь'о из (1), стационарное решение г>(х) уравнения (1), к > 0 и

||£-г>о||х < е, (3)

где £ > 0 достаточно мало. Требуется найти такое управление и(£, х), заданное на д$1. что решение ь(Ь,х) задачи (1) удовлетворяет оценке:

||т;(£, •) — г)||х ^ сехр(—И) при £ —> оо. (4)

509

і

При этом искомое управление должно быть с обратной связью, т. е. решение (v(t,x),u(t.,x)) задачи (1),(4) определяется по формуле

(v(t, -),u(tr)) = Bwk(t,-), (5)

где В - линейный ограниченный оператор, действующий в фазовом пространстве, a u'k(t,x) - решение некоторой специальной краевой задачи для уравнения (1).

Теорема 2. Пусть уравнение в (1) - это квазилинейное параболическое уравнение или двумерная система Навье-Стокса и выполнено условие (3). Тогда существует решение задачи стабилизируемо сти (1), (4) посредством граничного управления с обратной связью.

Замечание 3. После простых модификаций управления, построенного в теореме 2, можно стабилизировать стационарное решение v уравнения (1) даже когда допускается возникновение непредусмотренных флуктуаций правой части f из (1).

ОЦЕНКА И ХЕДЖИРОВАНИЕ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ © А.С. Шведов (Москва)

Доклад носит обзорный характер и посвящен математическим методам, используемым при работе с производными финансовыми инструментами (деривативами).

В развитии финансовой математики можно выделить следующие этапы. Временные границы этапов, естественно, условны.

1950 - 1965 годы. Создание классической теории портфелей из акций. Появление компьютеров сделало возможным использование новых методов для расчета составов портфелей.

1965 - 1975 годы. Создание методов оценки и хеджирования опционов на акции, а затем и других финансовых инструментов. Включение в портфель опционов позволяет существенно улучшить характеристики портфеля.

1975 - 1990 годы. Преодоление серьезной трудности, возникшей при попытке применить развитые методы к портфелям из облигаций: в случае акций процентную ставку можно округленно считать не зависящей от срока заимствования, в случае облигаций принципиально нельзя. Создание теории процентных финансовых инструментов.

С 1990 года. Изучение финансовых инструментов, связанных с несколькими различными валютами, срочные структуры процентных ставок по которым, естественно, различны.

На первом этапе основное внимание уделялось задаче о рассредоточении капитала по различным видам ценных бумаг. Для моделирования неопределенности в качестве доходности г-й ценной бумаги (г = 1,... ,п) берется случайная величина и ищутся параметры портфеля ж,- (£]Г=1 х* = *) так, чтобы случайная величина

П %

Л ^ ^ Х{

г=1

передающая доходность портфеля, обладала теми или иными заданными свойствами. В частности, чем больше ожидаемое значение £(#), тем лучше, и чем меньше дисперсия Уаг(Щ, тем тоже лучше. При XI > 0 по г-й ценной бумаге ведется игра на повышение, при Х{ < 0 - игра на понижение. Задача определения параметров портфеля Xi оказывается связанной с некоторой задачей математического программирования.