CC BY
26
где А - рыночная цена риска для показателя в, р - корреляция случайных величин £\ и £■?, Д(5,0,£)5Д< - дивиденды, выплачиваемые в течение промежутка времени Д£ на одну акцию; К (Б, 0,£)Д£ - купоны, выплачиваемые в течение промежутка времени ^ на одну облигацию, г{Ь) -краткосрочная процентная ставка в момент времени t.
Данное уравнение используется как для расчета безарбитражной цены конвертируемой облигации в момент времени 0, так и для определения той цены акции, при которой следует производить обмен облигации на акции. Ссылки на книги и статьи, где выводится и используется данное уравнение с частными производными, а также многие другие подобные уравнения, можно найти в работе [1]. В работе [1] также приводятся вывод данного уравнения и описание некоторых связанных с ним расчетов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шведов А. С. Применение метода конечных разностей для оценки финансовых инструментов // Эконом, журнал Высшей школы экономики. 2002. Т. 6. Вып. 2. С. 193-216.
АППРОКСИМАТИВНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ СИСТЕМЫ НАВЬЕ-СТОКСА, ЗАДАННОЙ ВО ВНЕШНОСТИ ОРГАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ © П.О. Шорыгин (Москва)
В работе изучается вопрос об аппроксимативной управляемости с границы для системы Навье-Стокса, заданной во внешности ограниченной области. Доказана возможность управления решением с границы области так, что через сколь угодно малое время решение системы Навье-Стокса будет близким к любому заданному соленоидальному полю.
Пусть lo Q Rd, d = 2,2> - ограниченная область с гладкой границей ди> класса С00, П = Rd \ui. Рассматривается смешанная краевая задача для системы Навье-Стокса:
dtv(t, х) — Д« + (v, V)u + Vp = f(t, x), div:v — 0 (1)
u|t=o = v0 + Voo, v(t, -)|an = u(t, ■) + Voo (2)
|w(i, x) — Wool -> 0 при x —► oo, (3)
где x E fi, t £ [0, T], T > 0. Начальное условие vq{x) € Hl (SI) - заданное соленоидальное векторное
поле, Voo Е Rd задано. Векторное поле u(t,x), определенное на границе дО., не считается заданным,
а является управлением. Пусть задано конечное условие - произвольное соленоидальное векторное поле Vi(a;) Е Я1(П) (заметим, что малость нормы ||vo — г^Ня1 не требуется).
Определение. Задача (1)-(3) называется аппроксимативно управляемой на [О,Г] с границы, если для любого v\ Е V1 (П) и произвольного е > 0 существует такое граничное управление u(t, х), t Е [0,Т],: х Е дш, что выполнена оценка:
\\V(T, •) - (vi(-) + и0о)||я1(п) < е> (4)
где v(t,x) - решение краевой задачи (1) - (3) для системы Навье-Стокса.
Теорема. Пусть / Е Ьг(0, Г; У°(П)), (vo — Voo) Е V4(ft), и задано v\: (ui — Vqc) Е Ух(П). Тогда система (1) - (3) является аппроксимативно управляемой с границы. Время Т в (4) может быть выбрано сколь угодно малым.
Замечание. Методы, используемые в данной работе, были ранее применены в работе [1] Фурсикова и Эмануилова, где была доказана точная управляемость системы Навье-Стокса в случае ограниченной области.
БЛАГОДАРНОСТИ: Автор выражает благодарность А.В. Фурсикову за помощь в работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фурсиков А.В., Эмануилов О.Ю. Точная управляемость уравнений Навье-Стокса и Вуссинеска // УМН. 1999. №54(3).
2. Фурсиков А.В. Оптимальное управление. Теория и приложения. Н.: Науч. кн., 1999.
О ВКЛАДЕ А.Н. КОЛМОГОРОВА В ТЕОРИЮ ОПЕРАЦИЙ НАД МНОЖЕСТВАМИ
© И.В. Шрагин (Кёльн, Германия)
Развитие математики в начале XX века приводило к рассмотрению все более сложных операций над множествами. Весьма плодотворным понятием, охватывающим многие известные типы операций, явилось понятие <5в-операции [1]. Так называется операция, применяемая к бесконечным последовательностям множеств и имеющая вид
Ф(ЕиЕ2,...) = У р| Е„
где Е - какая-либо система подмножеств натурального ряда.
А.Н. Колмогоров получил ряд глубоких результатов относительно 5в-операции и опубликовал их в работе [2] (как указано во введении к [2], эти результаты содержатся в рукописи, оконченной 3 января 1922 г.). Ниже кратко излагается содержание этой работы.
Прежде всего автор вводит понятие (^-операции Ф, дополнительной к Ф. При этом если Е3 С С X, в = 1,2,..., то имеет место равенство
ЩХ\Е1: Х\Е2,...)=Х\Ф(ЕиЕ2,...).
Затем, беря в качестве пространства X интервал (0,1), автор доказывает существование такого Ф-множества (т.е. множества вида Ф{Ех,Е2,...), где все множества Ев замкнуты в (0,1)), что его дополнение не является Ф-множеством. Это основной результат работы.
Далее А.Н. Колмогоров, обобщая понятия борелевских множеств и С- множеств Н.Н. Лузина, определяет совокупность И7(Ф) - минимальное семейство множеств, содержащее все замкнутые в (0,1) множества и инвариантное по отношению к (^-операции Ф и операции взятия дополнения. По аналогии с известной классификацией борелевских множеств определяется разбиение семейства И^(Ф) на (алеф один) классов и доказывается их непустота.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hausdorff F. Mengenlehre. Berlin, 1927. Рус. перевод: Теория множеств. M.-JL, 1937.
2. Колмогоров А.Н. Об операциях над множествами // Матем. сборник. 1928. Т. 35. Вып. 3-4. С. 415-422.
