CC BY
29
УДК 618.514.01:517.977
ДИНАМИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ
РАДИЕВСКИЙ А.Е.
На движениях линейного (стационарный и нестационарный) объекта управления с аддитивным возмущающим воздействием рассматривается задача динамического синтеза. Описываются уравнения движения синтезированных систем управления для некоторых видов задания возмущающего воздействия.
1. Постановка и особенности задачи
Одним из вариантов задачи динамического синтеза является задача аналитического конструирования оптимальных регуляторов в постановке Летова
А.М. (задача Летова) [1]. Она может быть сформулирована следующим образом. Надвижениях объекта управления (ОУ)
x = F(x,u,p,w,t) (1)
оптимизируется критерий качества
Г ti >
j(u) = M IW(x,u,q,t)dt
V t0
при ограничениях вдоль траектории
(x, u, w, t) є E = En x Er x Ew x R1
(2)
(3)
и граничных условиях
(x,to) є Eo,(x,tJ є Ei , (4)
где X = x(t) є En - состояние; u = u(t) є Er -управление; w = w(t) є Ew — возмущение; p є Ep — параметр ОУ; q є Eq — параметр оптимизируемого критерия качества; t є [t0,tj ^ R1 — время, [t0,tj — интервал управления, R1 — числовая прямая; En, Er, Ew — некоторые пространства ; Ep,Eq — некоторые множества; Ei = En хR1
— многообразия, і є [0,1] ; М — математическое ожидание.
Конкретизация выражений (1)-(4) порождает различные варианты задачи динамического синтеза.
Пусть En = C^t0,t^ (Cn (t0, tx) — пространство
n -мерных непрерывных на М] функций x(t)
c нормой ||x|| = max|x(t)|, Vt є [t0, tj e R1);
Er = Lroo (t0,t^ ( (t0,tj — пространство r —
мерных существенно ограниченных на [t0, tj измеримых функций u(t) с нормой \\u\\ = = vrai sup |u(4 Vt є [t0,tj c r1 );
58
u Є U = (u:|u| < uma^5 x Є Q = (x:|x| < x max ), (5)
x(t<,) = x0,x(tj = 0, (6)
где tj — конечный нефиксированный момент времени; u max , x max — задаННЬїе числа.
Учет возмущающего воздействия в исследуемой задаче зависит от характера располагаемой информации относительно функции w(t) .Обычно предполагается, что на [t0,tj функция w(t) :
1) может быть аппроксимирована некоторым набором элементарных функций времени;
2) является неопределенной, но по величине не превосходит некоторого предела;
3) представима посредством элементарных случайных функций;
4) в достаточно полной мере определена вероятно -стными характеристиками.
Пусть на [t0,tj функция w(t) может быть представлена в виде полинома Чебышева-Вейерштрасса [1], а значит [2] , определена системой дифференциальных уравнений (СДУ) с переменными параметрами вида
w = P(t)w(t). (7)
Пусть на [t0,tj функция w(t) является неопределенной. Известно лишь, что
|w(t)| < w*, w* — заданное число. (8)
На множестве функций w(t), удовлетворяющих
выражению (8), обычно выделяют [3] два класса функций: ступенчатые и гармонические.
Ступенчатая функция имеет вид
wW
w = const при t > t0 , 0 при t < t0 ,
(9)
где w gW — неизвестное число, W = (w: |w| < w ). Г армоническая функция имеет вид
wW = wmaxSin 7t , (10)
здесь wmaxGW= (wmax: |wmax| ^ W^xJ^naJ ^ w І ,
уєГ, Г = (у : |y| < у *), wmax , у — неизвестные
* *
числа; w , у — заданные числа.
Пусть на [t0,tj функция w(t) может быть представлена в виде элементарной случайной функции
[4]
w(0 = с^)у(р), (11)
РИ, 2002, № 3
где c(t) — координатная функция (некоторая
детерминированная функция); у(р) — случайная величина, принадлежащая счетному множеству.
На основе положений теории экстремальных задач [5] для (1), (2), (5), (6) в [6] приведено аналитическое решение задачи структурного синтеза. Исходя из структурных особенностей множества допустимых управлений, показано, что синтезированный алгоритм управления (АУ) относится к классу функциональных нелинейных, предельно-линейного типа. Дальнейшие исследования задачи (1), (2), (5), (6) связаны с конкретизацией выражений (l) и (2).Пусть
ti . .
j(u) =| (x Т Rx + mu2jdt
t0
где R = diag|rJH ; m — число; т — транспонирование.
2. Стационарный объект управления
Пусть X = Ax + Bu + W0>
здесь A = ||aij||i ,B = — постоянные матрицы.
Тогда АУ получим в виде [6]
Umax ПРИ ОО ^ Umax ,
= < WO ПРИ - U max < LC (0 < U max
Umax ПРИ WO “ U max ,
где Lc(t) = 0;
'T + ATx¥ = 2Rx + WO при WO = 0 . Можно записать
x = Ax +—BBT ^ + w0,
2m
(12)
ЧР + AT x¥ = 2Rx + W при WO = 0 . (13) Умножая сопряженную СДУ слева на матрицу 1R 1
2r и последовательно подставляя результат в
(12) и (13), получаем векторное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:
Т> + WФ + C2¥ = W + C^wO при WO = 0 , однородное решение которого получим в виде
ЧМ
T^t)
®1^0®12.(t) Ф 2Д )Ф А)
ТА) *2 (О
где Y = Y1, х¥ = ^2; Cc = AТ - RAR 1; Cc2 = = - RAR _1 AT - —RBBT; C3 = -RAR 1 + 2R;
m 3
Ф;дО — n x n -мерные матрицы, i, j є [1,2 ].
РИ, 2002, № 3
Так как ф„(0=02^tJ=I, oWO = Ф2ДО =
=0 ( I и О — n x n -мерные единичная и нулевая
матрицы), WO = 0, то WO = WO = 0.
Поэтому сопряженную СДУ можно записать в “прямом” времени:
'Г - AT Y = -2Rx(t0) - W0 при WO = 0, решение которой
Ц0=2zc(t)Rx(0+z;(W0,0,
t
где zc(0 =-j exp(A T(t -фт;
t0
t
Z2(w W0=-f exp(AT(t - 0WTW
t0
Тогда для открытой области
Lc(0 = Тв^ОМО+-1-BT z;(W0i0;
m 2m
x = Ax + — BB T ZC(0R^(tJ + m
+-W bbt zc2(W0 о+wo.
2m
Учитывая (7)-(11), для открытой области получаем: — для зависимости (7):
t
zc2(W0,0 = exp(AТ (t - 0WT)dT =
t0
t
= - J exp(A T (t; - 0)WT WW0) =
t0
t
= - J eWA T ^ - 0 )W OdxWtO=фс (0WtO,
t0
x A O x I BKC(tMO
W O Pt)| ■ W KC(0^(t0)
где K‘( t) = ^bt zC(t)R, K 2(0= — BB T ф^), m 2m
K(t) — фундаментальная матрица решений СДУ
(7);
— для зависимости (9):
t
zc2(W0,0 = exp(AТ (t - 0WT)dT =
t0
t
= -J exp(AT(t - Odw = zc(t)w
t0
x = Ax + — BBT zc (ORx(t0) +
m
59
+ —BBT Zc (t)w 2m 1W
— для зависимости (10):
+ w •
Z2 (w(t), t) = exp(AT (t - x))w(T)d^ =
t0
t
= -J exp(AT (t; - ^Vmax sin yxdx =
t0
t
= -J exp(AT ^ - x))sin yXdXWmax = ©і (0Wmax ,
t0
?! = Ax + — BBT Zj(t)Rx(t0) + m
+ ^BB T ©i(^Wmax + Wmax Sin Yt •
2m
— для зависимости (11):
t
Z2 (w(t), t) = exp(AT (t - x))w(x)dx =
t0
t
= -J exp(AT ft - x))c(x)y(p)dx =
t0
t
= -J exp(A T ^ - x))c(x)dxy(p) = ф c2 ^)у(р),
t0
?! = Ax + — BBT Z^Rx^) + m
+t~bb T ф 2йу(p)+ФМp).
2m
3. Нестационарный объект управления
Пусть x = A(t)x + B(t)u + w(t) ,
где = I |a ij (^| 1 ,B^) = I |b j іЩ 1 - матрицы, эле-
менты которых непрерывно дифференцируемые на [t0,tj функции.
Тогда АУ получим в виде [6]:
Umax ПРИ ^ Umax ,
UW = < L“ (1) пРи - Umax < LHC M < Umax ,
- u max ПРИ “ u max ,
здесь LHC(t) = — BT(t)^(t) •
2m
*P + AT(t)^ = 2Rx + w(t) при ) = 0 .
Можно записать
x = A(t)x + -^B(t)BT(t)^ + w(t), (14)
2m
Y + A^t)*? + AT(t) = 2Rx + W при ^(ф) = 0 .
(15)
Умножая сопряженную СДУслева наматрицу—R 1
и последовательно подставляя результат в (14) и (15), получаем векторное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:
'Р + CjC (t)P + Cf(t)У = W + CjC(t)w(t)
при ) = 0, однородное решение которого получим в виде
т(0 = ФцОКМ ^Utj T,(t)| Ф22(4 T^tJ •
где C™ (t) = AT(t) - RA(t)R 1 •
CjC (t) = AT (t) - RA(t)R 1AT (t) - — RB(t)BT (t)
m
C^f t) = - RA(t)R 1 + 2R •
Y = T1, *P = 42 • Фij (t) - n x n - мерные матриЦы, i,j є [1,2].
Так какФп(^) = Ф 22(0 = I, Ф12(0 = Ф JO =
=O, (I и O — n x n -мерные единичная и нулевая
матрицы), ^(ф) = 0, то ^(to) = Y(t0) = 0.
Поэтому сопряженную СДУ можно записать в “прямом” времени:
ХР - AT(t)¥ = -2Rx(t0) - w(t) при Y( tj = 0, решение которой
A t) = 2ZHC( t)Rx(0 + ZjC( w(t),t),
t
где ZHC (t) = -Jx(t )к^(х )dx;
t0
t
Z 2C (w(t), 0 = -j ^(t )kJx )w(x )dx,
t0
X(t) — фундаментальная матрица решений сопряженной СДУ.
Тогда для открытой области
LHC (0 = TBT(t)Zr(t)Rx(t0) +
+-!-BT(OzhAWO O •
2m
x = A(t)x +—B(t)B T (t)ZjC (t)Rx(t0)+ m
+д—B^B4 0z jC (wto ^+WO-
2m
60
РИ, 2002, № 3
Учитывая (7)-(11), для открытой области получаем: — для зависимости (7):
t
Z“ (w(t), t) = -J ^(t )xBt)w( т )dx =
t0
t
= -J X(t (t)K(t)w(t0 )dx =
t0
t
= -J X(t )N_1 (M^xwfo) = ФГ (OM),
t0
x AO о x 1 кг( 0(0
w о P(t)|' w K 2C( MO
где кг (0 = -B(t)B T( t)zr (Or ,
1 w m
— для зависимости (11):
t
Z 2C (w(t), 0 = ^(t (t)^(^dx =
t0
t
= -J X(t )N_1 (Ф(тМр )dx =
t0
= -j X(t )K^ (ф(т )ixy(p) = Ф 2C Mp),
t0
X = A(t)x + — BM (t)Z “ (t)Rx(t0) + m
+ 2^ B(0B 4 Ф ГЙу(р) + MW.
2m
4. Выводы
кнс (0 = 2—B^B т^нс ^ ;
— для зависимости (9):
t
ZHC (w(t), t) = -J ^(t )xBt)w( x )dx =
t0
t
= -J X(t )К^ (t)wdx =
t0
t
= -J X(t )К^ (t)dxw = Z™ (t)w
t0
X = A(t)x + — BM (M (t)Rx(t0) + m
+2-B9b X tjzr (Ow+w;
2m
— для зависимости (10):
t
Z 2C (w(t), 0 = В t )К_1 (t)w( x)dx =
t0
t
= -JBt)N_1 (t^max sinyxdx =
t0
t
= -J Bt )ММ yTd™max = ®Г (0™-
t0
X = A(t)x + -1 BM (M (t)Rx(t0) +
'Wmax + wmax Sin УІ ;
m
+^-BtjB т (Р®гс (t)
2m
Сформулирован стохастический вариант задачи динамического синтеза для линейного (стационарный и нестационарный) объекта управления с аддитивным возмущающим воздействием. Получены выражения, описывающие движение синтезированных ОУ при различных видах задания возмущающего воздействия и являющиеся основой для разработки алгоритмического и программного обеспечения процесса проектирования исследуемых систем управления.
Литература: 1. Салуквадзе М.Е. Задача Летова о синтезе оптимальных систем автоматического управления. Тбилиси: Мецниереба,1988.286с. 2. Уланов Г.М. Динамическая точность и компенсация возмущений в системах автоматического управления. М.: Машиностроение, 1971. 260с. 3. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука,1972. 768с.4. Венцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерное приложение. М.: Наука, 1991. 384с. 5. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ, 1970. 117с. 6. Радиевский А.Е. Задача динамического синтеза // Информационно-управляющие системы на железнодорожном транспорте. 2001. №4.
С.49-51.
Поступила в редколлегию 17.01.2002
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кузнецов Б.И.
Радиевский Анатолий Евгеньевич, заведующий лабораторией Харьковского НИИ комплексной автоматизации (ХИКА) Минтопэнерго Украины. Научные интересы: теория оптимального управления, динамические задачи многокритериальной оптимизации. Адрес: Украина, 61003, Харьков, пер.Кузнечный, 2, тел. 20-8732, 20-86-34.
РИ, 2002, № 3
61
