Задачи с отходом от характеристикии сопряжённые им задачи для одного класса многомерных гиперболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ЗАДАЧИ С ОТХОДОМ ОТ ХАРАКТЕРИСТИКИ И СОПРЯЖЁННЫЕ ИМ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

С.А. Алдашев, Р.Б. Сеилханова

Институт прикладной математики и информатики при АГУ имени К.Жубанова„

ул. Бр.Жубановых, 263, 030000, Актобе, Казахстан, е-таіІ:аИа5Н51©таіІ.ги

Аннотация. В работе для одного класса гиперболических уравнений исследованы задачи с отходом от характеристики и сопряженные им задачи. Доказаны корректности рассмотренных задач.

Ключевые слова: гиперболические уравнения, характеристика, сопряжённая задача.

В работе [1], для уравнения колебания струны изучались задачи Дарбу с отходом от характеристики, где обращено внимание на изучение этих задач для гиперболических уравнений. Многомерные аналоги этих задач для волнового уравнения предложены в [2]. С использованием изложенного в [3] метода, в данной работе для одного класса многомерных гиперболических уравнений исследованы задачи с отходом от характеристики, а также сопряженные им задачи.

1. Постановка задач и основные результаты. Пусть Ов - конечная область евклидова пространства Ет+1 точек (жі,..., хт, і), ограниченная конусами в|х| = і, |х| = 1—і и плоскостью і = 0 где |х| - длина вектора х = (х1,..., жт). Части этих поверхностей, образующих границу дОв области О в обозначим через Б в, Б1 и Б соответственно.

В области О в рассмотрим взаимно-сопряженные многомерные гиперболические уравнения

т

Ьи = ДХП — Пи + а*(ж, і)иХі + Ь(х, і)щ + с(х, і)и = 0 , (1)

і= 1

т

Ь*и = Дхи — ии — аіиХі — Ьюъ + Аи = 0 , (1*)

і= 1

т

где Дх — оператор Лапласа по переменным х1,..., хт, т ^ 2, А(х, і) = с — ^ аіХі — Ь4.

і=1

В качестве многомерного анолога задачи с отходом от характеристики рассмотрим следующую

Задача 1. Наптп в области Ир решение уравнения (1) из класса С'1(_0/з) П С2(В1з), удовлетворяющее краевым условиям

и

т(x),

и

а(х),

(2)

в

или

иі

= ^(х), и

а(х),

(3)

а также рассмотрим сопряженную ей задачи Дирихле и Пуанкаре.

Задача 2. Наптп в области Ир решение уравнения (1*) из класса С1 (Ир) П С2(И/з), удовлетворяющее краевым условиям

и

т(х), и = а(х), и

^(х)

(4)

или

и*

^(х), и = а(х),и

51

^(х) •

(5)

В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат XI,жт, £ к сферичес-

ким г, 6Ь..., 6т-1, £, г ^ 0, 0 ^ 61 < 2п, 0 ^ 6г < п, г = 2, 3,т — 1.

ПУСтЬ Кт(6)} - система линейно независимых сферических функций порядка п, 1 ^ к ^ кп, (т — 2)!п!кп = (п + т — 3)!(2п + т — 2), Ж^(£), I = 0,1,... - пространства

Соболева, а = {(г, 9) Е Б, 0 < г < у^д}-Имеет место ([4])

Лемма. Пусть f (г, 6) € Ж^(£). Если I ^ т — 1, то ряд

СО кп

/ (Г. 9) = ЕЕ fk М^тОТ

(6)

п=0 к=1

а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка р ^ I — т +1, сходятся абсолютно и равномерно.

Черезa1?n(г,t), &ПсП^ПрП, (г), ^П^ (г) <р%(г),обо;з-

начим коэффициенты разложения ряда (6), соответственно функций аДг, 6, £)р(6), а^р/г, Ь(г, 6,£)р, с(г, 6,£)р, С(г, 6,£)р, р(6), г = 1,...,т, т (г, 6), ^(г, 6), а(г, 6), <р(г, 6), причем

р(6) € Сте(Г), Г - единичная сфера в Ет.

Введем множество функций

сю кп

В (Б) = ] / (г,9) : / є И^(й) , (||/,к(г)||С2«од)) +

га=0 к=1

+ Н/„*(г)|&1([о,1])) ехр2(п2 + п(т- 2)) < оо, / > ^}

Пусть а*(х, і), Ь(х, і), с(х, і) Є Ж^(Ов) С С(Ов), і = 1,---,т, I > т + 1 и т(г, 9) =

= гт*(г, 9), V(г, 9) = г^*(г, 9), а(г, 9) = га*(г, 9), т*(г, 9), ^*(г, 9) Є В1(Б), а*(г,і

Є В1(Бв), <р(г, 9) Є В1(Б \ Б?в). Тогда справедливы:

Теорема 1. Задача 1 однозначно разрешима.

Теорема 2. Задача 2 имеет единственное решение.

Є

в

в

в

Теорема 3. Решение задачи 1 единственна, тогда и только, тогда, когда выполняется условие (5).

2. Разрешимость задачи 1. Сначала рассмотрим задачу (1), (2). В сферических координатах уравнение (1) имеет вид

ттъ 1 1

игг Н--------------иг-------т5и — Пи + / Яг (г, в, ї)иХі + Ъ(г, в, і)щ + с(г, в, і) и = 0 , (7)

Г г 2

І=1

т— 1

5

8Іпт-і-1 Є,

1д д

При этом известно ([4]), что спектр оператора * состоит из собственных чисел А; = п(п + т — 2), п = 0,1,... , каждому из которых соответствует ортонормированных собственных функций УП,т(^)-

Так как искомое решение задачи (1), (2) принадлежит классу С 1(!5в) ^ С2(Дд), то его можно искать в виде

ГО кп

^ Л ^ ■Лл/'к

(8)

га=0 к=1

где ига(г,£) - функции, которые будут определены ниже.

Подставим (8) в (7), умножив затем полученное выражение на р(0) = 0 и проинтегрировав по единичной сфере Г, для «П получим ([3])

р0и0 ГГ р0и0й +

т1

~Ро

+ УаІ0) и0г + ь0и0* + ^0 +

і= 1

со кп Ґ / 1 т

+ У! ^ ‘і Рп^пгг ~ Рп^'Ш + ( -------------------“----Р« + У! аіп ) Й4г + Чг^ +

;= 1 к= 1 І \ і= 1

+

рк

— Паіп)

^>2

і=1

и; > = 0.

Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений

(9)

1 1 1 1 -1 1 1

Ро^Огг РО^ОЫ Р0^0г ^ :

к—к к—к , т' 1 к—к А1 к—к

р1 и і Рі^шТ И1и1г 2 р1 1 —

Г г 2

1 / гп _ \ _____

-^(Е «іЬ^ог + + 5о«о ) , п = 1 , А: = 1, Аі ,

1

ркик _ рк ик +

гппгг гп піі '

кп-1 ( т

1к

/ у | у аіп— 1ип- 1г 1 ип-Рп—14

к=1 І, І=1

(11)

+

1 + ХХ^п-2 — (п — 1)аіга-1)

і=1

«п- 1 ^ , к = 1, кп , п = 2, 3.

Нетрудно убедиться, что если {й^}, к = 1, кп, п = 0,1,... - решение системы (10)--(11), то оно является решением уравнения (9).

Далее, учитывая ортогональность сферических функций У^т^) ([4]), из краевого условия (2), в силу (8), будем иметь

м£(г, 0) = т*(г), и*(г, /Зг) = (Т^іг), к= 1, кп , п = 0,1... .

(12)

Таким образом, задача(1), (2) сведена к системе задач для уравнений (10)-(11). Теперь будем находить решение этих задач.

Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (10)-(11) можно представить в

виде

.77к _ -к , ^\ г-к _ -к _ гкґ ,\

11пгг пЫ ' у, пг ^2 п о п\ "> )

(13)

где УПг (г, ^) определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом /о(г, £) = = 0. Произведя в (13) замену переменных й^(г, £) = г з22^(г, Ь) и полагая £ =

Г — 1

Г) = —, получим

к , [(т - 1)(3 - т) - 4Лга] к _ ек 1Фі + 4(^ + /?)2

«п = /п(£,П)

(14)

/«(?> V) = (£ + Л)™2 /«(? + Л-. С ~ ПРИ этом краевое условие (12) запишется в виде

(15)

^(0 = (20^^20, *№) = ((1 + аЮ^((1 + аЮ, 0<а

1-/3 1 + /3

< 1

к = 1, кп , п = 0,1...

Используя общее решение уравнения (14) (см.[1,5]), нетрудно показать, что решение задачи Коши для уравнения (14) имеет вид

1 1 11'

V) = ^^п(п)^Ььт£,V) + ^^ (£)#(£,£;6п) + [^(6)я(6,6;6п) -

д

£ п

(16)

т;{.ч)І«і-»і)<*Ь + / / /.ЇКьчі)я(&.чі;С.ч)<*Сі*д

-

2

к

п

(6 - П)(с - П) + 2(6П1 + СП)

(6 + П1)(с + П)

функция Римана уравнения

(14)( [6]), а PM(z)- функция Лежандра, р = n +

m—3

(Ci)

Ж

/ <9£i 5?/i

?1=,/1 = [Ш1 ~дщ + 56

?1=Ч1

N^ - нормаль к прямой в точке (£1, П1), направленная в сторону полуплоскости п < £-Из (16) при п = а£, используя краевое условие (15), получим интегральное уравнение первого рода

2Ж) = J <(Ci)Px

а£

& + се

(1 + Q')C?1

^9n(0 — ~Tn(a0 — Tn(0 +

(Q' - 1) / ^(6) р/ (« + 1)7 6 "

а£

Ci2 + «С2

(1 + Q')Vbl

dCi + 2аП(C)

которое дифференцированием сводится к следующему функционально-интегральному уравнению

"п(0 - = ^(£) , 0 < £ < (17)

где

С2 + аС2 dgk

^(eiKi+^(o №) = -£ (i+а)ш_ «с

В [7] показано, что функциональное уравнение (17) имеет единственное решение вида

= ,4(С) + I

1 — а2

(18)

а2£

где

(О +Д'/4Ю ,,к(^аГ

III ' S J 19 ’ ' S J ^ у

1 а2

1

°’ 2

G(C,Ci)

С2 - а3С2

а(1 + a)CiC £-<*? р, (1 + а')бе "

£ + а?е'

(1 + a')vbi.

Cl2 + Q-e2

(1 + Q')vbl

, а2С < Ci < аС,

аС < Ci < С-

Так как |PM(z)| < C = const ([8]), то ядро Gn(C,Ci) (19) допускает оценку

|Gn(C,Ci)l <

C

(1 + а)с

M.

(20)

Решение интегрального уравнения (18) будем искать в виде ряда

ГО

V«) = £ ), (21)

1=0

ю«) = /<п«), ",«) = /й„«,£,)и—1(^)^1, ; =1,2....

а2§

Из (20) получим следующие оценки

Ы£)! < тах |^п(С)| = — К О < тМ(1 — а)£ ,

[о.§]

2

11/2 (01 < тм2 —

и вообще

М01 < ■

Тогда для ряда (21) будем иметь

т 1 ( с V /с

= т ехр

1! V 1 + а \1 + а

1=0 1=0 4 7 4

Таким образом, интегральное уравнение (18), а также (17), имеет единственное решение. Следовательно, сначала решив задачу (10), (12) (п = 0), а затем (11), (12)

(п = 1) и т.д., найдем последовательно все й^(г, і) , к = 1,кп , п = 0,1,... .

Итак, показано, что

У'р(0)ьм^г = 0. (22)

г

Пусть /(г,9,{) = И(г)р(9)Т(Ь), причем Н{г) Є Уо, Уо - плотно в Ь2((^, 1 — 1)), р(9) Є С°°(Г) — плотна в Ьг(Г), а Т(Ь) Є У\, плотна в Ь2((0, ї+д))- Тогда /(г, 9, і) Є

Є V, V = Ус ® Г ® У1— плотна в Ь2(Дз) ([9]).

Отсюда и из (22), следует, что

J /(г, 0, £)Ьи^в = 0

и

Ьм = 0, У(г, 0, і) Є .

Таким образом, задача (1), (2) имеет решение вида

го кп

и(г, 9,і) = ^2 ^ г^г4(г, г)у£т(в) , (23)

п=0 к=1

где мП(г,^) определяются из (16), в которой (£) находятся из (18). Следовательно,

решение задачи (1),(2) построено.

Теперь рассмотрим задачу (1), (3) и ее решение также будем искать в виде (8). В этом случае условие (3) имеет вид

диП

дЖ

(24)

5=п

і£(0 = у/2(20тї1ф0, к \.к„. п = 0,1,... .

Далее, из (16), при п = с учетом (24), получим функционально-интегральное

5

ТП (С) + ТП (аС)= 9П(С) + [ ТП(Сі)^га(С> 1 > (25)

уравнение вида

где

9га (0 = 2^га -

а£

а£

д-е2 + Й

(1 + а')6ь1

Сп(Є, Сі)

а' ~ і р>

(1 + а)6 "

^і, 9^(С) Є С

1'

2

(1 + а)£

Так как интегральный оператор, стоящий в правой части равенства (25), вполне непрерывен, то, как показано в [7], функциональное уравнение (25) имеет единственное решение. Следовательно, функция (23) является решением задачи (1), (3), где м^(г, £), к = 1, кп, п = 0,1,... определяются из (16), при этом т^(£) находятся из (25).

Учитывая ограничения на заданные функции т(г, 0), ^(г, 0), а(г, 0), анологично [3], можно доказать, что полученное решение м(г, 0,£) в виде (23) принадлежит искомому классу.

Таким образом, разрешимость задачи 1 показана.

3. Единственность решения задачи 2. Сначала рассмотрим задачу (1*), (4). Для этого построим м(г, 0, ^) — решение уравнения(1), удовлетворяющее краевым условиям

и\

т(г, в) = тп {г)¥п (в), и „ = 0, А: = 1, кп

п

0,1,...

(26)

(г) € V, где V — множество функций т(г) из класса С2(0 < г < 1) П С 1(0 < г < 1). Очевидно, что множество V плотно всюду в Ь2((0,1)). Функцию м(г, 0,£) будем искать в виде (8). Тогда, для (£, п) получим уравнение (14) с краевыми условиями

<(£,£) = те), <(€, «О = о, о<£<-

п

0, 1, ...

(27)

Как показано в п.2, задача (14), (27) имеет единственное решение.

Таким образом, решение задачи (1), (26) в виде (23) построено, где мп(г, £), к = 1, кп,

к(

n = 0,1,... определяются из (16), в которой (£) находятся из (18)

Из определения сопряженных операторов ([10])

uLu — uL*u = —uP(u) + uP(u) — uuQ ,

где

m

P(u) = uXi cos (N^, Xj) — ut cos (Nx, ,

i=1

m

Q = a cos (Nx + b cos (Nx,

j=i

а N^ — внутренняя нормаль к границе , по формуле Грина имеем

ds, (28)

(uLu — uL*u)dDe = /

dDe

du du .

- “w 1M + “t,Q

где ^7— конормаль к dDp, a M2 = J2 cos2 +cos2 (iV-1-,^) . Из (28), принимая во

І= 1

внимание однородные граничные условия (4) и тот факт, что на характеристическом

c*1 d *-•

конусе b конормальная производная совпадает с производной по касательному

направлению ([10]), получим f т(r, 0)u(r, 0, 0)ds = 0. Отсюда, поскольку линейная обо-

s'

лочка система функций {f^(r)!^ (0)} плотна ([9]) в L2(S), заключаем, что

ut(r, 0, 0) = 0, V(r, 0) Є S. Следовательно, в силу единственности решения задачи Коши

([10]) : L*u = 0,

u(x, 0) = ut(x, 0) = 0, будем иметь u(x,t) = 0, V(x, t) Є Dg.

Единственность решения задачи (1*), (4) показана. Аналогичным образом доказывается единственность решения задачи (1*), (5).

4. Разрешимость задачи 2. Сначала рассмотрим задачу (1*), (4). Ее решение будем искать в виде ряда (8). Тогда, как в случае задачи (1), (2) функции u^(r, t) будут удовлетворятв систему уравнений (10)-(11), где а*?п, а%п, Ь^г заменены соответственно на —а%п, —с^п, —6^, а на сі^, і = 1, к = 1, кп, п = 0,1,... .

Из краевого условия (4) имеем

Vn(r, 0) = Т.п (г) , О < Г < 1 , v*(r, /5г) = (?n{r) ■> 0 < г < ^

1 + /3

v^(r, 1 — г) = <p^(r), Y~\~j3 — г — ^ = 1’ ’ /г = 0,1,... •

(29)

Далее, рассмотрим уравнение (14), к которому сводится каждое уравнение системы (10)-(11), при этом условие (29) запишется в виде

V) = тп('П) , 0 < ц < ]- , г£(-, ц) = <т*(г1) , 0 < ц < 1]о ,

2 а

V) = ¥п('П) , По < V < \ , ^п(??)

1 + - IV а

771 — 1 2

-к

1 + -|"

(30)

й(п)

771 — 1

5 + ч) ' й(^ + ч

По

2(1+7)) >°' *=1Л>> п = м...............

Из решения Коши (16) при £ = и £ = |, используя краевые условия (30), получим интегральные уравнения первого рода

где

^к (п) = (ыр

21

а

£(п) = у (6)Р,

п

>1 (I +

(! + £) ^

<%, 1, 0 < п < По

К») = 2*4<ч) - тп('п) - 4 (I) + {Ьг|§ /

Й + ь

6 (I +??)

>/2^(^) = 2(7^1) - т^(г}) - т* +

(! ~ а) [ ^(6) р! (1 + а') У и м

£ + Ы2 (1 + й е.ч

1

которые дифференцированием сводятся соответственно к следующему интегральному уравнению Вольтерра второго рода

1/к (С

'г1и;е1(1 + 2?/)2 м

£ + ь

& (I + п)

^ ^ ап

(31)

и функционально-интегральному уравнению

"М -'УКЫ) = К(ч) , 7=“, 0 < /7 < ?7о

а

(17')

где

тп

(1 + 7 )п 6

ап

Как показано в п.2, уравнение (17') имеет единственное решение.

Следовательно, ряд (23) является решением задачи (1*), (4), где и^(г, £), к = 1, кп, п = 0,1,... находятся из (16), в которой ^(£) определяются из уравнений (31) и (17').

а

2

Теперь рассмотрим задачу (1*), (5) и ее решение также будем искать в виде (8). Тогда, как в случае задачи (1*), (4), функции будут удовлетворять уравнению (14), при этом условие (5) запишется в виде

ди

дЖ

5=п

1

0 - П ~ 2

уп п) = <Тп(п) > 0 < V < По

(32)

Цг Ч) = Ц>п(п) > >10 <Г1<- , к = 1, А:„ , п = 0,1,... .

Далее, из (16) при £ = ^ и £ = с учетом (32), получим следующее интегральное уравнение Вольтерра второго рода

ткЬ])= [ тк(£і)—--------------

ГпУЧ) у (1 + 2/7)<Єі Л'

и функционально-интегральное уравнение вида

74

Тга (п) + Тга (7П) = 9га(п) + / Тга (, 6 , 0 < п < По

(25')

где

74

ЯпЬі) = 2^п(’і) - -Л 'Шр,

(2 + ’?) ' Сі + 7П2

_(1 + 7 )П 6

% 1,

«га (С, С1)

—---—Р'

(1+7)6 "

С2 + 7П2

_(1+ 7)Пб_

В п.2 показано, что уравнение (25') имеет единственное решение.

Таким образом, ряд (23) является решением задачи (1*), (5), где ук(г,1), к = 1, кп, п = 0,1,... находятся из (16), в которой т^(£) находятся из уравнений (33) и (25'). Следовательно, решение задачи 2 построено.

5. Единственность решения задачи 1. Сначала рассмотрим задачу (1), (2). Для этого построим и (г, 0, £) - решение уравнения (1*), удовлетворяющее краевым условиям

и\

5 и = 0 , А = 1, к„ , п = 0,1,...

(34)

тк(г) € V. Функцию и(г, 0,£) будем искать в виде (8). Тогда, для (£, п) получим

уравнение (14) с краевыми условиями

Чг('n,v) = Tn(v), 0 < rj < -

\а

0 , 0 < n < По,

(35)

0,

В п.4 доказано, что задача (14), (35) однозначно разрешима.

Таким образом, решение задачи (1*), (34) в виде (23) построено.

Далее, как показывалась единственность решения задачи (1*), (4) в п.3, завершается доказательство единственности решения задачи (1), (2). Аналогичным путем устанавливается единственность решения задачи (1), (3).

При в = 1 в [12] доказана

Теорема 3. Задача 1 имеет бесчисленное множество решений.

Пусть, теперь, 0 < в < 1. Тогда, из теорем 1 и 3 вытекает справедливость следующего критерия: задача 1 однозначно разрешима в < 1.

В заключение отметим, что для многомерного волнового уравнения задачи Дарбу и Дирихле изучались в [12-14].

1

к

Чг \-;, V

2

Литература

1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А.В. Бицад-зе. - М.: Наука, 1981. - 448 с.

2. Protter M.H. New boundary value problems for the wave equation and equations of mixed type // J.Rath.Mech.Anal. - 1954. - 3;4. - P.435-446.

3. Алдашев С.А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений / С.А. Алдашев. - Алматы: Гылым, 1994. - 170 с.

4. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения / С.Г. Михлин. - М.: Физматгиз, 1962. - 254 с.

5. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа / А.В. Бицадзе. - М.: Изд. АН СССР, 1959. - 164 с.

6. Copson E.T.// J.Rath. Mech.and Anal. - 1958. - 1. - P.324-348.

7. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г.С. Литвинчук. - М:Наука, 1977. - 448 с.

8. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.2 / Г. Бейтмен. - М.: Наука, 1974. - 296 с.

9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров. - М.: Наука, 1976. - 544 с.

10. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.4, ч.2 / В.И. Смирнов. - М.: Наука, 1981. - 550 с.

11. Алдашев С.А., Нуржанов Ш.Т. // Вестник КазГУ. сер.мат., мех.,инф.,Алматы. -

1997. - 8. С.6-16.

12. Алдашев С.А. // Известия НАН РК, сер.физ. -мат.наук. - 2010. - 3. - С.3-7.

13. Алдашев С.А. // Доклады НАН РК, Алматы. - 1995. - 1. - С.35-37.

14. Алдашев С.А. // Укр. матем. журнал. - 1996. -48;5. - С.701-705.

PROBLEMS WITH DEVIATION FROM CHARACTERISTICS AND CONJUGATE PROBLEMS FOR ONE CLASS OF MANY DIMENSIONAL HYPERBOLIC EQUATIONS S.A. Aldashev, R.B. Seilkhanova

Institute of applied mathematics and informatics ASU K.Zhubanova,

Zhubanov br., str. 263, 030000, Aktobe, Kazakhstan, e-mail:[email protected]

Abstract. Problems with deviation from characteristics and ones conjugate to them are investigated for the class of hyperbolic equations. The correctness of these problem are proved.

Key words: hyperbolic equations, characteristics, conjugate problem.