Задача динамического синтеза для гармонического осциллятора с двумя управляющими воздействиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМЫ И

ПРОЦЕССЫ

УПРАВЛЕНИЯ

УДК618.514.01:517.977.5

ЗАДАЧА ДИНАМИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА С ДВУМЯ УПРАВЛЯЮЩИМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ

РАДИЕВСКИЙ А.Е.__________________________

В классе задач аналитического конструирования оптимальных регуляторов исследуется процедура разработки математического обеспечения задачи динамического синтеза для линейной модели недемпфированного гармонического осциллятора с двумя управляющими воздействиями как объекта управления. Исследование базируется на положениях теории экстремальных задач.

1. Введение

Развитие механики тесно связано с изучением маятника [1]. Интерес к изучению маятника объясняется тем, что он был той математической моделью, при посредстве которой удалось проникнуть в различные аспекты теории колебаний, решить многие вопросы теории колебаний для объектов различной физической природы [2]. Последнее позволило понять и сформулировать основные законы механики [ 1 ]. Одной из разновидностей многообразия маятников является недемпфированный гармонический осциллятор с двумя управляющими воздействиями. Задача динамического синтеза для гармонического осциллятора с двумя управляющими воздействиями исследовалась, например, в [3,4]. В [3] для рассматриваемой задача на фазовой плоскости исследуется линейная задача оптимального быстродействия. При этом первоначально реализуется синтез оптимальных траекторий, а затем при помощи аффинного преобразования - синтез оптимальных управлений. В [4] рассматривается уравнение движения вращающегося космического летательного аппарата с одной осью симметрии. Показано, что математическая модель последнего может быть представлена в виде линейной модели недемпфированного гармонического осциллятора с двумя управляющими воздействиями. На основе анализа гамильтониана в задаче линейного быстродействия получены необходимые условия оптимальности, которым должно удовлетворять оптимальное управление. В настоящей работе для недемпфированного гармонического осциллятора с двумя управляющими воздействиями как ОУ исследуется процедура динамического синтеза в классе задач аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР).

Целью настоящего исследования является разработка математического обеспечения процедуры структурного и параметрического синтеза для линейной модели недемпфированного гармонического осциллятора с двумя управляющими воздействиями как ОУ.

2. Постановка и особенности задачи

Уравнение движения недемпфированного гармонического осциллятора с двумя управляющими воздействиями как ОУ можно записать в виде [4]

— = A x + В u (1)

dt ’ У ’

где x = (x1, Х2) - матрица-столбец вектора фазовых координат; u = (u1, U2) - матрица-столбец вектора уп-

Ц(т)"2

равляющих воздействий; A = ||a

І(ю)і1

постоянная

матрицами = a22 = 0, a12 = ю, a21 = -ю, ю> 0, корни характеристического уравнения которой Xi =±j©,i є [l,2]; В = І|Ъц||2 - постоянная матрица-столбец, Ъп = b21 = k, k - коэффициент усиления ОУ.

Задача динамического синтеза в классе задач АКОР для ОУ (1) может быть сформулирована следующим образом. На движениях ОУ (1) необходимо определить алгоритм управления (АУ), который доставляет экстремум критерию качества

J(u) = J (xRxT + mu2 )dt t0

(2)

при наличии ограничения

u є U = u:|u| < umax и граничных условий

x(t0) = X0,x(t1) = 0,

(3)

(4)

где R = diag||ii ||2 ; m - число; umax - заданное число;

t1 - конечный, не фиксированный момент времени; т - транспонирование.

3. Структурный синтез АУ получим в виде [5]

umax , при

L(t) , при

- umax , при

L(t) — umax;

— umax < L(t) < umax; L(t) < -umax,

(5)

где L(t) = 0.5m 1BTT(t), T(t) является решением системы дифференциальных уравнений (СДУ)

= AT T(t) - 2Rx(t0) при Y(t0) = 0, dt

решение которой

РИ, 2006, № 4

21

T t t

T(t) = -2eA t J e-A TdxRx(to) = -2K(t)Rx(to).

Тогда для открытой области получим

L(t) = 0.5m-1BTY(t) = -m-1BTK(t)Rx(t0),

1 .

где

N(t) = у ij (t) I , Yii(t) = Y 22(t) = - sin rat; її j in ra

Y12(t) = —1 + —cosrat y21(t) = --cosrat

ra ra ’ ra ra

Учитывая вид и порядок соответствующих матриц, получим

u(t) = -

k(u1 (t)X1 (to) + u2 (t)X2(to)) k(u2(t)X1(to) + u2 (t)X2 (to ))

1 Г 2 Г2

здесь u1(t) = Y11(t)—, ui (t) = Y12(t)_2, m m

1 Г1 2 Г2

u2(t) = Y21 (t) ~1 , u2(t) = Y22 (t) —2 .

mm

4. Структура синтезированного управляющего устройства

Уравнения движения синтезированной системы управления (СУ) запишем в виде

dX = Ax + Bsignumax ,

dt

d-t- = Ax - m 1BBTK(t)Rx(to). Для открытой области можно записать dx1

dt

dx2

o ra x1 k(u1 (t)x1 (to) + u2 (t)x2 (to ))

-ra o x2 k(u2 (t)x1 (to) + u2 (t)x2 (to ))

dt

применив преобразование Лапласа к которой, получим

x1 (p) k -— ku1(p) -ku^p) k x1(to)

x2(p) 22 p2 +ra2 1 1 2 - ku2(p) --ku2(p) x2(to)

или передаточную функцию X(p) = X1(p)X2(p) = Х1 (p)

Xu(p) X12(p) X21(p) X22(p)

где p - независимая переменная изображения.

Проведя необходимые структурные преобразования, окончательный вид передаточной функции синтезированной СУ для открытой области получим в виде

где X оу (p) =

X(p) = X ОУ (p)X УПЧ (p)

k

2 2 p2 +ra2

- передаточная функция ОУ

(1); XУПЧ (p) = x3(p) + x4(p) + x5(p) + x6(p) -передаточная функция усилительно-преобразователь-

ной части,

X3(p) = X6(p) = -1, X4 (p) = - k(^ + Pf2 21} + ra) ^

k ra(p2 +ra2) m

X5 (p) =

k(p3 + p(ra2 -1)-ra) Г2

ra(p2 +ra2)

m

(6)

5. Качественное исследование синтезированного алгоритма управления

Структурная схема управляющего устройства, реализующая АУ (5), может быть представлена в виде последовательного соединения двух звеньев: линейного L(t) и нелинейного элемента (НЭ) типа “ насыщение” [б]. При постоянстве элементов матриц A и в ОУ (1) изменения АУ (5) пропорциональны изменениям

параметров —, i є [д,2 ] критерия качества (2), которые могут быть классифицированы как управляющие параметры синтезированного управляющего устрой-тва. Кроме того, в[6]показано, что изменения параметра m критерия качества (2) эквивалентны изменениям наклона характеристики НЭ в начальной точке и характеризуют изменения коэффициента усиления НЭ.

Пусть [x1 ] = [x2 ] =

pag

cek

- размерности фазовых ко-

ординат; [u1 (t)] = [u 2 (t)] = [h • cek] - размерности уп-

pag

равляющих воздействий; [k] =

L H • cek

ность коэффициента усиления ОУ; [ra] =

размер-

pag

cek

[4].

Тогда из выражений для управляющих воздействий получим

[m] =

H • cek pag

= [k], [Г1 ]=[Г2 ] =

1

pag H • cek

1

k • cek

6. Параметрический синтез

Параметрический синтез рассматривается как задача такого выбора управляющих параметров —, i є [1,2 ],

m

при значении которых в процессе отработки требуемого задания обеспечивается устойчивое с наперед заданными показателями качества движение синтези-

22

РИ, 2oo6, № 4

рованной СУ. Синтезированная СУ является нелинейной. Процессы в нелинейных СУ обладают теми или иными особенностями, причем факт наличия или отсутствия этих особенностей является функцией, в частности, начальных условий [7]. Задача (1)-(4) сформулирована как задача синтеза АУ,

доставляющего экстремум критерию качества (2) при любых начальных условиях. Качество функционирования СУ, синтезированных в классе задач АКОР, обычно оценивается одним из “ вторичных” показателей качества при наличии ограничений на значения остальных [8]. Исходя из концепции двухэтапности реализации параметрического синтеза (построение желаемого процесса и выбор управляющих парамет-

ров —, і є [l,2 ] из условия его воспроизведения [5]), желаемый процесс может быть задан в виде СДУ

dxж

dt

= Aж x, где xж = (xf ,xf) - матрица-столбец

вектора желаемых значений фазовых координат; мат-

рица Aж =

aj(n 0)

является устойчивой, характе-

ристический полином которой задается в классе стандартных переходных характеристик, а его корни являются функцией среднегеометрического корня Q 0 [9]. Последнее позволяет связать аналитической зависимостью требуемый “ вторичный” показатель качества

и управляющие параметры —, i є ІЛ2 ]. Желаемый

процесс представляется в дискретном виде и в каждой точке разбиения вычисляются желаемые значения фазовых координат. На каждом отрезке разбиения фазовой траектории реализуется оператор “элементарная операция” [10]. При этом предполагается, что на каждом отрезке разбиения фазовой траектории:

2

- величины управляющих параметров —, і є[ 1,2 ]

являются постоянными;

- вид АУ определяется значением величины

управляющего воздействия для правого конца отрезка разбиения в соответствии с зависимостью (5).

Решение СДУ (6) запишем в виде

2, t

1

k12(t) = -k2(—cos rat-2 sin rot)

2t

1

k21(t) =-k (---cos rot +—2sinrot)

ro ro2

Для правого конца отрезка [x р,x р+1] разбиения фазовой траектории для выражений (7) можно записать

m

-1

K(t р+1)Rx(t р) = x(t р+1) - C(t р+1)(t р). (8)

Подставив в систему линейных уравнений (8) желаемые значения фазовых координат и решив ее, получим значения управляющих параметров —, і є [1,2 ]

для исследуемого отрезка разбиения фазовой траектории. Если управляющее воздействие при найденных значениях управляющих параметров —, і є[і,2 ]

принадлежит открытой области, то они остаются без изменения. В противном случае необходим пересчет. Разобьем отрезок [xр, x^ ] фазовой траектории пополам. Можно записать систему уравнений

u(tр+1) = m-1BTK(tр )Rx(tр),

u(t р+1) = m-1B TK(t р )Rx(t рр),

(9)

где в левой части значение управлящего воздействия соответствует области насыщения.

Подставив в систему линейных уравнений (9) желаемые значения фазовых координат и решив ее, получаем значения управляющих параметров —, і є [ 1,2 ]

для исследуемого отрезка разбиения фазовой траектории. Проделывая аналогичную процедуру для каждого отрезка разбиения фазовой траектории, получаем закон изменения управляющих параметров

—, і є[ 1,2 ] в процессе отработки синтезированной СУ требуемого задания.

7. Принцип реализации синтезированного алгоритма управления

Пусть xж (t0) = x(t0), xж (t1) = x(t1) .Тогда получим

x ж (t) = eA tx ж (t0) или x ж (t0) = (eA t)-1xж (t).

Поэтому при x(t) = xж (t) для открытой области получим

ю

го

где C(t)

x(t) = C(t)x(t0) + m 1K(t)Rx(t0),

22 c1J(t)|1, K(t) =| k1J(t)|1,

(7)

L(t) = -m^В^Ще^)-1x , dt- = (A - m^BB^t^e^)-1)x .

C11(t) = C22(t) = COS rot, C12(t) = - SІn rot, C21(t) = srnrot ,

2 1 1 t

k11(t) = k22(t) =-k (---- +—2COSrot +— sinrot)

ro2 ro2 ro

8. Заключение

В классе задач АКОР исследована процедура структурного и параметрического синтеза для недемпфированного гармонического осциллятора с двумя управляющими воздействиями как ОУ. Проведенное исследование для рассматриваемого класса задач по-

РИ, 2006, № 4

23

зволило получить следующие новые результаты, имеющие научное и прикладное значение:

- использование математического аппарата теории экстремальных задач дало возможность реализовать процедуру аналитического решения задачи структурного синтеза для рассматриваемого ОУ;

- аналитическое решение задачи структурного синтеза позволило:

- определить размерности управляющих параметров синтезированного управляющего устройства и установить их алгоритмическую связь с параметрами рассматриваемого ОУ;

- получить синтезированный АУ в форме обратной связи по фазовым координатам;

- процедура параметрического синтеза реализуется на основе пакета прикладных программ “линейная алгебра”.

Практическая значимость результатов исследования определяется возможностью их использования в качестве математического обеспечения при проектировании СУ для рассматриваемого класса задач динамического синтеза.

Литература: 1. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1978. 470с. 2. Лойцянский Л.Г, Лурье А.И. Курс теоретической механики, т.2. М.: Госте-хиздат, 1954. 595с. 3. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384с. 4. Атанс М., Фалб П Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968. 764с. 5. Радиевский А.Е. Динамический синтез в общей проблематике современной теории управления // Радиоэлектроника и информатика. 2004. №3. С.70-75. 6. Радиевский А.Е. Функционально-аналитический метод синтеза детерминированного регулятора // Оптимизация электромеханических систем с упругими элементами. Харьков: ИМиС, 1995. С.137-148. 7. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М.: Наука, 1973. 584с. 8. Летов А.М. Динамика полета и управление. М.:Наука, 1969. 360с. 9. Бесекерский В.А.-,Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. 768с. 10 . Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981. 488с.

Поступила в редколлегию 23.10.2006

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кузнецов Б.И.

Радиевский Анатолий Евгеньевич, канд.техн.наук, с.н.с., заведующий лабораторией Харьковского НИИ комплексной автоматизации (ХИКА) Минтопэнерго Украины. Научные интересы: математическая теория экстремальных задач, динамические задачи многокритериальной оптимизации. Адрес: Украина, 61003, Харьков, пер. Кузнечный, 2, тел. 73-13-567, 73-14-180.

УДК621.77

СИНТЕЗ РОБАСТНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ МНОГОКАНАЛЬНЫХ ИТЕРАЦИОННЫХ СИСТЕМ

НИКИТИНА Т.Б.__________________________

Описывается разработанный метод синтеза робастного управления многоканальными итерационными системами, основанный на декомпозиции исходного движения многоканальной итерационной системы, на движениях отдельных каналов, входящих в многоканальную систему. При этом синтез робастного управления многоканальной системы сводится к последовательному синтезу отдельных каналов, начиная с первого основного силового канала и заканчивая последним маломощным быстродействующим каналом.

1. Введение

Многоканальные системы, работающие по принципу грубого и точного управления, позволяют получать точность, недостижимую в одноканальных системах [1]. Одним из первых применений двухканальной итерационной системы является следящая измерительная система, у которой второй канал представляет собой маломощный следящий измеритель с весьма узкой диаграммой направленности, установленный на подвижной платформе, жестко связанной с первым силовым следящим измерителем с широкой диаграммой направленности. Примером трехканальной итерационной системы является стратосферная

следящая система, у которой первый канал измеряет направление на Солнце, второй, более точный канал, измеряет направление на край диска Солнца, и, наконец, третий, точный канал, измеряет направление на изображение объекта, излучаемого на Солнце. Многоканальные итерационные системы достаточно широко используются при управлении прокатными станами, тяжелыми металлорежущими станками, в измерительных системах и многих других областях. Их применение оправдано там, где с помощью одноканальных систем не удается получить требуемую точность, причем области применения многоканальных итерационных систем постоянно расширяются в связи с неуклонным повышением требований к точности управления. Более того, в ряде случаев без таких систем принципиально невозможно вести технологический процесс, процесс измерения, слежения, стабилизации и т.д. [1-3].

Синтезу многоканальных итерационных систем посвящено достаточно большое количество публикаций. В работах [1-4] рассмотрены вопросы синтеза оптимальных по квадратичным критериям качества регуляторов многоканальных итерационных систем, как во временной, так и в частотной области. Однако синтезированные таким образом регуляторы обладают достаточно высокой чувствительностью к изменению параметров и структуры объектов управления многоканальных систем, а также внешних воздействий.

24

РИ, 2006, № 4