Зависимость периода идентичности однослойных углеродных нанотрубок от индексов хиральности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 538.915

ЗАВИСИМОСТЬ ПЕРИОДА ИДЕНТИЧНОСТИ ОДНОСЛОЙНЫХ УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБОК ОТ ИНДЕКСОВ ХИРАЛЬНОСТИ

А.А. Захарченко, Б.К. Петров, Е.Н. Бормонтов

Предложена методика получения аналитического выражения для периода идентичности однослойной углеродной нанотрубки, основанная на рассмотрении решетки графена. Представлена зависимость периода идентичности от индексов хиральности нанотрубки

Ключевые слова: однослойная углеродная нанотрубка, индексы хиральности, период идентичности

В работе [1] описана методика получения выражений для основных структурных

характеристик однослойных углеродных

нанотрубок (ОСУНТ), основанная на рассмотрении решетки графена. Однако вывод аналитического выражения для периода идентичности не представлен. В настоящей

работе впервые подробно описывается

предлагаемая авторами методика получения аналитического выражения для периода идентичности ОСУНТ.

Стоит напомнить, что структура ОСУНТ задаётся двумя целыми числами - индексами хиральности тип : эти числа, являясь коэффициентами линейной комбинации базисных векторов решетки графена а и Ь , определяют вектор Я:

Я = та + пЬ , (1)

при помощи которого задаётся фрагмент решетки, определяющий структуру

нанотрубки. Период идентичности нанотрубки равен расстоянию от начала вектора Я , определяемого (1), до ближайшего узла бесконечной плоской решетки, расположенного на прямой 11, перпендикулярной Я и проходящей через его начало (рисунок).

Задача нахождения выражения для периода идентичности нанотрубки решается несколькими этапами. Сначала находится уравнение прямой 11. Затем по виду этого уравнения определяются координаты какой-либо точки, лежащей на этой прямой и не совпадающей с началом координат. Координаты этой точки подвергаются преобразованию таким образом, что бы получаемая новая точка лежала на прямой 11 и

Захарченко Александр Александрович - ВГУ, аспирант, тел. (4732)43-17-95

Петров Борис Константинович - ВГУ, д-р техн. наук, профессор, тел.(4732) 20-86-33 Бормонтов Евгений Николаевич - ВГУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (4732)20-86-33

была узлом бесконечной плоской решетки. Наконец, координаты последней так же подвергаются преобразованию с целью получения точки, которая была бы первым узлом от начала координат, лежащим на 11. Период идентичности вычисляется как расстояние от начала координат до этого узла. Перейдём к рассмотрению каждого из перечисленных этапов.

у! 1 • • • • 0 V • * V У ► • 0 ♦ * * -

ТФ Л - / -

\а х

. ™ ™ *

Решетка Бравэ, соответствующая структуре графена

Уравнение прямой 11 находится из следующих соображений. Во-первых, эта

прямая проходит через начало координат. Во-вторых, она составляет с осью х угол 5 равный:

(2)

где р - угол между Я и осью х.

При заданных т и п угол р (рис. 1) находится

из простых геометрических соображений.

Однозначная связь (2) между 5 и р позволяет

построить уравнение прямой 11:

2т + п , г,

у = -х—?=— при п Ф 0

4~3п 0

х = 0 при п = 0

В дальнейшем нам понадобится критерий, позволяющий по известным декартовым координатам точки определять - является ли она узлом решетки Бравэ. Этот критерий можно найти, основываясь на том, что радиус-

вектор Я/ любого узла решетки Бравэ является линейной комбинацией базисных векторов с

целочисленными коэффициентами /и1 и у1:

(4)

Задача нахождения р и у1 , входящих в (4), по известным декартовым координатам точки х/ и у / имеет следующее решение:

Я/ = /и'а + у1 Ь .

И =■

і|л/3

(Сх7 - у1)

V7 =■

(5)

і|л/з

у

Таким образом, критерий узла в нашем случае формулируется в следующем виде: для того, что бы узнать является ли точка (х ; у/) узлом решетки Бравэ, необходимо вычислить р и у1 согласно (5); если оба коэффициента являются целыми числами, то точка является узлом решетки Бравэ, в противном случае - не является.

Перейдём к анализу точек, лежащих на прямой 11 задаваемой (3), целью которого будет нахождение ближайшего к началу координат узла. Как отмечалось ранее, сначала найдём какую-либо точку, лежащую на 11 и отличную от начала координат. Непосредственной

подстановкой можно убедиться, что при любом

п точка Q с координатами (-Лп| а|; (2 т + п)а|)

принадлежит прямой 11. Однако она не является узлом, поскольку коэффициенты линейной комбинации базисных векторов ид и Уд ,

образующей радиус-вектор этой точки, не являются целыми числами:

ид = ^3 (п

Ув = ^=

I- т) - п)

(6)

Отметим, что если точка, радиус-вектор

которой определяется коэффициентами ц" и

У'V , лежит на некоторой прямой, проходящей через начало координат, то точка, радиус-вектор которой определяется коэффициентами

Пи " и

,//

г)У , где г) - вещественное число, так

же будет лежать на этой прямой. Поэтому все дальнейшие преобразования координат точек

будут сводиться к одновременному умножению коэффициентов линейной комбинации, образующей радиус-вектор точки, на одно и то же число, или, что то же самое - умножению обеих координат точки на это же число.

Преобразуем координаты точки Q таким образом, что бы получаемая новая точка являлась узлом решетки Бравэ. Из (6) видно,

что результаты умножения Ид и Уд на Я будут целыми числами. Домножив Ид и Уд на это число получим новую точку 8 с координатами (- 3п|а|;->/з (2т + п)а|) , которая уже будет являться узлом решетки Бравэ, поскольку ее коэффициенты Ия и Уз целочисленны:

Г = -2(п + т) [ Уз = 2(т + п)

(7)

Теперь преобразуем координаты точки 8 таким образом, что бы получаемая новая точка была узлом, но находилась ближе к началу координат, чем точка 8. Для этого необходимо разделить коэффициенты и и у5 на такое число, что бы коэффициенты линейной комбинации, образующей радиус-вектор новой точки, были целыми числами и меньшими по модулю и у8 соответственно.

Рассмотрение выражений (7) показывает, что результаты деления и у8 на

наибольший общий делитель чисел т и п -НОД(т, п) - будут целыми числами, причем новая точка С будет находиться ближе к началу координат, чем точка 8 или совпадать с 8.

Введём обозначения:

/ т

т = -

НОД(т, п)

п

НОД(т, п) ’

(8а)

(8б)

и

перейдём к рассмотрению точки С (- 3п1 |а|;л/3(2т1 + п! )а|) , координаты которой получаются делением координат точки 8 на НОД(т, п). Коэффициенты Цс и Vс линейной комбинации, образующей радиус-вектор этой точки, с учетом (8а-8б) можно записать следующим образом:

\рС = -3п1 - (т1 + п1)

ус = 2(т1 + п')

(9)

Снова

выполним преобразование координат, сводящееся к уменьшению

абсолютных значений коэффициентов линейной комбинации, при котором новые

1

2

3п7 а

коэффициенты остаются целочисленными. Из (9) видно, что результаты деления ис и ус на

НОД(3п ,2т1 + п ) будут целыми числами, следовательно точка Б с координатами

л/3 (2т1 + п1 )а|

НОД(3п7,2т7 + п 7); НОД(3п 7,2т7 + п')

\ у

будет лежать на прямой 11 ближе к началу координат, чем точка С или совпадать с точкой С, причем в любом случае Б является узлом решетки Бравэ. Дальнейшие рассуждения проведём отдельно для каждого из возможных

сочетаний п/ и

т

п1 - нечетное, т1 -

четное; п1 - нечетное, т1 - нечетное; п1 -четное, т1 - нечетное; п1 = 0 .

Рассмотрим случай нечетных п1 и т1 . Разделим обе координаты точки Б на 2 и докажем, что полученная точка Е с координатами:

( -,„/1

3п а

л/3(2т1 + п 7)| а| !

ч 2НОД(3п7,2т7 + п7) ’ 2НОД(3п7,2т7 + п7)у

является узлом, причем ближайшим к началу координат узлом на 11 во второй координатной четверти.

Введём обозначения:

а =-

НОД(3п ,2т7 + п')

в =

2т7 + п1 НОД(3п7,2т7 + п')

(10а)

(10б)

Отметим, что а и в являются целыми положительными нечетными числами и не содержат общих множителей. Тогда с учётом введённых обозначений (10а-10б) координаты

точки Е запишутся в виде

' 1 и 'Гз в' - ; —в1а1

Убедимся, что точка Е является узлом: иЕ =- —(а+в)

(11)

УЕ =в

Коэффициент иЕ (11) является целым числом. Действительно, поскольку а и в являются нечетными, их сумма а + в будет

четным числом, следовательно 1 (а + в) будет

целым. Очевидно уе (11) является целым

числом. Таким образом, точка Е является узлом решетки Бравэ.

Докажем, что этот узел ближайший к началу координат во второй координатной четверти. Рассмотрим все точки, двигаясь от начала координат к точке Е по прямой 11. Совокупность ординат пройденных точек будет являться непрерывным рядом вещественных

^0 я «и!

чисел, принадлежащих интервалу 0, ва .

V /

Будем представлять ординату каждой точки этого интервала в виде:

У = ^ 41. (12)

Нетрудно показать, что 0 < Л < в . Для того, что бы какая-либо из рассматриваемых точек была узлом, необходимо (но не достаточно!), что бы значение коэффициента у перед базисным вектором Ь линейной комбинации, образующей радиус-вектор этой точки, было целым. Найдём значение этого коэффициента, учитывая введенную выше запись для ординаты точки (12):

у = Л . (13)

Пусть в = 1. Тогда с учетом (13) 0 <у < 1 и критерий узла не выполняется, поскольку У не может являться целым числом.

Пусть в> 1. В этом случае с учетом (13) 0 <у <в . В зависимости от конкретного расположения рассматриваемой точки

значение у может принимать как целые, так и

дробные значения. Дробные значения у не удовлетворяют критерию узла и далее рассматриваться не будут. Рассмотрим точки, для которых значение у является целым числом - эти точки являются подозрительными. Найдём абсциссу точки, подозрительной на узел, из условия, что эта точка находится на прямой /ь чтобы затем по известным абсциссе и ординате определить значение коэффициента и перед базисным вектором а линейной комбинации, соответствующей радиусу-вектору этой точки:

1 а лі і

: =------------------Л а

2 в

(14)

Выражения для и с учетом (14) имеет следующий вид:

1

И = — 2

2І+Л в

\

В дроби а~ в

входящей в (i5), нельзя

полностью сократить знаменатель; в

знаменателе останутся сомножители в , поскольку 0 < — <в , а а и в вообще не имеют общих сомножителей. Следовательно,

выражение + - является дробным, равно

как и выражение для и . Критерий узла в данном случае не выполняется.

Таким образом, как при в = 1 , так и при в > 1 узлов между началом координат и

^ ■ л ^

точкой

i И ^3 в

—ам ; — в\м 22

нет, следовательно

точка Е является первым узлом на прямой 1\ во второй координатной четверти.

Нетрудно найти величину периода идентичности р для случая нечётных п1 и т1 как расстояние от начала координат до точки Е:

(16)

p = |м|л/з

V2 2

m + mn + n

НОД(3п,2т + п)

Проведя подобный анализ для случаев других сочетаний п/ и т/ можно утверждать: - в случае нечетного п1 и четного т/ ближайшим узлом к началу координат на А является точка с координатами ( о„/|~1 /Т/л„./ і „/\1~1 !

3n a

y[3(2m1 + n 7)| a|

v 2НОД(Зп7,2m7 + n')’ 2НОД(Зп 1,2m1 + n7)y а период идентичности p нанотрубки равен:

p = I a|V3

V2 2

m + mn + n

НОД(3n,2m + n)

(i7)

- в случае четного п и нечетного

т1 ближайшим узлом к началу координат на А является точка с координатами

(

3n7 a

л/3 (2m7 + n11

n' )a| 1

v НОД(Зп 7,2m7 + n')’ НОД(Зп 1,2m1 + n7) y

а

период идентичности p нанотрубки равен:

4,

p =

21 a|V3-

2 2 I m + mn + n

(iS)

НОД(3п,2т + п)

- в случае п1 = 0 ближайшим узлом к началу координат на 1\ является точка с координатами (э^л/3| а|), а период идентичности р нанотрубки равен:

р = Нл/3. (19)

Объединяя полученные выражения (16-19) приходим к общей формуле для периода идентичности р , справедливой для любой комбинации индексов хиральности т и п :

p =

22 m + mn + n

при

НОД(3я,2m + n) нечётном n

.(2Q)

2| ^^л/з

I

22 m + mn + n

приn1 =0

/

НОД(3п,2т + п) или чётном п

В заключении отметим, что изложенная методика получения аналитического выражения для периода идентичности с

небольшой модификацией может применяться для определения периода идентичности нанотрубок неграфеновой структуры.

Например, в работе [2], используя суть изложенной методики, найдены выражения подобные (20) для периодов идентичности нанотрубок, формально получаемых

сворачиванием фрагментов квадратной и

прямоугольной плоских решеток.

Литература

1. Захарченко А. А. Структурные характеристики однослойных углеродных нанотрубок / А.А. Захарченко, Б.К. Петров, Е.Н. Бормонтов // Вестн. Воронеж. гос. техн. ун-та. -2009.- Т.5, № 8.- С. 20-24.

2. Захарченко А.А. Геометрические характеристики нанотрубок, соответствующих фрагментам квадратной и прямоугольной плоских решеток / А.А Захарченко, Б.К. Петров // Твердотельная электроника и микроэлектроника: сб. науч. тр / Воронеж. гос. техн. унт.- Воронеж, 2008.- С. 103-107.

Воронежский государственный университет

DEPENDENCE OF THE PERIOD OF IDENTITY SINGLE-WALLED CARBON NANOTUBES FROM

CHIRALITY INDEXES

A.A. Zakharchenko, B.K. Petrov, E.N. Bormontov

The technique of reception of analytical expression for the period of identity single-walled carbon nanotube, based on consideration of a lattice of graphene is offered. Dependence of the period of indentity on chirality indexes is submitted

Keywords: Single-walled carbon nanotube, chirality indexes, identity period