Динамический синтез в общей проблематике современной теории управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 618.514.01:517.977.5

ДИНАМИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ В ОБЩЕЙ ПРОБЛЕМАТИКЕ СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

РАДИЕВСКИЙ А.Е._________________________

Исследуется задача динамического синтеза в аспекте современного этапа автоматизации технологических процессов, базирующаяся на положениях функционально-аналитического подхода решения экстремальных задач.

1. Введение

Характерной особенностью современного этапа автоматизации технологических процессов в таких областях как энергетика, машиностроение, металлургия, химия, нефтехимия, управление подвижными объектами, современные средства ведения вооруженной борьбы является оптимальная стабилизация основных режимных параметров. Последнее в значительной степени определяет качество, экономичность, надежность и безопасность функционирования как технологических процессов, так и основного технологического оборудования.Та-ким образом, в научно-техническом аспекте на современном этапе автоматизации определяющей является проблема динамического синтеза. Одной из задач общей проблематики динамического синтеза является задача синтеза системы управления (СУ) [1]. Исходя из технических, технологических и функциональных особенностей рассматриваемых технологических процессов, решение указанной задачи должно основываться на положениях прикладной современной теории автоматического управления [1], использование которых в процессе реализации процедуры динамического синтеза по -зволяет учесть фактор наличия средств вычислительной техники (СВТ) в структуре управляющего устройства (УУ) синтезированной СУ, а также ограниченность и замкнутость области определения задачи. Первый фактор выдвигает на первый план проблему обеспечения требуемой вычислительной производительности СВТ, что определяется возможностью использования при разработке математического обеспечения процедуры синтеза аналитических решений как основы алгоритмического, программного и технического обеспечения, а также вычислительных методов реального времени на этапе реализации синтезированных алгоритмов управления (АУ). Ограниченность и замкнутость области определения задачи является спецификой исследуемого класса задач, а ее конфигурация определяется техническими, технологическими и функциональными особенностями исследуемых объектов управления (ОУ).

2. Цель исследования

Целью настоящего исследования является разработка математического обеспечения процедуры ди-

намического синтеза с учетом положений современной прикладной теории автоматического управления.

3. Постановка и особенности задачи

Одним из методов, используемых при реализации процедуры динамического синтеза, является аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР) [1], которое может быть сформулировано следующим образом. На движениях ОУ

dx

— = F(x,u,p,w,t) (1)

dt

оптимизируется критерий качества ti

J(u) =J W(x,u,q,t)dt (2)

t0

при наличии ограничения

(x,u,p,w,t) є E (3)

и граничных условий

(x,to) Є Po,(x,ti) є Pi, (4)

где x = x(t) є En — состояние; u = u(t) є Er -управление; w = w(t) є Ew -возмущение; e — область определения задачи; En,Er,Ew —некоторые пространства; P; — многообразия, і є [0,1] ;

p є Ep = (p : |p| < pmax) — параметр ОУ (1);

q є Eq = (q: q < qmax) — параметр критерия качества (2); pmax = const > 0 , qmax = const > 0 — заданные числа; t e[t0,t1] c R1 — время, [t0,t1] — интервал управления, R1 — числовая прямая.

Одной из особенностей процедуры динамического синтеза в классе задач АКОР является необходимость выбора параметра q критерия качества (2 ) [1], что обуславливается следующим. Функционирование СУ, синтезированных в классе задач АКОР, оценивается посредством “вторичных” показателей качества [2]. Последние априори не могут быть учтены в исходной структуре критерия качества (2). Поэтому целесообразной является следующая процедура динамического синтеза [3]:

— определение структуры УУ при заданной структуре ОУ (1), критерия качества (2), ограничения (3) и граничных условий (4) (структурный синтез);

— в рамках синтезированного УУ выбор параметра q критерия качества (2), при значении которого движение синтезированной СУ при отработке требуемого задания удовлетворяет наперед заданным показателям качества (параметрический синтез).

В настоящее время при реализации процедуры структурного синтеза в задаче (1)- (4) используются принцип максимума, метод динамического программирования, метод введения новых переменных, применение которых предполагает необходимость привлечения численных методов. Невозможность реализации аналитического решения задачи структурного синтеза не позволяет реализовать решение задачи параметрического синтеза в плане

70

РИ, 2004, № 3

связи параметра q критерия качества (2) и “вторичных” показателей качества.

В настоящей работе исследование задачи (1)-(4) базируется на положениях функционально-аналитического подхода решения экстремальных задач

[4].

4. Структура алгоритма управления

Пусть E = Cn(t0,ti)хLr00(t0,ti)хЕw хЕp хЕq хR1,

где Cn (t о, ti) — пространство n -мерных непрерывных на [tо, ti ] функций x(t) c нормой INI = max|x(t)|, Vt є [to,ti]; L^(t0,t1) - пространство r -мерных существенно ограниченных на [to, ti ] измеримых функций u(t) с нормой ||u|| = vrai sup|u(t)|, Vt є [to, ti]; ew — пространство элементарных случайных функций вида w(t) = c(t)w , c(t) — координатная функция, w — случайная величина, принадлежащая счетному множеству [5]; u є U = (u: |u| < umax), umax = const > 0 — заданное число, intU ^0 ; x є Q = (x:|x| < xmax), xmax = const > 0 — заданное число, intQ ^0 ; x(t0) = x0, x(ti) = 0 ; ti — конечный, не фиксированный момент времени; (x 0, u0) — решение задачи (1)-(4).

Если множество пар вариаций (x, u), удовлетворяющих подынтегральному выражению критерия качества (2), принадлежит конусу убывания К 0 , то

функционал f0(x,u) є K 0 получим в виде

ti , ,

f0(x,u) = - J [W34(x0,u0,q,t),x + Wu(x0,u0,q,t),u]dt t0

где Wx (x0, u0, q, t), Wu (x0, u0, q, t) —производные в

точке (x0,u0) по xи u от W(x,u,q,t)соответственно; * — символ операции сопряжения.

Если Ki — конус возможных направлений в точке u0 и функционал fi(u) є K* , то fi(u) = (0,fi(u)), где fi(u) Є L^ (t0,ti) и является опорным к множеству U в точке u0 . Пусть Hi с E — множество пар вариаций (x, u), удовлетворяющих выражению

му, если функционал f2 (x, u) є H * , то f2 (x, u) = 0 , и если функционал f3(x,u) є H2 , то f3 (x, u) = (0, a), a є Rn , Rn — n -мерное евклидово пространство. Если K4 — конус возможных направлений в точке x0 и f4 (x) є K4 , то f4 (x) = (0, f4 (x)), где f4 (x) є Cn*[t0, ti ], и является опорным к множеству Q в точке x0. Тогда

4______

уравнение Эйлера запишем в виде £ f i(x,u) = 0

i=0

или, учитывая вид найденных функционалов f;(x,u),i є [0,4],

fi(u) = J [W;x(x0,u0,q, t), x + t0

+ Wu(x0,u0,q,t),u]dt + f4(x).

Пусть [4]

+ (F; (x0, u0, w, p, t))T T (t) = W; (x0, u0, q, t) dt

при T(ti) = 0 . (7)

Учитывая выражения (5)-(7), можно записать:

ti ,

J W;(x0,u0,q,t),;dt = t0

= J (^^ + (Fx (x0, u0, w, p, t))T T(t)),xdt =

t0 dt

= j1 ‘d“dtt), xdt + J1(F;(x0,u0,w,p,t))T T(t),xdt =

t0

t0

= T(t),x ti ,

ti ti dx

ti -I(^(t),-dL)dt +

t0 t0 dt

+ J (Fx(x0,u0, w,p, t))1 T (t),xdt =

t0

= - J (^(t) + J (Fx (x0, u0, w, p, t))T m xdt =

t0 dt t0

= - J T(t)[Fx (x0, u0, w, p, t), x + t0

— = Fx(x0,u0,w,p,t),x+Fu(x0,u0, w,p,t),u, x(t0) = 0 , dt

(5)

а H2 c E — x(ti) = 0, (6)

где Fx(x0,u0,w,p,t), Fu(x0,u0,w,p, t) — производные в точке (x0,u0) по x и u от F(x,u,w,p,t) соответственно.

Тогда Hi и H2 — подпространства, а касательное пространство K2 = Hi nH2 ,K2 = H* + H2 . Поэто-

+ Fu(x0,u0,w,p,t),H]dt +

ti

+ J (Fx (x0, u0, w, p, t)T(t), xdt = t0 ti

= -J(Fu(x0,u0,w,p, t))TT(t),udt. t0

ti

Тогда fi(E) = J [-(Fu (x0, u0, w, p, t))T T(t) + t0

+ Wu(x0,u0,q,t),u]dt + f4(x).

РИ, 2004, № 3

71

Так как множества и и Q являются выпуклыми телами [6], то для их крайних точек f (U) = signumax,

f4(x) = signx max , а для внутренних - fj(U) = 0 , f4(X) = 0 и управляющее воздействие определяется выражением

-(Fu(x0,u0,w,p,t))TT(t) + Wu(x0,u0,q,t) = 0 .

5. Структурый синтез

Пустьx = (x1,....,xn) — матрица-столбец n -мерного вектора фазовых координат, любая компонента которого xi, i є [1, n] может состоять как из одной фазовой координаты, так и представлять собой вектор; u = (u1,....,ur) — матрица-столбец r -мерного вектора управляющих воздействий, n > r ;

получаем векторное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:

О2 Т(.) + CidT(t) + С2 T(t) = dFw(t) + CjFw(t)

dt

2

dt

dt

при

Т(ti) = 0 ,

(11)

где с1 = (Fx(x0,u0,w,p,t))T -RFxR_1;

C2 = -RFxR_1 (Fx (x, u, w, p, t))T -- RFUM_1 (Fu (x0, u0, w, p, t))T; C3 =-RFxR_1 + 2R . Однородное решение уравнения (11)

4*1 (t) ®u(t)®12(t) 4*1 (t0)

^2(t) Ф 21(t)® 22 (t) ^2 (t 0 )

W(x, u,q, t) = xTRx + uTMu, R = diagram ,

M = diag||m; ^ ; F(x, u, w, p, t) = Fxx + Fuu + Fw (t).

Тогда АУ получим в виде [4] u(t) =

umax при L(t) — umax L(t) прИ — umax ^ L(t) ^ umax _ umax при L(t) — _umax

(8)

где L(t) = -2-М-1 (Fuu (x0, u0, w, p, t))T T (t),

dY(t)- + (F; (x0, u0, w, p, t))T T(t) = 2Rx + Fw (t)

dt

при

T (t1) = 0 .

(9)

Умножая выражение (9) слева на матрицу — R 1, получаем

— R _1 + -2r _1 (Fx (x0, u0, w, p, t))T T(t) -

2 dt 2 x

- ^R-1Fw(t) = x

(10)

dt

2

dt

dt dt

d^1(t)

Принимая во внимание выражение (10), можно записать

^ = !fxr+ [Ir _1 (F^ (x0, u0, w, p, t))T + dt 2 dt 2 x

+ -^FuM-1 (Fu (x0, u0, w, p, t))T ]T(t)+

+ (- |f>-1 + 1)Fw(t),

подставляя которое в выражение

d2Y(t) , (F- ( 0 0 t))T dT(t) dx , dFw(t)

- + (Fx(x ,u ,w,p,t)) —:— = 2R — +-

здесьT(t) = ^1(t), =T2(t); Фij(t) — nx n-

dt 2

мерные матрицы, i, j є [1,2].

Так как ®11(t1) = Ф 22 (t 1) = I, ®12(t1) = Ф 21 (t1) = O (i и O — n x n -мерные единичная и нулевая матрицы), а Y(t1) = 0 , то T1(t0) = Y(t0) = 0 . Поэтому сопряженную систему дифференциальных уравнений (СДУ) (9) можно записать [7] в “прямом” времени:

^2 - (Fx(x0,u°,w,p, t))T Y(t) =-2Rx(t0) - Fw(t) dt

при Y(t0) = 0 . (12)

nr

Пусть Fx = A = ||ajj |І1 , Fu = B = ||b ij || 1. Тогда решение СДУ (12) запишем в виде [8]

Т c (t) = 2ZC (t)Rx(t0) + Z2 (w(t), t)w и получим

Lc (t) = M -1BT (ZC (t)Rx(t0) + j Z2 (w(t), t)w), (13)

dx

dt

= Ax + Bsignumax + Fw(t) ,

^ = Ax + BM _1BT(ZC (t)Rx(t0) +

1 c

+ -Z2(w(t),t)w) + Fw(t),

x=(eAt + cc (t))^t^+(Cc2 (wo. 0+

T t T где ZC (t) = -eA t j e_A x

t0

+ CC(w(t), t))w . dx ,

(14)

72

РИ, 2004, № 3

T t t

Z2(w(t),t) = -eA t J e_A xc(x)dx

to

T t T

Cc(t) = eA t Je_A x(BM_1BTZ1c(x))Rdx to

C2 (w(t), t) = -eAATt J e_aTx (BM_1BtZ2 (w(x), x))dx 2 to

T t T

CC(w(t),t) = eA t Je_A xc(x)dx

to

Пусть Fx = A(t) =| |a;j(t)||n, Fu = B(t) = |ЬуД)Ц, где элементы матриц A(t) и B(t) — непрерывно дифференцируемые функции на [t 0, t1 ]. Тогда решение СДУ (9) запишем в виде [8]

Т нс (t) = 2ZHC (t)Rx(t0) + Zf (w(t), t)w и получим

LHC (t) = M-1BT (t)(ZHc (t)Rx(t0) +

+ -ZHC (w(t),t)w), dx

— = A(t)x + B(t)signumax + Fw (t) , dt

^ = A(t)x + B(t)M-1BT (t)(ZHc (t)Rx(t0) + dt

(15)

+ -Z2C(w(t),t)w) + Fw(t),

x = (X(t) + CH^t))x(t0) + (CHc (w(t), t) -

+ C™ (w(t), t))w .

(16)

где X(t) — фуцдаментаальная матрица решений,

t

ZHC (t) = -X(t) JX-1T(x)dx, t0

Z 2C (w(t), t) = -X(t)} X-1T (x)c(x)dx, t0 t

CHc (t) = X(t) JX_1 (x)(B(x)M_1BT (x)ZHc(x))Rdx, t0

1 t

C 2C (w(t),t) = — X(t) J X-1(x) X 2

2 t0

: (B(x)M_1BT (x)ZH° (w(x), x))dx ,

6. Параметрический синтез

Синтезированные СУ являются нелинейными. Процессы в нелинейных СУ обладают теми или иными особенностями, причем факт наличия или отсутствия этих особенностей является функцией, в частности, начальных условий [9]. Задача (1)-(4) сформулирована как задача синтеза АУ, доставляющего экстремум критерию качества (2) при любых начальных условиях. Поэтому задача параметрического синтеза может быть реализована в виде двухэтапной процедуры:

— построение желаемого процесса;

—выбор параметра q = q(ri,mj,i є [1,n], j є [1, r]) критерия качества (2) из условия его воспроизведения.

Качество функционирования СУ, синтезированных в классе задач АКОР, обычно оценивается одним из “вторичных” показателей качества при наличии ограничений на значения остальных. Поэтому желаемый процесс может быть задан в

виде СДУ

dx

dt

Aж x , где матрица Aж является

устойчивой, характеристические полиномы которых по каждой фазовой координате задаются в классе стандартных переходных характеристик. Последнее позволяет связать аналитической зависимостью требуемый “вторичный” показатель качества и параметр q = q(r, mj, i є [1, n], j є [1, r]) критерия качества (2). Вопрос о выборе степеней характеристических полиномов и значений их среднегеометрических корней решается исходя из свойств исследуемого ОУ и требуемых условий функционирования синтезированной СУ.

Желаемый процесс представляется в дискретном виде и в каждой точке разбиения вычисляются желаемые значения фазовых координат. На каждом отрезке разбиения реализуется оператор “элементарная операция” [10 ]. При этом предполагается, что величина параметра q = q(r, mj, i є [1, n], j є [1, r]) критерия качества (2) является постоянной на каждом отрезке разбиения фазовой траектории, а вид АУ определяется значением величины управляющего воздействия для правого конца отрезка разбиения в соответствии с зависимостью (8).

Для правого конца отрезка [x р, x р+Д разбиения фазовой траектории для выражений (14) и (16) соответственно можно записать

Cc(tp+1)Rx(tр) = x(tр+1) - eAtp+1x(tp), (17)

CHc (tp+1)Rx(tp) = x(tp+1) - X(tp+1 )x(tp). (18)

HC t _1 Подставив в системы уравнений (17) и (18) жела-

C3 (w(t)t) = X(t) J X ПМтДт . емые значения фазовых координат и решив их,

t0 получим значения элементов г; , i є [1, n] и m j , j є [1, r]

параметра q критерия качества (2). Если при найденных значениях элементов управляющее воздействие принадлежит открытой области, то най-

РИ, 2004, № 3

73

денные значения элементов остаются без изменения. В противном случае необходим пересчет.

Разобьем отрезок [x р, x р+1] фазовой траектории при помощи g точек, где g = n -1. Тогда для выражений (13) и (15) соответственно получим

u(t р) = M-1BTZj!(t р )Rx(t p_i),..,

u(tр) = M-1BТZf(tp )Rx(tП"1), (19)

u(t p) = M-1B Т (t p )Zfc (t p )Rx(t p_1),...,

u(tp) = M-1BТ (tp )Zfc (tp )R(tП-1), (20)

где в левой части (19) и (20) — значения величин управлящих воздействий, соответствующих области насыщения.

Подставив в системы уравнений (19) и (20) желаемые значения фазовых координат и решив их, получим значения элементов ц, і є [1, n] и m j, j є [1, r] параметра q критерия качества (2).

Проделывая аналогичную процедуру для каждого отрезка разбиения фазовой траектории, получаем закон изменения элементов ri, i є [1, n] и mj, j є [1, r] параметра q критерия качества (2) в процессе отработки синтезированной СУ требуемого задания.

7. Принцип реализации синтезированного алгоритма управления

Пусть x5K(tp) = x(tp) , xж(t1) = x(t1) . Тогда xж(t) = eA txж(tp) или xж(tp) = (eAtt)_1xж(t) .

Поэтому при x(t) = xж (t) для открытой области соответственно получим:

Lc (t) = M _1B Т Zc (t)R(e AЖt)_1 x +

+ :1M_1BTZ2(w(t),t)w,

LHC (w(t), t) = M ^B1" (t)ZHc (t)R(eAЖt)_1 x +

+ -1m_1 B t (t)Z Hc (w (t), t)w ,

-dt- = (A + BM _1BTZc (t)R(e Аж t) _1)x +

+±BM-1BTZ2(w(t),t) + Fw(t),

— = (A(t) + BM _1BTZ2 (w(t), t)R(e Аж t)_1 )x + dt 2

+ jB(t)M-1BT (t)ZHc (w(t), t) + Fw (t).

8. Заключение

Проанализированы особенности современного этапа автоматизации технологических процессов, связанные с требованием оптимальной стабилизации основных режимных параметров. В классе задач АКОР сформулирован стохастический вариант задачи динамического синтеза для объекта с векторным управлением. Проведенное исследование для сформулированного класса задач позволило получить следующие новые результаты, имеющие научное и прикладное значение:

— на основании исследования множества допустимых управлений показано, что синтезированный АУ относится к классу нелинейных, предельнолинейного типа;

— получено аналитическое решение задачи структурного синтеза, что позволило задачу параметрического синтеза реализовать на основе метода “обратных задач динамики” и, как следствие этого, связать аналитической зависимостью параметры оптимизируемого критерия качества (2) и “вторичные” показатели качества;

— показано, что синтезированный АУ реализуется в виде обратной связи по фазовым координатам.

Практическая значимость результатов исследования определяется возможностью их использования в качестве математического обеспечения при проектировании СУ на современном этапе автоматизации технологических процессов.

Литература: 1. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712с. 2. Летов А.М. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. 360 с. 3. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления: Пер. с англ. М.: Наука, 1972. 576 с. 4. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ, 1970. 117 с. 5. Венцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерное приложение. М.: Наука, 1991. 384с. 6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. 496 с. 7. АрнольдВ.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971. 240с. 8. Радиевский А.Е. Задача динамического синтеза при векторном управлении // Радиоэлектроника и информатика. 2003. №4. С.57-60. 9. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М.: Наука, 1973. 584с. 10. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.488с.

Поступила в редколлегию 16.04.2004

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кузнецов Б.И.

Радиевский Анатолий Евгеньевич, заведующий лабораторией Харьковского НИИ комплексной автоматизации (ХИКА) Минтопэнерго Украины. Научные интересы: математическая теория экстремальных задач, динамические задачи многокритериальной оптимизации. Адрес: Украина, 61003, Харьков, пер. Кузнечный, 2, тел. 20-87-32, 20-87-89.

74

РИ, 2004, № 3