CC BY
171
УДК 538.915
СТРУКТУРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОДНОСЛОЙНЫХ УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБОК
А.А. Захарченко, Б.К. Петров, Е.Н. Бормонтов
Предложена методика аналитического описания основных структурных характеристик ОСУНТ: радиуса образца, угла хиральности, периода идентичности, числа атомов, принадлежащих элементарной ячейке и линейной плотности. Получены выражения для этих характеристик
Ключевые слова: однослойная углеродная нанотрубка, структурные характеристики, период идентичности
Число исследований, посвященных изучению свойств однослойных углеродных нанотрубок (ОСУНТ) постоянно растёт.
Интересы исследователей обусловлены в основном уникальностью некоторых механических и электронных свойств ОСУНТ.
С точки зрения механических свойств однослойные углеродные нанотрубки являются на сегодняшний день одним из самых прочных материалов. Например, модуль Юнга однослойной углеродной нанотрубки может составлять несколько сотен ГПа, или даже несколько ТПа [1,2]. Благодаря сочетанию высоких показателей прочности и малых размеров, ОСУНТ рассматриваются в качестве добавок, способных повышать прочность существующих конструкционных материалов. Так, согласно теоретической оценке [3] сталь, содержащая ОСУНТ с объёмной долей 5%, должна обладать прочностью на разрыв в 2 раза превышающей значение прочности на разрыв не армированной нанотрубками стали. Уже сегодня экспериментально установлено, что добавление ОСУНТ в объемном количестве 10% к матрице А1203 повышает трещиностойкость полученного материала почти в 3 раза по отношению к исходному веществу [1].
Огромный интерес вызывают электронные свойства ОСУНТ. В зависимости от взаимного расположения атомов углерода в структуре нанотрубки, ОСУНТ могут обладать металлическими или полупроводниковыми свойствами. Однослойные углеродные нанотрубки способны обладать баллистической проводимостью даже при комнатных температурах [1]. Электрическое поле,
Захарченко Александр Александрович - ВГУ, аспирант, тел. (4732) 43-17-95
Петров Борис Константинович - ВГУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 20-86-33 Бормонтов Евгений Николаевич - ВГУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (4732) 20-86-33
приложенное перпендикулярно оси
нанотрубки, способно изменять проводимость ОСУНТ в 106 раз [3]; этот эффект уже
используется в экспериментальных образцах миниатюрных полевых транзисторов, в
которых в качестве канала служит одиночная ОСУНТ. Теоретические оценки максимально допустимых плотностей токов для ОСУНТ колеблются от 109 до 1013 А/см2 [1]. Благодаря сочетанию высоких значений предельно допустимых плотностей токов и малых
размеров, предполагается широкое применение однослойных углеродных нанотрубок в качестве соединительного материала между
элементами интегральных схем. Это обусловлено тем, что миниатюризация электронных приборов, приводящая к увеличению плотностей токов, не позволяет применять традиционный материал - медь -для изготовления соединительных дорожек между элементами интегральных микросхем из-за разрушения медных дорожек вследствие электродиффузии уже при плотностях токов ~106 А/см2; применение же соединительных дорожек, выполненных из ОСУНТ с
металлическим типом проводимости, должно обеспечить увеличение плотностей токов более чем в 1000 раз, следовательно, способствовать дальнейшему уменьшению размеров сверхбольших интегральных схем. Помимо этого, благодаря способности проводить электрический ток и малым размерам, ОСУНТ рассматриваются в качестве добавок, способных значительно увеличивать электропроводность оптически прозрачных материалов [4]. Появление новых прозрачных проводников на полимерной основе должно заменить единственный существующий на настоящий момент прозрачный проводящий материал - оксид индия-олова.
Можно с уверенностью утверждать, что однослойные углеродные нанотрубки являются перспективным материалом микро-и наноэлектроники и материаловедения. Однако
для успешного серийного использования ОСУНТ необходимо тщательное исследование их свойств. Поскольку практическое определение характеристик ОСУНТ сопряжено с рядом трудностей, обусловленных малыми размерами исследуемых образцов, возрастает роль теоретических методов. Для теоретического определения механических и электронных параметров однослойных углеродных нанотрубок в первую очередь необходимо математическое описание структурных характеристик исследуемого
образца. К сожалению, в отечественной и переводной литературе данные о строении ОСУНТ практически отсутствуют. В данной работе излагаются способ описания структуры однослойных углеродных нанотрубок,
методика получения аналитических выражений для основных структурных характеристик
ОСУНТ и приводятся выражения для этих характеристик. Впервые получены выражения для периода идентичности образца, его
линейной плотности и числа атомов, принадлежащих элементарной ячейке ОСУНТ.
Для решения широкого круга задач однослойную углеродную нанотрубку удобно рассматривать как структуру, формально получаемую путём сворачивания фрагмента решетки графена (рис. 1) в цилиндр. Удобство такого подхода обусловлено по крайней мере двумя причинами. Во-первых, математическое описание фрагмента плоской решетки, соответствующего исследуемой нанотрубке и однозначно определяющего её структуру, намного проще громоздкого описания структуры непосредственно нанотрубки, то есть описания положения каждого атома. Поэтому, например, при представлении данных о строении образца ОСУНТ как правило указывается математическое описание именно фрагмента решетки графена, соответствующего интересующему образцу. Во-вторых, многие структурные характеристики ОСУНТ и соответствующего ей фрагмента плоской решетки совпадают, вычисление же подобных характеристик гораздо удобнее производить для фрагмента решетки графена, чем непосредственно для нанотрубки. Перейдём к изложению способа задания плоского фрагмента решетки графена и описанию процедуры формального получения ОСУНТ -процедуры сворачивания.
Фрагмент решетки графена задаётся следующим образом: указывается вектор Я , являющийся линейной комбинацией базисных
векторов решетки с целочисленными коэффициентами:
Я = та + пЬ , (1)
где а, Ь - базисные векторы решетки; т, п - целые числа;
и строятся прямые ¡\ и ¡2, проходящие через начало и конец этого вектора соответственно и перпендикулярные ему. Область, ограниченная прямыми ¡1 и ¡2, и есть фрагмент плоской решетки, соответствующий нанотрубке.
Рис. i Фрагмент плоской решетки графена, соответствующий ОСУНТ
Поскольку вектор Я определяет фрагмент, сворачиванием которого формально получается нанотрубка, этот вектор принято называть вектором сворачивания. Коэффициенты ти п принято называть индексами хиральности. Процедура сворачивания сводится к тому, что каждая точка на прямой ¡1, находящаяся на расстоянии к от точки пересечения ¡1 с Я переходит в соответствующую ей точку прямой ¡2, находящуюся так же на расстоянии к от точки пересечения ¡2 с Я . То есть, крайние точки вектора Я и параллельных ему отрезков, соединяющих соответствующие точки ¡1 и ¡2, описывают кривые, плоскости которых параллельны друг другу и перпендикулярны первоначальной плоской решетке.
Нетрудно убедиться, что для структуры многих ОСУНТ важно представлять как именно происходит сворачивание фрагмента, то есть предполагать - находится ли ось будущей нанотрубки над фрагментом или под фрагментом. В обоих случаях нанотрубки переходят одна в другую путём “выворачивания наизнанку”. Однако, основные структурные характеристики: диаметр образца, период идентичности и т. д. не зависят от того, находится ли ось будущей трубки над фрагментом, или под ним. Поэтому трубки и их “вывернутые двойники” в данной работе отождествляются. Такой подход для
(2а)
(2б)
построения всех возможных ОСУНТ позволяет рассматривать, согласно [5], вектор
сворачивания принадлежащим одной двенадцатой части плоской решетки графена, а индексы хиральности, входящие в (1), принадлежащими диапазонам:
1 < т<ж,
0 < п < т .
Таким образом, описание структуры однослойной углеродной нанотрубки сводится к заданию двух чисел: т и п - индексов хиральности, однозначно определяющих
структуру образца.
Изложенный способ представления
ОСУНТ при помощи фрагмента решетки графена, свёрнутого в цилиндр, позволяет описывать структуру любого известного к настоящему времени бездефектного образца. Однако стоит отметить, что не каждая нанотрубка, формально получаемая путём сворачивания фрагмента решетки графена, должна существовать; вопрос о существовании конкретной нанотрубки, получаемой
описанным способом должен решаться при помощи квантово-механических расчетов или анализа известных экспериментальных данных, что выходит за рамки рассмотрения только структурных свойств нанотрубок.
Рассмотрим методику, позволяющую
получать аналитические выражения для основных структурных характеристик ОСУНТ при заданном векторе сворачивания Я.
Радиус нанотрубки г находится из
условия, что длина окружности сечения, выполненного перпендикулярно оси ОСУНТ, равна длине вектора Я :
г=м
2п
Отметим, что под радиусом цилиндра понимается расстояние от оси цилиндра до центра узла. То есть, если положение узла совпадает с положением атома, то радиус есть расстояние от оси симметрии нанотрубки до центра атома.
Угол хиральности © есть угол между направлением базисного вектора а и направлением вектора сворачивания Я . При заданном Я угол хиральности определяется из простого тригонометрического соотношения:
(4)
(3)
БІП © = -¡-4
Я
где Яу - проекция вектора сворачивания Я на ось у.
В некоторых задачах [6] ОСУНТ рассматривается как цилиндрический слой
пространства толщиной в один атом углерода. За диаметр атома углерода принимается длина углерод-углеродной связи ¡С-С в решетке графена (рис. 1). Площадь сечения нанотрубки £ легко выражается через радиус внутренней
¡С -С ~
г - и внешней
2
нанотрубки:
£ = п
г +
¡
С-С 2
поверхностей
г +
1С-С
- I г -
С-С
2 Л
(5)
Период идентичности нанотрубки р совпадает с периодом идентичности фрагмента решетки графена, определяемого вектором Я . Период идентичности фрагмента решетки есть расстояние от начала вектора Я до ближайшего к нему узла исходной бесконечной плоской решетки графена, расположенного на прямой ¡1 . При заданном Я нетрудно найти уравнение прямой ¡1 , которое имеет
следующий вид:
- в случае п ф 0 :
у = - X-
2т + п
л/3п
(6а)
- в случае п = 0 :
х = 0 . (6б)
Путём аналитического анализа точек, расположенных на прямой ¡1 , находится период идентичности р .
Произведение периода идентичности р на длину вектора сворачивания |и| есть площадь
примитивной элементарной ячейки фрагмента решетки графена, определяемого вектором Я . Отношение площади примитивной
элементарной ячейки фрагмента к площади примитивной элементарной ячейки
бесконечной плоской решетки есть число примитивных элементарных ячеек бесконечной решетки, принадлежащих элементарной ячейке фрагмента. Учитывая, что каждой примитивной элементарной ячейке бесконечной решетки графена принадлежат два атома углерода, можно вычислить число атомов углерода N , принадлежащих примитивной элементарной ячейке фрагмента, определяемого Я , и, следовательно, примитивной элементарной ячейке нанотрубки, соответствующей
фрагменту:
(7)
ис
Линейная
определяется
плотность нанотрубки р как отношение массы
2
2
2
примитивной элементарной ячейки нанотрубки к периоду идентичности р . Масса элементарной ячейки нанотрубки находится как произведение массы атома углерода ¡лс на число атомов, принадлежащих элементарной ячейке нанотрубки N . Таким образом, выражение для линейной плотности имеет следующий вид:
MсN
Р=-
(8)
Представим теперь зависимости основных структурных характеристик ОСУНТ от индексов хиральности. При выводе
зависимостей предполагалось, что т и п принадлежат диапазонам (2а) и (2б) соответственно. Для каждой величины, за исключением г, оговаривается - определяется ли она однозначно диаметром образца. Это обусловлено тем, что диаметр образца -величина, экспериментальное определение которой, пожалуй, наиболее простое, и знание диаметра образца автоматически подразумевает возможность вычисления величины,
однозначно определяемой диаметром.
Выражение для радиуса образца г вычислялось при помощи (3) и имеет следующий вид:
НЛ
¡т2 + тп + п2
2п
(9)
где Н - период идентичности бесконечной
плоской решетки графена.
Угол хиральности © , определяемый (4), имеет следующую зависимость от т и п :
Г л/3п ^
© = агсБш
V
2^
т2 + тп + п2 )
(10)
Однозначной хиральности (10) образца не существует. Значение © для любой
связи между углом и радиусом (диаметром)
ОСУНТ принадлежит диапазону
Зависимость площади сечения образца Б от индексов хиральности получается путём подстановки выражения для радиуса ОСУНТ (9) в (5):
Б =
л/3
2 2 т + тп + п
(11)
Площадь сечения ОСУНТ однозначно определяется радиусом (диаметром) образца, характер этой зависимости - линейный.
Выражение для периода идентичности р
определялось путём анализа точек, лежащих на прямой (6а) или (6б) и имеет следующий вид:
Р = 1
|а|л/3
■\1т2 + тп + п 2 при
НОД(3п,2т + п) нечётном п
21 а|л/3
7 2 2
т + тп + п
, (12)
при п = 0
/
НОД(3п,2т + п) или чётном п
где п/ - частное отношения п и наибольшего общего делителя (НОД) чисел т и п .
Однозначной связи между периодом идентичности (12) и радиусом (диаметром) образца не существует.
Число атомов N , принадлежащих элементарной ячейке нанотрубки, вычислялось на основании (7):
N =
4-
2 2 т + тп + п
при
НОД(3п,2т + п) нечётном п
(13)
8-
22 т + тп + п
при п = 0
НОД(3п,2т + п) или чётном п
Как и в случае периода идентичности, однозначной связи N и радиуса образца не существует. Можно доказать, что N является целым числом. Стоит отметить, что выражения (12) и (13) не являются монотонными функциями п при фиксированном т в отличие от зависимостей (9-11).
При использовании формулы (8) было получено выражение для линейной плотности нанотрубки р :
2 2 т + тп + п
(14)
Линейная плотность нанотрубки (14) однозначно определяется радиусом (диаметром) образца, характер этой зависимости - линейный.
В целях наглядности, для характеристик, аналитические выражения которых
представляются впервые, были построены графики зависимостей от всех возможных значений п при фиксированном т = 50 (рис. 2а-2в). Выбор значения т обусловлен тем, что при т = 50 и 0 < п < т большая часть образцов обладает диаметрами, принадлежащими диапазону диаметров однослойных углеродных нанотрубок, наиболее часто наблюдаемых в экспериментах. Графики зависимостей представленных характеристик ОСУНТ при других фиксированных т подобны показанным на рис. 2.
2
Литература
1. Раков Э.Г. Нанотрубки и фуллерены / Э.Г. Раков.-М.: Логос, 2006.- 376 с.
2. Дьячков П.Н. Углеродные нанотрубки: строение, свойства, применения / П. Н. Дьячков.- М.: Бином, 2006. -293 с.
3. Старостин В.В. Материалы и методы нанотехнологии / В.В Старостин.- М.: Бином, 2008.- 431 с.
4. Наноматериалы. Нанотехнологии. Наносистемная техника / Под ред. П.П. Мальцева.- М.: Техносфера, 2006.- 152 с.
5. Харрис П. Углеродные нанотрубы и родственные структуры / П. Харрис.- М.: Техносфера, 2003.- 336 с.
6. Электронная структура и кондактанс однослойных углеродных нанотрубок структурного типа “armchair” в приближении свободных электронов / А.А. Захарченко, Б.К. Петров, С.И. Курганский, А.Ф. Клинских // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика, математика .-2008.-№1.- С. 29-34.
Рис. 2 Зависимости периода идентичности р (а), числа атомов, принадлежащих элементарной ячейке N (б) и линейной плотности р (в) от индекса хиральности п при
фиксированном т = 50
Воронежский государственный университет
STRUCTURAL CHARACTERISTICS OF SINGLE-WALLED CARBON NANOTUBES A.A. Zakharchenko, B.K. Petrov, E.N. Bormontov
A method of analytical description of the basic structural characteristics of SWCNT’s: radius of a sample, chiral angle, identity period, number of atoms belonging to a unit cell and line density is described. Expressions for these characteristics are derived
Keywords: Single-walled carbon nanotube, structural characteristics, identity period
