Гармонический осциллятор как объект управления в задаче динамического синтеза. II Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК618.514.01:517.977.5

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР КАК ОБЪЕКТ УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ДИНАМИЧЕСКОГО СИНТЕЗА. II

2. Постановка и особенности задачи

На движениях ОУ

— = А x + Bu (1)

dt V ’

необходимо определить алгоритм управления (АУ),

РАДИЕВСКИЙ А. Е.____________________________

В классе задач аналитического конструирования оптимальных регуляторов исследуется задача динамического синтеза для гармонического осциллятора как обьекта управления. Исследование базируется на положениях теории экстремальных задач.

1. Введение

Развитие механики тесно связано с изучением маятника и маятниковых систем [1]. За более чем 300 лет, прошедших со времени, когда Г алилей обратил внимание на изохронность колебаний маятника, ни одной механической системе не было уделено столько всестороннего теоретического внимания, как маятнику [2]. Маятник и маятниковые системы постоянно привлекали к себе внимание исследователей в различных областях математики, механики, физики и техники. Уравнение движения маятника является одним из фундаментальных, описывая широкий класс колебательных процессов. В силу своей простоты маятник служил хорошей моделью для изучения сложных динамических процессов[3], что позволяло проводить экспериментальную проверку различных теоретически обнаруженных колебательных эффектов, значительно расширить область применения маятниковых моделей для математического описания колебательных процессов. Одной из разновидностей многообразия моделей маятниковых систем является математическая модель гармонического осциллятора. Интерес к изучению названной модели обьясняется тем, что, с одной стороны, можно провести исследования общетеоретических положений[4], а с другой -возможно их использование при изучении конкретных маятниковых систем [5]. В настоящей работе рассматривается задача динамического синтеза для линейной модели гармонического осциллятора с демпфирования как объекта управления (ОУ). Задача динамического синтеза для названного ОУ исследовалась, например, в [5-9], где в [5] исследование базируется на вариационных методах, в [6]- на асимптотических методах, в [7] -из условия минимума гамильтониана, в [8,9] - на графических методах. В настоящей работе для рассматриваемого ОУ исследуется процедура динамического синтеза в классе задач аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР).

Целью настоящего исследования является разработка математического, алгоритмического и технического обеспечения процедуры проектирования для исследуемой задачи динамического синтеза.

который доставляет экстремум критерию качества

t1 т 2

J(u) = j (xRxт + mu2)dt (2)

t0

при ограничении

u Є и = (U : |u| < umax) (3)

и граничных условиях

x(t0) = X0,x(t1) = 0. (4)

Здесь x = (x1,x2) є Q c Cn(t0,t1)- состояние, Q = (x: |x| < xmax), int Q Ф0,0 - пустое множество; Cn (t0, t1) - пространство n -мерных непрерывных на [t0,tj функций x(t) с нормой

l|x(t)|| = max|x(t)|, Vt є [^и] c R1;

А =

a0 = а2 + ю2, a1 = 2а , а - коэффи-

01

-a0 -a1

циент демпфирования, ю -собственная частота; 0

В =

k

, k-коэффициент усиления ОУ(1); x(t0) єХ0 = (x(t0) : |xM ^ xmax(t0))

intX0 Ф0 ; u є И с Lr00(t0,t1) - управление,

ЬГоо(t0,t1) - пространство r-мерных, существенно ограниченных на [%И] измеримых функций с нормой ||u(t)|| = vraisup|u(t)|,Vt є [t0,tjc R1, int И ^0 ;

R = diagri If , ri є G1 = (ri : |r^ < rimax), int G1 ^0 ;

m є G2 = (m: |m| ^ mmax) - число, int G2 ^0 ;

t є [t0,tj c R1 - время, [t0,tj - интервал управления, R1 - числовая прямая; t1 - конечный, не фиксированный момент времени; т - транспонирование;

xmax, umax, xmax(t0) , rimax, mmax - заданные числа, величины которых определяются исходя из технологических особенностей функционирования исследуемого ОУ(1).

Для задачи (1)-(4) можно исследовать два случая [7]: a0 = (а 2 + ю2), a1 = -2а (устойчивое решение) и a0 = +(а2 + ю2), a2 = -2а (неустойчивое решение).

60

РИ, 2007, № 4

Тогда для матрицы A корни ее характеристического уравнения получим в виде: устойчивое решение -

Xj 2 = -а + jo ; неустойчивое решение - Xj 2 = а + jo .

Характерной особенностью исследуемой задачи является то, что она относится к классу колебательных динамических задач, процедура проектирования которой реализуется в классе задач АКОР. Одной из проблем, связанных с общей проблематикой динамического синтеза в классе задач АКОР, является проблема выбора параметров r;,i є [і,2] матрицы R и m критерия качества (2), при значениях которых процесс отработки задания синтезированной системой управления (СУ) удовлетворяет требуемым, наперед заданным показателям качества[10].

3. Структурный синтез

АУ получим в виде [10]

u(t) =

Umax при L(t) > Umax;

L(t) , при _ Umax ^ L(t) ^ U

_ U max при L(t) — _Umax,

1 т t —B7’K(t)Rx(t0), K(t) = eA t f e'

m 0

max; (5)

Мт.

Тогда для открытой области соответственно получим

Ьуст. (t) = -—втКуст. (t)Rx(t0) • m

ьнеуст ^) = - - Вт^неуст. (t)Rx(t0) m

здесь

куств) = Nj^t) , Кнеуст(В = к1н'еуст. (t)

1

U

22

уст._ 2а ( e_at(2acosot i (a -о )sinot4

N11 () _ 2 . 2 + e ( 2 .2 + ( 2 , 2Л ), а + Ю а ю(а + Ю )

куіт. (t) =-—1—-(і - e at(cos ot + — sin ot)

a2 +02 ю

^(t) = і - e at(cos ot +—sin ot).

і

a . __<

Ку2т' (t) = — e at sin ot,

22

Ч*неуст.(+Л _ 2a eat(2acos®t (а -ю )sinшЦ

*Ч1 (t) _ 2 2 e ( 2 2 2 2 ) ,

22 a 2 + ю2

22 a 2 +ю2

2 2

ю(а +ю )

кнеуст. (t) _---- (1 _ eat(cosot- — sin ot)

21 a2 +02 Ю

т

2

1

K^B) = 1 - eat(cos otsin ot), N-^t) = --e atsin ot.

Учитывая вид и порядок соответствующих матриц, можно записать

U уст. (t) = - к[иуст. (t)X1 (t0) + иуст. (t)X2 (t0 )]-

РИ, 2007, № 4

= -к[ку!т. (t) m X1(t0)+k у2т. (t)^2 X2(t0)], (6)

mm

и неуст (0 = -к[инеуст. (t)x1 (t0) + U 2еуст. (t)x2 (t0)]-

= -k[K

неуст.

21

(t)^1X1(t0)

m

+ K

неуст.

22

(t)-r2X2(t0)]. (7) m

Видно, что для открытой области управляющее воздействие изменяется во времени по закону синуса и косинуса.

4. Топологические особенности исследуемой задачи

Множество Е = Q х U х X0 х G1 х G2 х R1, являющееся областью определения задачи (1 )-(4), представляет собой выпуклое тело[11] . В силу основной теоремы отделимости[12] его можно представить в виде

Е = Е1 + Е2, где Е1 -множество, задающее область определения задачи (1)-(4) при а> 0 (область устойчивого равновесия), Е 2 - при а< 0 (область неустойчивого равновесия) , а через точку а = 0 можно провести гиперплоскость, которая разделяет множества Е1 и Е2. В силу выражения (5) каждое из

множеств Ei,i є [1,2] состоит из двух подмножеств, определяющих открытую область и область насыщения. Тогда [13] фазовая траектория в задаче (1)-(4)

может двигаться только из области Е1 в область Е2

или наоборот, а в каждом из множеств Ei, i є [1,2] существует непрерывное продолжение в область насыщения.

5. Исследование синтезированного алгоритма управления

Структурная схема управляющего устройства (УУ), реализующая АУ (5), может быть представлена в виде последовательного соединения двух звеньев: линейного b(t) и нелинейного элемента (НЭ) типа “насыщение” [14]. При постоянстве матриц A и B ОУ (1) изменения АУ (5) пропорциональны изменениям элементов

-Ц i є І1,2], критерия качества (2), которые могут

быть классифицированы как управляющие параметры синтезированного УУ [14]. При этом изменения параметр а m эквивалентны изменениям наклона характеристики НЭ в начальной точке и характеризуют изменения коэффициента усиления НЭ.

Введем в рассмотрение следующие обозначения размерностей: [Pj ] - управляющее воздействие, [Р2 ] -

фазовая координата Х1 (t),

фазовая коорди-

ната X2(t), [с] -время.

и a

коэффициент к, 61

Тогда из выражений (6) и (7) получим [іі]усІ- = [г2]уст • = [rj”eycl- = [r2feycT- =

[m]уст- = И

Інеуст. _

= М.

Уравнения движения синтезированной СУ запишем в виде [14]

^Хуст^ = Ауст (1)хуст (1) +Bsignumax , dt

dXн!X'(t) = АИеуст.(t)xнеус"(t) + Bsignumax , dt

dxycT(t)

dt

= A уст' (t)x уст' (t) -

і

----BB Ткуст- (t)Rxуст' (t0),

m

dx неуст(И dt

AHеyст•XНеуст. (t) _

- — BB^^ (t)Rxнеуст. (t0). m

Для открытой области можно записать

dx уст(И dt

A ^'(Ox уст' (t)'+Bu уст(П,

dx неуст' (t)

d^u = Aнеуст' (t)xнеуст' (t) + Buнеуст' (t),

применив преобразование Лапласа к которым получим передаточные функции:

X уст(р) = хуст(р)Х2уст(р) =

хус, J хурм ху2т(р)

1 хуг(р) Xур(р) ■

X неуст(р) = Хнвус,(р)Хн'ус,(р) =

_хнеуст (4 ХнГ(р) хн|у'т (р)

1 11 X ;г (р) X ;г(р) •

где

ху“(р)

________k________

р2 + р2а + (а2 + ю2) •

Х^^р)

________k________

р2 - р2а + (а2 + ю2) •

ХуГ(р)=Х,"ус'-(р) = £ • хур(р)=хн2'у“(р) = 0 • х2Т(р)=-k.r (р) • х“уст(р)=-ku 2'ус'(р) •

X ур (р)=—k^i 2ст (р)+2 х;2уст- (р)=-ku ;еуст(р>+і,

р - независимая переменная изображения .

Проведя необходимые структурные преобразования, а также принимая во внимание вид синтезированного АУ (5), передаточные функций синтезированной СУ получим в виде

х уст(р) = хОУ(р)х ИМ(р)х УПч (р) •

х неуст(р) = х ОУст(р)х ИМустЧ^)хУе1уЧт(р) •

где X уУХр) = хуст(р),х Оеуст(р) = хнеуст(р) - передаточные функции исследуемого ОУ;

х ИМ(р)=хЕ“(р)= р Fro - передаточные функции исполнительного механизма (ИМ), ^нэ - НЭ типа

“насыщение”; хУсПч(р) = 2Хуст , хУеуЧЕ (р) = 2Хнеуст

i=3 i=3

- передаточные функции усилительно-преобразовательных частей (УПЧ),

Хуст' (р) = Хуст(р) = х неусту0 = X неуст(0 = ^

k

хуст(р) =

х 4еуст(р) =

kr>

о 9

(р + tt) + Ю 5

k2ri л

(р-а)2 +ю2 • 5

хуст(р) =

крг2

9 9

(р + tt) + Ю 5

хнеуст(р) =

крг2

9 9

(р-а)2 + ю2 ’

6. Энергетические процессы в исследуемой системе управления

Решение системы дифференциальных уравнений (СДУ) для открытой области запишем в виде

x(t) = (xGR(t) + x^(ИЖ^) = (eAt - k2K(t)R)x(to) •

где e

At

aii(t)ai2(t)

a2i(t)a22(t)

, K(t) = e At J e “Ax BBTK(x)dx.

0

Тогда

xуст (t) = [[eAt ]уст- - k2Kуст- (t)R] xуст- (t0) •

K устИ) =

Kf(t)

22 , [e^F" = a^--

= e

-at

. a .

(cos rat H— sin rot)

ro

i .

— Sin rot

Ю

22 + ro .

(------)Sin rot (cos rot-Sin rot)

Ю Ю

62

РИ, 2007, № 4

, уст . . k2e at r d-a2 + ю2) kfCT- (t) = — ------— [t(--------^—- cos rat +

(a 2 + ю2)

2ю

2

a . , (a2 -2aro2 + ю2) .

H---sin rot) H------------2----------sin rot +

Ю ro2

2 2 2 a2 a2 +rov,

+ —2 cos rot------2—]

ro2 ro2

kVat r ,a

kyCT (t) =-------[t(—cos rot - sin rot)-2 sin rot]

2ro ro ”2 ’

a

, уст ^ k2e at r .a

kiT (t) =-----[t(—cos rot - sin rot) -

2ro ro

a(4a-1) . 2a a

------2—sin rot----cos rot---2],

2ю2 ю 2ro2

2 1 2

ky2T (t) = k2e_att(-——2~—) cos rot

2гоґ

xHeyCT(t) = [[eAt]HeycT' -k2KHeycT (t)R] xHeycT'(t0) ,

K HeycT(t) = KHeycT-(t)

r-Ab HeycT. _ L HeyCT.

1’[e ] ■ In 111

= e

. a .

(cos rot------sin rot)

ro

1

— sin rot

ro

(-

22 a 2 +ю 2

ч • . a .

)sin ®t (cos ®t + — sin ®t)

k HeyCT. (t) k e [t((_a +ГО ) ,

kuy (t) =—--------— [t(------;—-cosrot -

(a2 +ro2)

2ro2

a . _ (a2 -2aro2 +ro2) .

----sin rot) H------------2---------sin rot -

Ю ro2

да коэффициет' полeзного дeйcтвия опрeдeляeтcя выражeниeм

- T +П 1

T + П + W " 1 + W T + П

yCT. _

1

1—

4a] (x2(x)) yCTdx 0

HeycT. _

1+-

(x2(t))yCT. + (a 2 +ГО 2)(x2(t))yCT. _______________1_________________

4aJ(x2(x)) HeyCTdx 0

(x2(t))HeyCT. + (a 2 +ro 2)(x2(t))HeyCT.

гдє

и

(x2 (t))yCT = ((a21(t))yCT. - 2k2a1yCT(t)KyCT(t)r1 +

+ k4(K2J1(t))yCT r12)(x2(t0))yCT. + ((a22(t))yCT. -- 2k2aУCT'(t)KУ^;T'(t)r2 + k4(K22(t))yCT r22)(x2(t0))yCT., (x2(t))yCT- = ((a21(t))yCT. - 2k2ay1T(t)K2y1T(t)r1 +

+ k4(K21(t))yCT r12)(x!2(t0))yCT. + ((a22(t))yCT. -- 2k2ay2T- (t)^' (t)r2 + k4 (K 22 (t))yCT r22 )(x2 (t0))yCT, (x2(t))HeyCT. = ((a21(t))HeyCT. -2k2aHeyCT (t)KH1eyCT (t)r1 +

2 ,2 2 , 2

a 2a .2 -a+ю 2n

---2 cos rot л-— sin rot----2----cos rot] ,

ro2 ro2 ro2

k2at

k H2yCT. (t) =---[t(- — cos rot - sin rot) + -2T sin rot]

2ro ro ro2

. 2e-at

k^' (t) =--------[t(— cos rot - sin rot) -

2ro ro

a(4a -1) . 2a a ,

-------2—sin rot------cos rot-2],

2ю2 ю 2ro2

+ k4(K21(t))HeyCT r2)(x2(to))HeyCT' + ((a?2(t))HeyCT' -

- 2k2a1H2yCT(t)K1H2eyCT(t)r2 +

+ k4(K22(t)) HeyCTr22)(x2(to))HeyCT-, (x2(t))HeyCT- = ((a 21(t))HeyCT' - 2k2a21yCT'(t)K21yCT'(t)r1 +

+ k4(K21(t))HeyCT r2)(x2(to))HeyCT' + ((a22(t))HeyCT' -

, HeyCT „ 4 keat(a2 + ю2)г, 1 .

k 22y T' (t) =-2-------- [t(- cos rot л— sin rot)]

22 2ro2 ю

Для исслєдуємой задачи (1)-(4) прeдcтавляeт интeрec

[15] определеше оцeнки экономичноcти процecca OTpa6oTKH cинтeзиpовaнной СУ Tpe6yeMoro задашя' Поcлeднee можeт 6ьпъ реализоваш поcpeдcтвом ко-эффициет'а полезного действия [16]

Подводимая Ha отpeзкe упр aвлeния энepгия определя-eтcя выражеыием Э = Т + П + W, гдє Т = 0Jx2 - ки-нeтичecкaяэнepгия, П = 0'5a0x2 - потeнциaльнaя эшр-гия, W = 0'5ajx2 - шобратмые потepи эшргии' Тог-

- 2k2a 22yCT'(t)KHeyCT'(t)r2 +

+k4(K22(t)) HeyCTr2)(x2(to))HeyCT-.

7. Заключение

В классе задач АКОР исследоваш задача дишмичес-кого сишеза для гapмоничecкого осциллятора с дем-пфиpовaниeм как ОУ'

Пpовeдeнноe исследоваше позволило получигъ следующие новые результаты, имеющие научное и прикладное значение. Практическая значимость результатов исследовашя определяется тем, то в рамках задашой топологии приведеш:

РИ, 2007, № 4

63

- решение исследуемой задачи для двух возможных равновесных состояний (устойчивое и неустойчивое) исследуемого ОУ;

- исследование топологических особенностей движения исследуемой СУ;

- аналитическое решение задачи структурного синтеза, что позволило сформировать математическое, алгоритмическое и техническое обеспечение процедуры проектирования;

- энергетические особенности процесса отработки синтезированной СУ требуемого задания;

- определение размерностей управляющих параметров, а также установление их связи с параметрами исследуемого ОУ.

Практическая значимость результатов исследования определяется возможностью их использования в качестве основы при реализации технической и программной составляющей процедуры проектирования

СУ.

Литература: 1. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.:Наука,1978.470с. 2. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом // УФН. 1951. Т.54. Вып.1. С.7-20. 3. Лойцянский Л.Г, Лурье А.И. Курс теоретической механики, т.2. М.: Гостехиздат, 1954. 595с. 3. Швец А.Ю. Детерминированный хаос сферического маятника при ограниченном возбуждении//УМЖ. 2007. Т.59, №4.С.534-548. 4. Стрижак Т.Г. Методы исследования динамических систем типа “маятник”. Алма-Ата: Наука, 1981. 251с.

5. Божко А.Е. Синтез оптимального управления в исследовании колебательных систем . Киев: Наук. думка, 1990.

164с. 6. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы в нелинейной механике. М.: Наука, 1969. 380с. 7. АтансМ, Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968. 764с. 8. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин В.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. 568с. 9. Магнус К. Колебания. Введение в исследование колебательных систем. М.:Мир,1982,303с. 10. Радиевский А.Е. Динамический синтез в общей проблематике современной теории управления // Радиоэлектроника и информатика. 2004. .№3. С.70-75. 11. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функциональный анализ. М.: Наука, 1968. 496с. 12. Рокафеллер Р.Т. Выпуклый анализ. М.: Мир,1973. 469с. 13. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 472с. 14. Радиевский А.Е. Функционально-аналитический метод синтеза детерминированного регулятора / / Оптимизация электромеханических систем с упругими элементами. Харьков: ИМиС, 1995. 15. Радиевский А.Е.. Енергетичні аспекти задачі О.М. Летова // Обчислювальна та прикладна математика. 1992..№76. С.87-90. 16. Пономарев В. М. Энергетические характеристики процессов управления в системах автоматического регулирования // Изв. АН СССР. Энергетика и автоматика. 1959. .№6. С.134-140.

Поступила в редколлегию 18.12.2007

Рецензент: д-р техн.наук, проф. Кузнецов Б.И.

Радиевский Анатолий Евгеньевич, канд.техн.наук, с.н.с.,заведующий лабораторией Харьковского НИИ комплексной автоматизации (ХИКА) Минтопэнерго Украины. Научные интересы: математическая теория экстремальных задач, динамические задачи многокритериальной оптимизации. Адрес: Украина, 61003, Харьков, пер. Кузнечный,2, тел. 7313567, 7314180.

64

РИ, 2007, № 4