CC BY
68
Иванова В.С., Чернышев С.Л. ГАРМОНИЧНАЯ САМООРГАНИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Динамические системы адаптируются к доминирующему типу окружающей среды путем самоорганизации фрактальных структур определяющих пространственно-временную симметрию. Преимущество естественных самоорганизующихся систем в диссипативном состоянии по сравнению с моделируемыми системами отчетливо проявляется в биологических системах, способных создавать сложные самоподобные объекты с непревзойденной точностью и эффективностью /1/.
Ряд золотых пропорций, введенных А.Стаховым /2/, позволяет моделировать систему самоподобных структур, в каждой из которых раскрывается противоречие дискретного и непрерывного, конечного и бесконечного. Закон самоподобного деления целого на части в золотой пропорции определяет свойства симметрии и порядок самоорганизации динамических систем /3,4/. Как показано в /4/, мерой динамической устойчивости системы в диссипативном состоянии служит величина Ap=qp—1, где отношение золотой пропорции порядка р определяется уравнением qP+1 — qp —1 = 0. При этом величину Ар можно представить в виде
p p
отношения Ар=Ор/фр , где а ри фр=1—Ор соответственно меньшая и большая часть фигуры, поделенной в золотой пропорции порядка р. С учетом уравнения для qp, из которого следует, что Ор=(1—Ор)р+1, где qp=1/( 1—Ор), приходим к следующему соотношению Ар=(1—Ор)р.
Проблема разбиения целого на части возникает также при размещении шаров в пространствах заданной размерности. Конфигурации плотной упаковки шаров изучаются многие годы, как для твердых тел, так и для жидкостей. Известно, что поиск плотной упаковки шаров в d-мерном пространстве математически эквивалентен разработке конечного множества, закодированного информационными числами, допускающими устойчивую (без искажений) передачу информации / 5/. Сравнение меры устойчивости Ар с плотностями л( у)
упаковок шаров А^ в пространствах размерности d показывает, что между размерностью пространства d и порядком золотой пропорции р существует определенная связь.
Плотность упаковки шаров Ау) определяется отношением объема многомерного шара Vd к объему фундаментальной области Vpd (объему многогранника Вороного соответствующей размерности d, полностью заполняющему пространство своими копиями). Например, на плоскости наилучшая упаковка шаров (в данном случае кругов) соответствует гексагональной решетке, где круги с радиусом Ч вписаны в правильные шестиугольники (многогранники Вороного для плоскости). Плотность такой двумерной упаковки равна n/Vl2=0,9069.
Наилучшая известная упаковка шаров в трехмерном пространстве характеризуется плотностью, равной n/Vl8=0,7405.
Численные значения мер устойчивости Лх и Л2 (с точностью до долей процента) совпадают со значениями плотностей упаковок в пространствах размерности 4 и 5. Для четырехмерного пространства наилучшая решетчатая упаковка шаров представляет собой, так называемую, шахматную упаковку D4, плотность упаковки которой определяется выражением А(у) = (л/4)2=0, 61685 / 5/. Сравнение этого выражения с величиной Лх=0,618 03 показывает, что расхождение не превышает двух десятых процента. Расхождение плотности ре-
Л( у)
шетчатой упаковки D5=0,4 652 6 в пятимерном пространстве А5 с величиной Л2=0,46577 составляет семь сотых процента. Зависимости меры динамической устойчивости и плотности упаковки шаров показаны на
(у)
рис.1. Как видно из рисунка, в трехмерном пространстве (d=3, р=0) плотность упаковки А3 =0,7 4 05
значительно отличается от меры устойчивости Ло=1; затем следует асимптотическая близость выражений Л( у)
А4 и Лр при d=4 (р=1) и d=5 (р=2). Начиная с размерности пространства d=6 (р=3), следует увеличива-
ющееся расхождение значений плотностей упаковок и мер устойчивости.
1,2
0,8 0,6 0,4 0,2
О
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Рис.1. Зависимости меры динамической устойчивости Др=qр— 1 (верхняя кривая) и плотности упаковки
шаров Д^1 в пространстве размерности d (нижняя кривая) от параметра р+1, где р - порядок золотой
пропорции связан с размерностью пространства соотношением d=р+3.
При этом функция самоподобия может быть определена с учетом кода m обратной связи, контролирующего адаптационные перестройки структуры /4/:
F=Дp1/ш. (1)
где р - порядок золотой пропорции (р=1,2,3,...). Значения функции F из (1) при ш=1,2,4,8,...,128 представлены в табл.1.
Значения функции самоподобия Таблица 1
m р
1 2 3 4 5 6 7 8
1 0,618 0,465 0,380 0,324 0,285 0,255 0,232 0,213
2 0,682 0,616 0,569 0,534 0,505 0,482 0,460
4 0,785 0,754 0,731 0,711 0,694 0,679
8 0,869 0,855 0,843 0,833 0,824
16 0,925 0,918 0,913 0,908
32 0,958 0,955 0,953
64 0,977 0,976
128 0,988
Вертикальные ряды в таблице отвечают различным алгоритмам адаптации наносистемы к нарушению пространственно- временной симметрии, характеризуемых значениями параметра m, при постоянной мере устойчивости системы Ap=(qp-1)=const и p=1^8.
Принципы управления свойствами объектов наноматериаловедения основаны на формировании пространственно упорядоченных самоподобных структур. Самоорганизация муль тифрактальных структур происходит в результате нарушения фрактальной симметрии, связанной с определенной размерностью системы. При этом определяются количественные показатели адаптируемости структуры материала к внешнему воздействию.
Как показано в /6,7/, для моделирования воздействий окружающий среды может быть применен матричный оператор измерений-воздействий, представляющий стохастическую матрицу бесконечного порядка. Условия окружающей среды при этом характеризуются вероятностями ошибок первого и второго рода при сравнении измеряемого значения с мерами.
Квантование воздействий приводит к тому, что от континуума условий окружающей среды приходим к счетному их числу, характеризуемому порядком золотой пропорции р. При этом матрица измерений-воздействий преобразуется в матрицу квантовых измерений (аналог матрицы плотности).
Каждый элемент матрицы квантовых измерений (вероятность P^(N) , где L - номер строки, N - номер
столбца, р - параметр, определяющий условия проведения измерений (порядок золотой пропорции) связан с определенным фигурным числом следующим соотношением /7/:
-logjiP/(JV) = <^(2) (2)
где логарифмирование производится по отношению золотой пропорции qp; К=1, если N<L; K=NI IL, если N>L; р^^=0,1,2, ... . Здесь Ф^р (2) = 1 + N + Кр. Порядок золотой пропорции р и произведение Кр указаны в качестве индексов.
Фигурные числа взаимосвязаны с определенными геометрическими фигурами, например, N-мерными шарами, размещаемыми определенным образом в N-мерном пространстве. Произведение Кр=0 сответствует треугольным числам; Кр=1 - четырехугольным; Кр=2 - пятиугольным и т.д. Количество углов k многоугольника, образованного N-мерными шарами, определяется произведением Кр на основе соотношения к=Кр+3.
Таким образом, значения параметра k, т.е. свойства симметрии фигурного числа, совпадают с размерностью пространства на рис. 1, если параметр К=1.
Отображение матрицы квантовых измерений с помощью фигурных чисел позволяет заключить, что воздействие окружающей среды приводит к эволюции исходного состояния объекта, которую можно характеризовать с помощью определенных геометрических образов. Свойства симметрии данных геометрических образов при этом обусловлены характеристиками (свойствами симметрии) воздействий окружающей среды.
Матрица квантовых измерений с учетом формулы q = А^1/р , где p>0 может быть представлена следующим образом /8/:
рР ( N) = А(1+N+кр)/р
Отметим, что отношения вероятностей всех последующих элементов к предыдущим элементам на главной диагонали и на диагоналях матрицы, расположенных выше и ниже главной диагонали, одинаковы и равны
Ар'р
* . Каждый последующий элемент матрицы в данном случае соответствует большей размерности фигурного
числа и меньшей вероятности.
Эволюция системы при движении (по диагоналям матрицы от нулевого столбца или строки) от одного квазиустойчивого состояния к другому (с повышением размерности и понижением условного размера, т.е. отношения вероятностей) может быть представлена соотношением
Pl+R (N + R)/р/ (N) = Af^ (3)
где L^,N и R - натуральные числа. Если вероятности в выражении (3) представляют относительные размеры наночастиц, то отношение меньшего относительного размера к большему относительному размеру
равно величине А^р/р . Это выражение позволяет воспроизвести последовательности относительных размеров наночастиц в соответствии с /4/ в процентах (100% — 100 нм) для значений R=1,2,...,7.
ЛИТЕРАТУРА
1. Пригожин И. Конец определенности. Время, хаос и новые законы природы/ Пер.с англ- Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика».-2001.
2. Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерений.-М.: Советское радио, 1977.
3. Иванова В.С., Баланкин А.С., Бунин И.Ж., Оксогоев А.А. Синергетика и фракталы в материаловедении. М.: Наука, 1994.
4. Иванова В.С. Введение в междисциплинарное наноматериаловедение.- М.: САЙЕНС-ПРЕСС, 2 0 05.
5. Дж. Конвей, Н.Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы. В двух томах.- М.:Мир, 1990.
6. Иванова В.С., Чернышев С.Л. Критерии устойчивости самоорганизующихся структур/ Надежность и
качество: Труды международного симпозиума: в 2-х ч./ Под ред. Н.К.Юркова - Пенза: Изд-во Пенз.
Гос.ун.-та, 2004.
7. Чернышев С.Л., Чернышев Л.С.// Измерительная техника. 200 6, №12, с.3.
8. Чернышев С.Л.// Измерительная техника. 2007, №12, с.5.
