Задача о растекании пластического слоя, состоящего из разных сред Текст научной статьи по специальности «Физика»

Заключение

Базовый эксперимент, по результатам которого определяются материальные функции, достаточно прост и легко реализуем. Метод идентификации материальных функций строится на обработке экспериментальных кривых и не связан с определением пределов текучести и других величин с какими-либо допусками на деформации, что обычно вносит неоднозначность в получаемые результаты. Метод идентификации материальных функций алгоритми-чен и позволяет достаточно просто проводить компьютерную обработку данных базового эксперимента и определять материальные функции.

Литература

1. Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории. - М.: Изд. АН СССР, 1963.-271 с.

2. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. - М.: Изд-во МГУ, 1990. - 310 с.

3. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах. -Л. Машиностроение, 1990. - 224 с.

4. Бондарь B.C. Неупругое поведение и разрушение материалов и конструкций при сложном неизотермическом нагружении. // Автореферат диссерт... .д.ф-м.н. - Москва: МАМИ, 1990. -40с.

5. Бондарь B.C. Неупругость. Варианты теории. - М.: Физматлит, 2004. - 144 с.

6. Бондарь B.C., Даншин В.В. Пластичность. Пропорциональные и непропорциональные нагружения. - М.: Физматлит, 2008. - 176 с.

7. Волков И.А., Коротких Ю.Г. Уравнения состояния вязкоупругопластических сред с повреждениями. - М.: Физматлит, 2008. - 424 с.

Задача о растекании пластического слоя, состоящего из разных сред.

д.ф.-м.н. проф. Кадымов В.А. Университет машиностроения 8(495)2230523; vkadymov(ajyandex.ru

Аннотация. Представлено одно приложение теории течения пластического слоя между сближающимися поверхностями рабочих тел инструмента, моделирующей процессы штамповки и прессования тонкостенных элементов конструкций. В рамках упрощенной постановки сформулирована краевая задача течения тонкого пластического слоя в клиновидной области, составленной из двух разных сред. Выписано точное решение задачи относительно скоростей течения и контактного давления. Выведено эволюционное уравнение для определения границ растекающегося пластического слоя. Показано, что границы клиновидных областей остаются прямыми.

Ключевые слова: краевая задача, растекание пластического слоя, эволюция границ, линия ветвления течения.

Рассматривается задача о свободном растекании между сближающимися жесткими шероховатыми плитами пластического слоя постоянной толщины [1,2,3] в клиновидной области, состоящего из двух разных сред с начальными углами раствора ОСх и ОС2 соответственно

(рисунок 1). Подобная задача, в условиях симметрии области, в постановке «модели идеальной жидкости» решена в [4].

Выберем неподвижную систему координат оху, в которой в начальный момент t = /п

указанная область задается углом ß2 > 0 . При этом уравнения границ растекающейся области в начальный момент заданы уравнениями:

1\\у = кхх, кг>0, Г2 :у = к2х, к2<0, Г12:у = к0х,

где: к], к2, к0 определяются через а}, а2 и /?2:

Щ$2 = -к2, \%(а2-$2) = к0, 1§[а1+(а2-р2)] = ^1

у

(1)

Г г\у = кгх

Рисунок 1 - О растекании в клиновидной области пластического слоя, состоящего из двух разных сред

Выпишем основные уравнения краевой задачи течения пластического слоя на плоскости (в размерных величинах, I > 1Л):

др дх др оу

2-х

Бк

и

Ь л/»2 +л'2

2-х

Бк

Л 4гг +У2

ди ^ с\' с!к ^

дх ду Л

(2)

(3)

(4)

а также условия на неизвестной границе раздела двух сред Ги(у = <р0(х,г),г>г0), которая в начальный момент задана уравнением ср() (х./,,) = ких :

А = Рг, (5)

^ + = (6)

& дх

и на неизвестных свободных границах Гт = срт (х,?),? > = 1,2), которые в начальный момент также известны {срт (х./и ) = ктх}:

Р = 0, (7)

^ + (8)

д1 дх

Здесь - контактное давление и скорости течения; опк = л/Зг^ (к = 1,2) - предел

текучести пластического материала в области ^ и соответственно, причем для определенности положим, что ст^ < сг,-, (как показано на рисунке 1); И - /?(/) - известный закон изменения толщины слоя; - степень деформации; /?п = /?(/„) .

Пусть Ьп - характерное значение линейного размера слоя. Вводя безразмерные величины ¿г = /?п/£п, 8 = сгл|/сгл2 > 1, /;,, = , = , перепишем соотношения

задачи в безразмерных величинах:

др _ 2 1 й

(2')

в S, (3')

а*7 л/з л Vw2+v2

2 1 v _ dp 2 1 /7

§_£_ =--------/оич

^ л/3 Л 1 J

_ с^ 2 1 v

5— = —= , в ^ п")

¿57 л/3 /7 ( }

дй dv d X „ „ — +---= 0 (4')

дх ду dT

Pi=P2, (5')

±+^ = v,Hai;2 (6') ot ox

P = 0, (7')

+ , на ад = 1,2) (8')

Задача решается в безразмерных величинах. Для удобства записи черточки над безразмерными величинами ниже опускаем. Как известно [1], внутри области течения существует линия ветвления течения, образованная пересечением двух различных линий тока и на которой и2 + v2 =0 .С другой стороны, при h = h(t) линиями тока служат прямые, ортогональные

к контуру свободно растекающегося пластического слоя. Пусть Mn(xn,_yn) - некоторая точка на линии раздела двух сред Гп. Для определенности положим, что

asl -sinotj > as2 -sina2. (9)

Предположение (9) означает лишь, что линия ветвления течения в начальный момент t = /п располагается в области S1. Поэтому продолжим линию тока, исходящую из области S-,, в область S1, отсчитывая от точки М() е /'р. Для этого найдем угол преломления я/2 - ar3 линии тока в точке Мп [3]:

dp(s) dpdx dpdy 2 f к ) 2

—= ---ь——— = —=—cos —a^ =—^cosa,, o-cosa, = sina.,, (10)

ds dxds cyds ^hb U "J >/зй 3

где: 5 - параметр длины дуги вдоль линии Гг .

Формула (10) означает, что при пересечении линии раздела двух пластических сред линия тока преломляется, причем угол преломления увеличивается при прохождении в «менее плотную» среду (аналогия с оптикой). Из (10) следует, что все линии тока входят в область S-, под постоянным углом к оси ох. Теперь, зная линию тока, исходящую из точки М() е /'р ,

можем найти на ней точку Мв (хИ,уИ) ветвления течения из следующего условия:

В (11) справа стоит выражение для контактного давления в точке Мв, найденного

s = ■

вдоль другой линии тока, исходящей от контура 1 j, причем величина

_\кл-хв-ув\ = кл-хв-ув

л/i+

есть расстояние от точки Мв до границы /\. Находим оставшиеся в (11)величины:

OM0=jx¡+y¡ = х0-ф^. (12)

Уравнение прямой МпМв:

>'o->' = tg(Po+a3)-(x-xo)5 (13)

где: Р0 = arctgк0 >0. Из (10) получаем:

= ^ = (.4)

1 - tg р0 • tg а3 sin а2 _ k0 ■ ^/б2 - sin2 а2

С другой стороны,

lga2=tg[(a2-W + M = IMly:

tg(a2-p2) + tgp2 _ k0-k2 tgp2 \ + к0-к2

sin а2 = = > 0. (15)

Подставим (15)в(14)и найдем к5 в зависимости от кп, к() и ó :

ка-(ка-к2) + ^2-(1 + ка-к2)2+(82-1)-(ка-к2)2 «S =-I (16)

(к0 -к2)~ К • ^/б2 • (1+К ■k2f+ (б2 -1) • (К - к2 )2 В частности, при 5 = 1 (т.е. пластическая среда - однородная) из (16) получаем, что

ks=~- (16')

Условие (16') означает, что при пересечении линии раздела Гг линия тока не преломляется. Из (13) получаем:

МсМв =л1(Ув~ Уо )2+(хв~ хо f = \хв - хо I • >А + ' (17)

где учтено, что

У в = У о +к}-(хв~ х0) = К ' хо +к}-(хв ~ х0) • (17') Подставим (12),(15),(16),(17) в (11):

1 / /, ГТ\ • I I L 71 кл-хв-(у0+к,\хв-х0)) -■[х0-ф + к0 • sinа2 + хв -хп • у 1 + к} =---

5 у 1 J1 + к{

Разрешим последнее соотношение относительно хв{хв > х0):

Л к2, ку, б) /2 (кл,к2,к0,б)

Хв — Х0

(18)

1

к5-к0 _ 1 л/l + k2 (к0-к2) г—т к5-к{

где: /г = --^¡l + kc2 вта2+^1 + к2 + = - ■ у " , +jl + k2

5 vl+v 5^(i+k0k2y+(k0-k2y 4\+к

/2 =М + к52 -

к^ к5

1+к2

Как видно из (17)',(18), линия ветвления (ЛВ) в момент 1 = t(í есть прямая:

Ув=*„■*„, ь, Ч (19)

л

В частности, при 8 -1 формула (19) упрощается:

кв= 2Л/; ' г , (19-)

arctg кв - arctg к2 = arctg кл - arctg кв = ~ (arctg кл - arctg к2). (19")

Формула (19") означает, что для однородного пластического слоя линия ветвления рав-ноотстоит от линий свободных контуров 1\ и 1\. Если дополнительно принять, что кп = -кл, то получаем:

кв= 0, (19"')

т.е. линия ветвления совпадает с осью ох.

Получим теперь зависимости для контактного давления и скорости течения в начальный момент. Рассмотрим сперва область , ограниченную линиями 1\иГв. Линия тока,

проходящая через точку М(х,у) е Л",в:

кл

Последнее условие, с учетом (19), разрешается относительно хв :

кл • у + х

Хс.

А^ • кв +1 Тогда,

(20)

, ч 2 {кл-х-у)

СЛ1 V Л | (Л1 Л-| (Л1 Л| ч 1

(22)

12 ) + л4 Ж кх-кв+ 1

7Г

у = --р! =Г-со8Р!= . --^-^ =--^-(23)

I ^ Н1 I И /^Т Л к Л к-к„+1 1 ;

Г (хв-х) _с1\ (у-кв-х)

V- У ""

где: Р) = arctg^1 > 0.

Рассмотрим теперь область , ограниченную линиями Гв и Гг . Линия тока, проходящая через точку М (х, у) е , имеет вид:

У-Ув=к5-(х~хв)-Разрешим последнее условие относительно хв:

у-к5-х

Хг> '

кв к5

(24)

Тогда,

Их,,) = + = =

(

л/ЗА

у-к5-х) \кл-кв) + 2 \у-кв-х

V к в к5 у

л/ЗА

V к в к- у

2

5 '

^ (х>>')= ^'(мвм) = ■ д/(хв -х)2 +1(ув -у)2 = ^■ Iх-хв\■

<3% Ж

( \ Л <3% Г гт у - кв -х

■(хв-х)^1 + к5 =- — .^1 + к5 У в

и

= -V ■ сое (а3 + Р„) = -

V

Ж

кл к?

/ ч <ЗХ у-к„-х --(хв-х) =----2-

clt к?

1 + 1ё2(а3+р0)

Ж

Ж

ка к?

(25)

(26)

(27)

Рассмотрим, наконец, область , ограниченную линиями Гг и Г^. Линия тока, про

ходящая через точку М (х, _у) е £В2, имеет вид:

1

у = уа-—\х~ха),

(28)

Разрешим последнее условие относительно хп:

к2- у + х

хо ~

к2 ■ к0 +1

Тогда,

,(х \= 2 \к2'х~у\_ 2 -к-х + у

'[х,у) л/злб' >/зл5' '

(29)

(30)

Скорость течения в точке Мп допускает разрыв. Найдем скорость в точке Мп, со стороны рассматриваемой части области течения, используя непрерывность нормальной скорости, а также условие (26):

совой Ж

кв к5 С08СС2

С другой стороы, согласно (10) и (15),

1

соза2 =

1 + к0 ■ к2

Л](1+к0-к2)2+(к0-к2у'

' 1 . , р-(1 + к0.к2)2+(52-1)-(к0-к2)2

эта, = ^1-со82 а, = .1—--8т2а2 =

^ " 6-^(1 ■ к -к:) (к к.)

В результате,

Ж

К к и к,, - к.

Г(х,у) = Г(М02) + ^-(М0М) = Г(Мт) + ^(х-х0)2+(у-у0)2 =

.¡д2 ■(1 + к0-к2)2 +(52 -1)-(к0-к2)2 5-(к2-к0+\)

Ч> '

(31)

(32)

(33)

(34)

М + к2 ¿Х , ч

-к.

к2к0+1

1 + к

кп -к,

2 Л0

2 (1 + )2 + (б2 -1) (к0 - к2 )2

к„ -Ь

+ х) - (у - к0х)

и (х,у) = -V (М).со^|-Р2] = -V (М) ■ вт р2 = ^

а ^

СОБ Рт =--

Л

\|/ • к2

у(х,у) = -V (М).8т^|-р2] = -V (М) ■

у

(35)

Итак, нашли распределение р,и,У во всей области течения в начальный момент. Покажем, что линии /'Р остаются прямыми. Допустим, что они остаются прямыми, то есть их можно задать уравнениями:

Г1:у = к1^)х, Г2:у = к2^)х, Ги:у = к0^)х. (36)

Подставим (36) в кинематические условия (8'):

¿А, кл ■ [у - кв ■ х) _ ¿А, (У~кв ■ х)

Г^. к-^' х к-^ ■

Ж кл-кв+1 кл-кв+1

в которой использованы формулы (23) относительно скоростей, а у = кл-х. Или

• с1Х к2 ■ (к] - кИ) _ сГк кл-кв (Ик, _{кл-кв\{\ + к2) ; ; : ; Г' Л '

Ж к -к„+1

Ж к -к„+1

к ' к & +1

(37)

Ч "В 1 * "1 "В 1 * "1

Аналогично получаем дифференциальное уравнение относительно Г^:

¿А, \|!-кп <ЗХ \|/ Ж

Г ^ • к >2' ус + к 2'

Ж

лД+Л?'

где: ц/ определяется из (34), в которой = к2Х : \|/(х) = \|/п • х,

Уо =

к2' К +1

К_кв_

кл — к*

^2\1 + к0-к2)-+(Ь2-1}{к0-к2У Ъ-(к2-к0+\)

{к2+\)-ф^г-(к2-к0)

или

ак

В частности, при 8 = 1 формулы (37) и (38) упрощаются:

Г ■ -

2 ¿Д.

Г1^ = кл.(\ + к2). "к2\\ + к22), \|/0 =

к 2 -д/1 + ^2 '

(38)

(37')

(38')

т.е. получили известное дифференциальное уравнение задачи о растекании однородного пластического слоя, занимающей область формы клина.

И, наконец, третье дифференциальное уравнение (6') относительно Г12:

/ Жк у-кв-х (у-кв-х)-к5

1 ю • Лл • X Лл •

к-о кг

ж

к п к с

'5 "В "5

где использованы формулы (27) для скоростей, в которых у = к()х. Или,

^/А/ Ак5

Система нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка (37), (38), (39) в

общем случае решается численными методами. В результате получаем законы (36) изменения границ пластических областей в процессе растекания.

Заключение

1. Представлено в полном виде точное решение несимметричной задачи о растекании пластического слоя, составленного из двух клиньев, «в модели идеальной жидкости».

2. Показано, что границы этих клиньев остаются прямыми в процессе растекания. Выведены уравнения для эволюции их границ.

3. Установлено, что линия ветвления течения остается прямой в процессе растекания. Выведена формула для нахождения линии ветвления течения.

Литература

1. Ильюшин A.A. //ПММ. 1954. т. 18. № 3. с. 265-288.

2. Кийко И.А. Теория пластического течения // М.: МГУ, 1978. - 75 с.

3. Белов H.A., КадымовВ.А. //Изв. РАН. МТТ. 2011. № 1. с. 46-58.

4. Белов H.A., Кадымов В.А. // Матер, межд. научн. конф. «Совр.пробл. матем.,мех. и инф-ки». Тула: ТулГУ. 2012. с. 150-157.

Многокритериальное оптимальное проектирование дисков турбомашин

д.т.н. проф. Темис Ю.М., Якушев Д. А.

Университет машиностроения tmamami.ru

Аннотация. Рассмотрена концепция использования методики многокритериального оптимального проектирования при проектировании конструкции дисков роторов для турбомашин. Конструктивная оптимизация (оптимизация формы) применена для оптимального проектирования диска компрессора в зависимости от различных факторов нагружения и критериев оптимизации. Рассмотрены критерии массы, прочности, радиального перемещения. Результаты получены с помощью программного комплекса, состоящего из модуля анализа конструкции на основе метода конечных элементов и модуля оптимизации на основе алгоритма последовательного квадратичного программирования.

Ключевые слова: оптимальное проектирование, диск компрессора

В процессе создания современных газотурбинных двигателей (ГТД) широко используют системы и средства автоматизированного проектирования. Процесс создания новой конструкции является итерационным и многостадийным, и оптимальное проектирование как один из этапов автоматизации сокращает трудоемкость проектирования, позволяя найти наилучшую конструкцию, удовлетворяющую технологическим и прочностным ограничениям и обеспечивающую минимум заданной целевой функции [1-3].

Процесс оптимального проектирования делят на несколько последовательных стадий: формирование функции цели, критериев и ограничений; параметризация формы деталей и выбор параметров управления формой; создание расчетной модели; выбор метода оптимизации; решение задачи оптимизации. Функции цели, критерии и ограничения зависят от постановки задачи оптимизации и назначения детали или конструкции. В задачах проектирования конструкции ГТД наиболее часто используют критерии минимума массы, максимума жесткости, минимума зазоров между ротором и корпусом при удовлетворении ограничений по прочности и технологичности. В задаче оптимизации формы детали определение функция цели задает набор ограничений, накладываемых на параметры проектирования (размеры и