Энергетический спектр однослойных углеродных нанотрубок структурного типа “armchair” в приближении свободных электронов Текст научной статьи по специальности «Нанотехнологии»

Физико-математическое моделирование

УДК 538.9i5

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР ОДНОСЛОЙНЫХ УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБОК СТРУКТУРНОГО ТИПА “ARMCHAIR” В ПРИБЛИЖЕНИИ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ A.A. Захарченко, Б.К. Петров

Рассмотрено влияние длины углерод-углеродной связи на энергетический спектр однослойных углеродных нанотрубок структурного типа “armchair”. Представлено аналитическое выражение, упрощающее вычисление спектра

Ключевые слова: однослойная углеродная нанотрубка, энергетический спектр, приближение свободных электронов

Для успешного серийного применения

однослойных углеродных нанотрубок (ОСУНТ) в качестве материала твердотельной электроники, микро- и наноэлектроники

необходимы простые модели, позволяющие осуществлять инженерные расчеты

электрофизических параметров нанотрубок.

Одна из таких моделей, основанная на приближении свободных электронов (СЭ), была предложена нами в работе [i]. Несмотря на простоту описания, эта модель позволила вычислить электрофизические характеристики ОСУНТ структурного типа “armchair”,

качественно согласующиеся с результатами других, более сложных расчетов и известными экспериментальными данными. Более позднее уточнение наших расчетов, например [2 - 4], позволило установить, что для нанотрубок (4,4),...,(7,7) достигнуто и количественное согласие с имеющимися данными об электрофизических свойствах ОСУНТ. В частности, результаты расчета баллистического сопротивления, равного 6,45 кОм, совпадают, например, с результатами, представленными в работе [5]. Также достигнуто хорошее совпадение значений энергии Ферми с результатами, полученными в рамках более сложного для освоения и реализации, но хорошо зарекомендовавшего себя с точки зрения точности метода линеаризованных присоединенных цилиндрических волн (ЛПЦВ), подробно описанного применительно к углеродным нанотрубкам в работе [6]. Разница энергий Ферми, вычисленных в приближениях СЭ и ЛПЦВ, составляет не более 5 эВ, при этом относительная разница не превышает 20%. Такая погрешность вполне

Захарченко Александр Александрович - ВГУ, ассистент, тел. (473) 258-26-54

Петров Борис Константинович - ВГУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 220-86-33

допустима для инженерных расчетов и в дальнейшем считается погрешностью нашей модели.

Настоящая работа является продолжением работы [1] и в ней исследуется влияние длины углерод-углеродной связи 1С -с на энергетический спектр ОСУНТ (4,4), (5,5), (6,6) и (7,7). Мы впервые представляем явную приближенную зависимость энергии в вершинах энергетических зон от индексов хиральности и длины углерод-углеродной связи.

Аналитически установить влияние длины углерод-углеродной связи на энергетический спектр ОСУНТ весьма сложно, поскольку в приближении СЭ значения основных энергетических параметров определяются численными методами. Поэтому для нахождения закономерностей мы проводили расчеты энергетического спектра при 1С-с е [0,141 нм, 0,143 нм] с шагом 0,0001 нм и анализировали его поведение. Выбор интервала изменения I с -с объясняется следующим образом. Из многих источников, например из [7], известно, что 1С -с =0,142 нм, но до сих пор остается неясным с какой погрешностью установлено это значение. Мы полагаем, что погрешность составляет единицу младшего разряда, то есть 0,001 нм. Таким образом, 1С -с =0,142 ± 0,001 нм, то есть значение длины

углерод-углеродной связи как раз принадлежит выбранному нами интервалу.

Перейдем к обсуждению результатов проведенных расчетов. Трансформация зонных диаграмм, происходящая с изменением длины углерод-углеродной связи, представлена на рис. 1-4:

Рис. i. Трансформация зонной диаграммы ОСУНТ (4,4)

Рис. 2. Трансформация зонной диаграммы ОСУНТ (5,5)

Рис. 4. Трансформация зонной диаграммы ОСУНТ (7,7)

С увеличением значения 1С _с от 0,141 нм

до 0,143 нм для каждой ОСУНТ были выявлены три закономерности поведения энергетического спектра.

Во-первых, порядок чередования зон остается неизменным. Напомним, что каждая энергетическая зона соответствует набору квантовых чисел М и N ; зону, соответствующую этим числам мы будем обозначать ( М , N )г. При рассмотрении валентной зоны каждой нанотрубки снизу вверх порядок чередования зон оставался следующим:

- для (4,4): (0,1)2, (±1,1)2, (±2,1)2, (±3,1)2, (±4,1)2;

- для (5,5): (0,1)2, (±1,1)2, (±2,1)2, (±3,1)2, (±4,1)2, (±5,1)2;

- для (6,6): (0,1)2, (±1,1)2, (±2,1)2, (±3,1)2, (±4,1)2, (±5,1)2, (±6,1)2;

- для (7,7): (0,1)2, (±1,1)2, (±2,1)2, (±3,1)2, (±4,1)2, (±5,1)2, (±6,1)2, (±7,1)2, (±8,1)2.

Во-вторых, число полностью заполненных

зон N т и частично заполненных зон N $ остается неизменным. Значения N т и N $ представлены в табл. 1. Неизменность N $ с изменением 1С _с говорит о неизменности баллистического сопротивления нанотрубки.

Таблица 1

Количество частично и полностью заполненных зон

Рис. 3. Трансформация зонной диаграммы ОСУНТ (6,6)

ОСУНТ Ns NT

(4,4) 8 i0

(5,5) 8 i4

(6,6) 8 i8

(7,7) 8 22

В-третьих, каждая энергетическая зона монотонно смещается вниз; чем большему модулю квантового числа М соответствует зона, тем ниже она смещается. В табл. 2 для каждой ОСУНТ представлены значения смещения самой нижней зоны АЕ в и самой верхней АЕ0 .

Таблица 2

Смещения энергетических зон с увеличением длины углерод-углеродной связи

ОСУНТ АЕВ, эВ АЕи , эВ

(4,4) 0,522 0,656

(5,5) 0,523 0,675

(6,6) 0,524 0,760

(7,7) 0,524 0,760

Расчет энергетического спектра ОСУНТ по формуле (6) из работы [1] требует от вычислителя умения решать численными методами уравнение, содержащее функции Бесселя первого и второго рода. Это

необходимо для определения значений параметра С М м , входящего в выражение для

энергии одноэлектронного состояния и

определяющего положение вершины зоны,

равное Хиы /2. Требуемое умение вызывает

сложности при освоении моделирования свойств нанотрубки в приближении СЭ. Поэтому нами была поставлена следующая задача: основываясь на данные, полученные в ходе проведенных расчетов, для каждой исследованной ОСУНТ найти простую аппроксимацию для положения вершин зон в зависимости от длины углерод-углеродной связи; при этом аппроксимация должна позволять получать приближенные значения энергий одноэлектронных состояний с

погрешностью, по крайней мере на порядок меньшей погрешности модели.

Специально оговорим величину энергетического интервала, внутри которого искомые аппроксимации должны

воспроизводить энергетические спектры ОСУНТ. Нижней границей естественно должно являться дно валентной зоны. Верхняя граница должна располагаться выше уровня Ферми на величину 3кТ , вычисленную при температурах планируемого использования нанотрубок. Подобный выбор верхней границы распространен в работах, посвященных электронному строению твердых тел и

наноструктур, и обусловлен тем, что при более высоких энергиях функция Ферми-Дирака, описывающая занятые электронные состояния, полагается равной нулю. Чтобы воспроизвести спектры в указанных границах, вполне достаточно найти аналитическое выражение для вершин энергетических зон при М= 0, ± 1, ..., ± 8 и N=1. Остальные электронные состояния лежат относительно далеко за пределами интересующего нас интервала.

Можно предложить несколько алгоритмов нахождения нужных нам зависимостей, но наиболее простым оказался следующий:

1. Для каждой ОСУНТ, основываясь на результаты проведенных расчетов,

минимальная разрешенная энергия Е М. -

энергия в вершине самой нижней зоны -рассматривалась как функция длины углерод-углеродной связи и находилась зависимость приближенных значений минимальной энергии

Е от '

с -с •

ЕМ,. = ¥ 0 ('с-с), (1)

где вид функции ¥ 0 необходимо установить.

2. Установленные зависимости (1) содержали набор коэффициентов {а1...а к }, эти коэффициенты рассматривались как функции индексов хиральности / и г и для каждого коэффициента а находилась приближенная зависимость а , от индексов хиральности:

■П = ¥. (/, г) П = (/,г)

(2)

необходимо

для приближенных

где виды функций ¥ 1 установить.

3. Выражения (2)

значений коэффициентов

подставлялись в (1), в результате была получена общая приближенная зависимость

г П .0 .

минимальной разрешенной энергии Е М. от

длины углерод-углеродной связи и индексов хиральности:

еМП. = р,+('с -с, /, г), (3)

где +1 - функция, вид которой становится

известен после подстановки (2) в (1).

4. Из физических соображений для

каждой ОСУНТ спектр приближенного

а1,...,ак

значения энергии в вершине энергетической зоны а П 1 искался в виде:

< , = АМ 2 + ВМ + ЕМл0-(!с-с, /, г), (4) где А и В - коэффициенты, индивидуальные для каждого значения 'с -с .

5. Затем коэффициенты А и В рассматривались как функции ¥к +2 и ¥к +3 соответственно величины 1с -с и находились выражения для приближенных зависимостей этих коэффициентов А П и В П :

А П = +2 ('с-с ), (5)

В П = Р, +з(с-с ), (6)

6. Путем подстановки выражений для А П

и В П из (5) и (6) в (4) мы получили искомую

зависимость.

Перейдем к рассмотрению реализации каждого описанного этапа. Зависимость минимальной разрешенной энергии от длины углерод-углеродной связи для ОСУНТ (4,4) представлена точками на рис. 5; зависимости указанного параметра от ' с -с для других нанотрубок аналогичны представленной.

Е\1т > эВ

18,7 18,6 18,5 18,4 18,3

"Чи—г-|—I—I—г-|—I—I—г-|—I—I—I—|—I—I—I—|—I—г

О 0,1412 0,1416 0,1420 0,1424 0,1428 /с.с, НМ

Рис. 5. Зависимость минимальной разрешенной энергии от длины углерод-углеродной связи для ОСУНТ (4,4)

Как видно из рисунка, все точки хорошо укладываются на прямую линию, поэтому

аппроксимация Е МА. (1с -с ) для каждой ОСУНТ

искалась при помощи метода наименьших квадратов (МНК) в виде:

Е Мт ('с -с ) = а 1 с -с + а 2 , (7)

где а 1 и а 2 - искомые коэффициенты.

Вычисленные значения коэффициентов a j и а 2 представлены в табл. 3:

Таблица 3 Значения коэффициентов a j и а 2

ОСУНТ а 1 , эВ/нм а 2, эВ

(4,4) -260,8024 55,5506

(5,5) -261,4876 55,6966

(6,6) -261,8554 55,7750

(7,7) -262,07530 55,8218

Зависимость (1) с вычисленными коэффициентами а1 и а2 для ОСУНТ (4,4) показана на рис. 5 сплошной линией.

В силу монотонности изменения а 1 и а 2 с увеличением индексов хиральности (значения которых равны у нанотрубок “armchair”) выражения для приближенных зависимостей

а 1 и а 2 этих коэффициентов искались при помощи МНК в виде:

а1 = b 1,1 f b 2,1 , (8)

а 2 = b 1,2 f + b 2,2 , (9)

Где ^11 , b 2,1 , b 1,2 , b 2,2 - искомые

коэффициенты.

Вычисленные значения этих

коэффициентов следующие: b11 =-0,418610

эВ/нм , b21 =-259,252790 эВ/нм,

b1,2 =0,089192 эВ , b2,2 = 55,220420 эВ.

Таким образом, обобщенная

приближенная зависимость n . -C , f ) для

минимальной разрешенной энерГии приобрела следующий вид:

EMi'H . C -C , f )=b1,1 flc -C + b 2,1l C -C + b 1,2 f + b 2,2

(10)

Затем для каждой ОСУНТ были

определены значения коэффициентов A и B , входящих в (4), при каждом lC -C . Результаты

анализа этих значений указали на то, что выражения для приближенных значений

рассматриваемых коэффициентов An и Bn следует искать в виде:

A = g 1,1lC -C + g 2,1 , (11)

B = g 1,2l C -C 2,2l C -C + g 3,2 , (12)

где искомые коэффициенты у 11, у 21, у 12, у 22 и у 3 2 индивидуальны для каждой ОСУНТ.

Вычисленные при помощи МНК значения

у11, у21, у12, у22 и у23 представлены в табл. 4 и 5:

Таблица 4 Значения коэффициентов g 11 и g 21

OCУНТ g 11, эВ/нм g 2,1 , эВ

(4,4) -7,2З10 1,З44З

(З,З) -4,6791 0,9966

(6,6) -3,2З60 0,693З

(7,7) -2,3999 0,З112

Таблица З

Значения коэффициентов g 12, g22 и g32

OCУНТ g12 ,эВ/нм2 g 2 2, эВ/нм g 3,2 , эВ

(4,4) 1298,З769 -369,З889 26,3З30

(З,З) 1294,38З4 -367,89З6 26,1613

(6,6) 1293,4162 -367,44760 26,1049

(7,7) 1296,З998 -368,21304 26,1396

Поскольку значения коэффициентов g 11 -/ 3 2 зависят от индекса хиральности / , эти коэффициенты мы будем далее обозначать

gl,1 (/ ) — ^ (/ ) •

В итоге, мы получили следующее выражение для приближенного значения

энергии 6) М 1 в вершине зоны,

соответствующей квантовым числам М и N=1:

6М ,1 (іС -С , / )=(^1,1 (/ )с -С + g2,1 (/ ))м 2 +

+ ( 1,2 (/ ^ С -С + g 2,2 (/ )с -С + ^,2 (/ )М + (13)

+ ЕМп°.(1с-с ,/ )

Зависимость (13) отражает все отмеченные нами ранее закономерности трансформации энергетического спектра. К тому же, точность воспроизведения спектра с использованием (13) соответствует поставленной задаче. А именно, погрешность вычисления энергии

Воронежский государственный университет

одноэлектронного состояния не превышает 0,06 эВ; эта величина почти на два порядка меньше погрешности модели.

Таким образом, нами были установлены закономерности изменения энергетического спектра OCУНТ (4,4),...,(7,7) с изменением длины углерод-углеродной связи и представлена простая аппроксимация для энергетического параметра, существенно облегчающие вычисление спектра. Результаты этой работы представляют интерес для исследователей, осуществляющих инженерные расчеты параметров гибридных СБИС.

Литература

1. Захарченко A. A. Проводимость однослойных углеродных нанотрубок с металлическими свойствами в приближении свободных электронов / A. A. Захарченко, Б. К. Петров // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2009. Т. З. № 12. С. 10З-109.

2. Смотрова B.A. Влияние длины углерод-углеродной связи на баллистическое сопротивление углеродной нанотрубки (4,4) / B.A. Смотрова, A.A. Захарченко, Б.К. Петров // Oбразование и наука: современное состояние и перспективы развития: сб. науч. тр. но мат-лам Mеждунар. науч.-практ. конф. 2S февраля 2013 г.: Часть 3 ; M-во обр. и науки РФ. Тамбов: Изд-во ТPOO «Бизнес-Наука-Oбщество», 2013. - С. 1З7-1З8.

3. Смотрова В. A. Влияние длины углерод-углеродной связи на баллистическое сопротивление углеродной нанотрубки (З,З)/ B.A. Смотрова, A.A. Захарченко, Б. К. Петров// Перспективы развития науки и образования: сб. науч. тр. но мат-лам Mеждунар. науч.-практ. конф. 2S сентября 2012 г.: в 14 частях. Часть 11 ; M-во обр. и науки РФ. Тамбов: Изд-во ТPOO «Бизнес-Наука-oбщество», 2012, с.124-12З.

4. Смотрова В. A. Влияние длины углерод-

углеродной связи на баллистическое сопротивление углеродной нанотрубки (6,6) / B.A. Смотрова, A.A. Захарченко, Б. К. Петров // Наука и образование в жизни современного общества: сб. науч. тр. но мат-лам

Mеждунар. науч.-практ. конф. 29 октября 2012 г.: в 12 частях. Часть 9; M-во обр. и науки РФ. Тамбов: Изд-во ТPOO «Бизнес-Наука-Oбщество», 2012. - С.102-103.

З. Lin M. Magnetoconductance of carbon nanotubes / M.F. Lin, K.W. Shung // Phys. Rev. B. - 199З. - Vol. ЗІ, №12 .- P. 7З92-7З97.

6. Дьячков П. Н. Углеродные нанотрубки: строение, свойства, применения / П.Н. Дьячков. - M. : Бином, 2006. - 293 с.

7. Saito R. Physical properties of carbon nanotubes / R. Saito, G. Dresselhaus, M.S. Dresselhaus. - London: Imperial College Press, 199S. - 273 p.

ENERGY SPECTRUM OF SINGLE-WALLED CARBON NANOTUBES OF THE STRUCTURAL “ARMCHAIR” TYPE IN THE FREE-ELECTRON APPROXIMATION A.A. Zakharchenko, B.K. Petrov

The influence of carbon-carbon bond length on the energy spectrum of single-walled carbon nanotubes with the structural type " armchair" is considered. An analytical expression simplifying calculations of the spectrum is presented

Key words: single-walled carbon nanotube, energy spectrum, free-electron approximation