Задачи Коши и Гурса для одного класса многомерных гиперболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ЗАДАЧИ КОШИ И ГУРСА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

С, А, Алдашев

Задачи Коши и Гурса для линейных гиперболических уравнений хорошо изучены в [1-3]. Многомерные аналоги этих задач из-за отсутствия эффективных методов изучения требуют привлечения новых методов, поэтому в этом направлении существует мало работ (см. [4]). В данной работе предложен метод исследования, в частности, получены однозначные разрешимости взаимно-сопряженных задач Коши и Гурса для одного класса многомерных гиперболических уравнений.

1. Постановка задач и основные результаты. Пусть Ве — конечная область евклидова пространства Ет+1 точек (х,...,хт, ограниченная поверхностями \х\ = £ + е, |х| = 1— £ и плоскостью £ = О, где \х\ — длина вектора х = (х\,... ,хт), а 0 < £ < ^Ц^, 0 < е < 1. Части этих поверхностей, образующих границу дВе облает и Ве, обозначим через Бе, Б\ и Б соответственно.

В области Ве рассмотрим взаимно-сопряженные многомерные гиперболические уравнения

т

Ьи = Ахи — игг + аДх, Ь)ихн + Ъ{х, + с(х, Ь)и = 0, (1)

г=1

т

Ь*у = АхУ — — агУх, — Ъюг + ¿V = 0, (1*)

г=1

где Ах — оператор Лапласа по переменным хх,..., хт, т ^2, ¿(х, £) =

т

с — ^ агхн — Ъг-

г=1

© 2008 Алдашев С. А.

Рассмотрим следующие задачи Коши и Гурса для уравнения (1).

Задача 1. Найти в области Ве решение уравнения (1) из класса С(Ве) П С2(Ве), удовлетворяющее начальным условиям

= т(х), Пг\в = ^(х). (2)

Задача 2. Найти в области Ве решение уравнения (1) из класса С(Ве) П С2(Ве), удовлетворяющее краевым условиям

= °е{х), М^! = ^(х). (3)

В дальнейшем нам будет удобно перейти от декартовых координат хх,..., хт, £ к сферическим г, &!,..., вт-1 г > 0, 0 < 6\ < 2п, О < вг < П г = 2,3,...,ш — 1. Пусть Н£ — проекция области В£ на плоскость (г, £) с границами Ге : г = £ + е, Г1 : г = 1— £иГ:£ = 0, £<г<1. Пусть далее {Укт(в)} — система линейно независимых сферических функций порядка п, 1 ^ к ^ кп, (ш — 2)\и\кп = (п+ш — 3)!(2п+ш — 2), в = (в\,..., вт-1), Ве), I = ОД,..., — пространства Соболева, а Б= {(г, в)еБ,е<г<

Через акп(г,1), акп{г,1), ЬЩг,1), ёЩг,1) ¿Щг,1), ркп, т^г) уЩг), а^г) ®\п (г) обозначим коэффициенты разложения рядов по сферическим функциям У£т(в) функций сч(г,0,г), р(0), а^р, Ъ(г,0,г)р, с(г,0,г)р, й(г,в,г)р, р(в), т{г,в), ^(г,в), ае(г,в), а\{г,в), г = \,...,ш, причем р(в) € С(Б). Введем множество функций

кп

/(г, в) : / € (\\/К г) ||2с1([£Д])

п=0 1=1

+ г)\\с2([е,1])) ехР2П +п(ш — 2)) < ж, I > ш — 1} . Если аг(х,Ь),Ь(х,Ь),е(х,Ь) € Е1(Б), то имеет место

Теорема 1. Если т(г, в), г, в) € Б1(Б), то задача 1 имеет единственное решение.

Теорема 2. Если аЕ(г, в) е В1(5), а^г, в) е В1 (Б \ Б), то задача 2 однозначно разрешима.

2. Доказательство теоремы 1. Единственность решения задачи 1 доказана в [5]. Покажем ее разрешимость. Решение этой задачи будем искать в виде ряда

и(г,в,г) = ^2Т,йки( гжт в), (4)

п=0 к=1

где пЩг,Ь) — функции, которые будут определены ниже. Подставив (4) в (1), аналогично [4,6] получим уравнения вида т — 1

Р0и0гг Роиогг

Е а« и0г + Ьоиог + 5оио

ЕЕ\ркпик

Ок ик . п^пгг г п пЬЬ

т

Ркп

пк

Хп

Е

1=1

ак ик

Чп I ипг-г Ьпипг

т

Ск - -™рк .

п 9 гп

г

г=1

кп — 1 паЧ

к

= о, Хп = п(п+т -2). (5)

Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений

р0и0 гг

Роио гг

т

Р0и0 г= ^

р1и1тт Рк иш '

г

т - 1 к_к

-Р> 1г

(6)

ЧрМ =

1 к

ЕаЧ>

■Чо ио г + Ьоио г + соио

(7)

Рпипгг РпигМ '

п , к = 1, А?!,

к Рп йк - - — окйк 9 Рп"'п г

к п-1 т

Е агп-1 ипг + Ьп-1 ип-1 г

кп и=1

- (п - 1)а'кп-1)

г=1

ип-1 /, к — ^ кп, п — 2,?>,....

J (8)

к

п

к

п

Нетрудно показать, что если {йк}, к = 1, кп, п = 0,1,..., — решение системы (6)^(8), то оно является и решением уравнения (5). Учитывая ортогональность сферических функций Уп т(в) [7], из краевого условия (2) в силу (4) имеем

<{гМт = тк{г),икы{г,1)\т = 1)кп{г), к = 1, кп, п = 0,1,.... (9) Таким образом, задача 1 сведена к системе задач Коши в области Н£ для уравнений (6)-(8). Теперь будем находить решения этих задач. Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (6)-(8) можно представить в виде

ипгг игМ + ипг г2 ип — (Ю)

где /£(г, Ь) определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом /$(г,Ь) = 0. В (10), выполнив замену переменных п\\(г,Ь) = г 2 (г, ъ) и положив затем

г + Ь г — Ь

получим

мп=+[(та"1]((е3;^"4Л-]<=ям. (п)

V) = (£+??) ^^С-"*?)) при этом краевое условие (9) примет

вид

р 1

= 4(0, (12)

а=п / /

ткМ) = (2£)^(2£), = ^(20^^(20, к = 1, кп, п = 0,1,....

Как показано в [8], решение задач Коши (11), (12) имеет вид

а

1 Г Г д

а п

гк

11 /кК

1/2 е/2

где

"(й - - + +

= pá z

(ü +m)(£ + n)

— функция Римана уравнения Mu = 0, а Рц(z) — функция Лежандра, ц = п+ = 75- Таким образом, задача (10),

(9) имеет единственное решение. Следовательно, сначала решив задачу (6), (9) (и = 0), а затем (7), (9) (n = 0) и т. д., найдем последовательно все t) к = 1, кп, п = 0,1,.... Далее, как и в [4,6], доказывается, что функция (4) является решением задачи 1, где иЩr,t) определяется из двумерных задач Коши, причем принадлежит искомому классу. Теорема 1 доказана.

3. Доказательство теоремы 2. Сначала докажем единственность решения задачи 2. Для этого построим решение v(r, 9,t) уравнения (1*), удовлетворяющее начальным условиям

v\s = 0, vt\s = *(г,в) = $(г)У0\тв, 9Цг) е G, (13)

Где g — множество функций v(r) го класса C(e ^ r ^1) П C2(e < r < 1). Очевидно, что множество G плотно всюду в L^(e, 1)). Решение v r, в, t

функции йЩr,t) будут удовлетворять системе уравнений (6)-(8), где ®in> ain> ЬП заменены соответственно на —акп, —акп, —bП , а еП на dП,

i = l,...,m, к = 1, кп, и = 0,1,.... Из краевого условия (13) имеем

vi !г = 0, vi ti =4(r), (14)

t

i i i

Щ\г= о, <г|г = 0, к = 1,кп, п = 1,2,.... (15)

В п. 2 показано, что задачи Коши (10), (14) и (10), (15) имеют единственные решения. Отсюда найдем последовательно однозначные решения задач (6), (14), (7), (15) (п = 1) и (8), (15) (п = 2, 3,...). Таким образом, решение задачи (1*), (13) в виде (4) построено. Аналогичным образом строятся решения этой задачи, если

v(r,t) = р£(г)¥«(в), к=1,кп, п = 1,2,

Теперь покажем, что если а£(х) = О, а1(х) = 0, то решение задачи 2 и(х,Ь) тождественно нулевое. Из определения сопряженных операторов [5] следует

оЬи — пЬ*у = —оР(и) + иР{у) — uvQ,

где

т

Р{и) = ^^и^ сое N ^ ,хг) — щсов N

г=1

^ ^ ^а^в(М±,хг) + Ьсов(М±,г),

г=1

а

N ± — внутренняя нормаль к границе дВе. Далее, используя формулу Грина, получим

/С ~ ( ди до \ (уЬи - иЬ*у) <1ВЕ = / ( V — - и— \М + и'иЦ

ве &ве

¿в, (16)

где — конормаль к дБе, а М2 = ^ со82(Лг±,ж4) + сов2(Лг±^).

г=1

Из (16), принимая во внимание граничные условия (3) и тот факт, что на характеристических конусах Бе и Б1 конормальные производные совпадают с производной по касательному направлению [5], получаем

! и(г,в)и(г,в,Ъ)аБ = (17)

я

Поскольку линейная оболочка системы функций {р^(г)Укт(в)} плотна [9] в ¿2(Б), то из (17) заключаем, что и(х,0) = 0 Ух € Б. Пусть теперь у(г,в,Ь) — решение задачи Кош и для (1*) с данными о|Б = т(г,в) = тЩг)Укт(в), = 0, тЦг) € О в виде (4). Тогда из (16) также будем иметь

Jт(г,в)(ut + Ьu)dБ = 0. (18)

Таким образом, учитывая (17) и (18), приходим к однородной задаче Коши и(х,0) = 0, щ(х, 0) = 0 Ух € Я для уравнения (1). Следовательно, единственность решения задачи 2 доказана.

Теперь установим разрешимость задачи 2. Если ее решение искать в виде (4), то функции будут удовлетворять системе уравнений

(6)-(8). Из краевого условия (3) имеем

икп\Т1=ак1п{г), к = IX, п = 0,1,.... (19)

Далее рассмотрим уравнение (11), к которому сводится каждое уравнение системы (6)-(8), а условие (19) можно записать в следующем виде:

пг— 1 пг— 1

к = 1, кп, п = 0,1,....

(20)

Таким образом, пришли к задаче Гурса (11), (20), которая имеет единственное решение [1]. Следовательно, сначала решив задачу (6), (19) (п = 0), (7), (19) (п = 1) и т. д., найдем последовательно все йП( к = 1, кп, п = 0,1,....

Как и в [4,6], доказывается, что функция (4) является решением задачи 2, где йЩт,Ь) определяется из двумерных задач Гурса, причем принадлежит искомому классу. Теорема 2 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

2. Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Высш. шк., 1977.

3. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1985.

4. Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. Алматы: Гылым, 1994.

5. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1981. Т. 4.

6. Алдашев С. А. О задаче Дарбу для одного класса многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 1. С. 64-68.

7. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962.

8. Алдашев С. А. Спектральные задачи Дарбу — Проттера для одного класса многомерных гиперболических уравнений // Укр. мат. журн. 2003. Т. 55, № 1. С. 100-107.

9. Колмогоров А. Н., Фомин С В. Элементы теорий функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

г. Уральск, Казахстан

15 ноября 2007 г.