Некоторые точные решения эволюционного уравнения растекания пластического слоя на плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

в силу неравенства Коши-Буняковского-Шварца. Следовательно, функция In J- выпукла вниз и ее график на отрезке [ti, ¿2] лежит ниже секущей, т.е. InF ^ + t^-ti ^-^""(¿г)-

Отсюда получаем

F < [Hh)}1^ ■ [Hh)]1^-

Поскольку J-(t\) = 0 (по крайней мере, когда t\ = 0), из последнего неравенства вытекает, что J~(t) = 0 для t € [¿1,^2]) а значит, и при всех t. Тогда из (14) в силу непрерывности w следует, что w(x,t) = 0 в области V х [0,Т], и теорема единственности доказана.

Замечание 2. Приведенное доказательство, будучи формально верным, оставляет неудовлетворенность, поскольку использует вытекающее из закона изменения энергии (при данных граничных условиях) "нефизичное" равенство (12), означающее, что для полностью однородной задачи энергия тела, равная нулю в начальный момент времени, может становиться отрицательной с течением времени. Однако равенство (12) можно считать физичным, когда обе его части равны нулю. Если в соответствии с этим в условия теоремы добавить требование, чтобы энергия разности двух решений, равная нулю в начальный момент времени, оставалась равной нулю и в последующие моменты времени, то доказательство единственности можно проводить по той же схеме, принимая в качестве J-(t) функцию, равную первому слагаемому в (14).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 15-08-02425).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Петрашень И. Г. Основы математической теории распространения упругих волн // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Вып. XVIII. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978.

2. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986.

3. Носов С.Е. Теорема единственности решения задачи динамической теории упругости при граничных условиях винклеровского и инерционного типов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1995. № 5. 66^70.

4. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике. М.: Наука, 1980.

5. Knops R.J., Payne L. Е. Uniqueness in classical elastodynamics // Arch. Ration. Mech. and Anal. 1968. 24. 349-355.

6. Knops R.J., Payne L. E. Uniqueness theorems in linear elasticity. N.Y.: Springer, 1971.

7. Исраилов М.Ш. Динамическая теория упругости и дифракция волн. М.: Изд-во МГУ, 1992.

Поступила в редакцию 23.01.2015

УДК 539.374

НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ РАСТЕКАНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ НА ПЛОСКОСТИ

В. А. Кадымов1, E.H. Сосенушкин2, Е. А. Яновская3

1

Рассматривается течение тонкого пластического слоя, заключенного между двумя сближающимися по нормали плоскостями твердых плит. Исследована кинематика процесса растекания пластического слоя и выведено эволюционное уравнение, определяющее свободную границу растекающейся области. Представлены классы решений подобия этого уравнения. Показано, что эволюционное уравнение сводится к частному случаю нелинейного уравнения теплопроводности. Выписаны новые точные частные решения эволюционного уравнения, полученные с помощью метода разделения переменных и метода автомодельных преобразований.

1 Кадымов Вагид Ахмедович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. прикладной математики ФГВОУ ИВО МГГЭУ, e-mail: vkadymovQyandex.ru.

2 Сосенушкин Евгений Николаевич — доктор техн. наук, проф. каф. систем пластического деформирования МГТУ "СТАНКИН", e-mail: senQstankin.ru.

2 Яновская Елена Александровна — канд. техн. наук, доцент каф. прикладной математики МГТУ "СТАНКИН", e-mail: elena_yanovskayaQbk.ru.

Ключевые слова: осадка пластического слоя, постановка краевой задачи, свободное растекание на плоскости, уравнение для эволюции границ.

The flow of a thin plastic layer between two rigid plates approaching normal to each other is considered. The kinematics of plastic layer spreading is studied. An evolution equation determining the free boundary of the spreading region is derived. The similarity solutions of this equation are analyzed. It is shown that the evolution equation can be reduced to a particular case of the nonlinear heat conduction equation. New exact particular solutions to the evolution equation are obtained using the variable separation method and the method of self-similar transformations.

Key words: plastic layer compression, boundary value problem formulation, free flow on the plane, boundary evolution equation.

Рассматривается задача о свободном растекании пластического слоя между параллельно сближающимися плоскостями тел инструмента, моделирующая технологический процесс штамповки тонкостенных элементов конструкций. Для описания указанного класса задач о течении тонкого пластического слоя A.A. Ильюшиным была предложена осредненная по толщине слоя двумерная математическая модель [1], к которой приводится исходная трехмерная задача течения идеально пластического тела. Переход к двумерной задаче осуществлялся на основе специальных гипотез, предложенных в [2] в результате анализа известного решения Прандтля задачи об осадке в вертикальном разрезе плоского слоя пластического материала. На контактных поверхностях принималось условие полного проскальзывания материала, а касательные напряжения достигали максимального значения, равного пределу текучести материала слоя на сдвиг. В рамках этой модели A.A. Ильюшин сформулировал краевую задачу в области с подвижной границей относительно трех неизвестных функций: контактного давления и двух компонент скорости течения.

В настоящей работе под областью, занятой тонким пластическим слоем, будем понимать ее проекцию на плоскость течения. Пусть тонкий слой пластического материала в начальный момент времени занимает область S, ограниченную кусочно-гладким контуром. Слой сжимается жесткими плоскостями массивных плит, движение которых задано, поэтому толщина слоя — известная функция времени (и, вообще говоря, координат). Наложим дополнительные ограничения на область течения, а именно предположим, что выполнены следующие условия:

1) область, занятая пластическим слоем, свободно растекается на плоскости и симметрична относительно оси Ох;

2) линия ветвления течения (т.е. множество точек внутри области, в которых осредненная по толщине слоя скорость течения равна нулю) принадлежит оси Ох.

В этих предположениях задачу определения контура свободно растекающегося пластического слоя на плоскости удается ставить и решать отдельно от краевой задачи свободного растекания пластического слоя в области с подвижной границей. Данная задача о свободном растекании пластического слоя формулируется следующим образом: требуется найти симметричную относительно оси х кривую у = ip(x,t\), удовлетворяющую нелинейному эволюционному дифференциальному уравнению [3, 4]

Здесь t\(t) = \n(h(to)/h(t)) — некоторое безразмерное модифицированное время, монотонно меняющееся со временем, a h(t) — толщина пластического слоя. Момент времени t = to соответствует начальному безразмерному времени t\ = 0. Координаты х, у могут считаться как размерными, так и безразмерными (обезразмеренными на h(to)).

Уравнение (1) было впервые получено в работе [3], где доказана теорема об асимптотике решения уравнения (1): область S, ограниченная гладкой выпуклой кривой, при больших временах (t —>■ +оо) сколь угодно мало отличается от круговой.

(1)

с начальным условием, определяющим контур области в исходном состоянии:

íi(í0) = 0 : у = <А)(ж).

В работе [5] показано, что уравнение (1) с помощью преобразования (р(х,Ь\) = е11и}(х,т), т = е2*1 /2, сводится к некоторому частному виду уравнения нелинейной теплопроводности [6] относительно функции ъи(х,т):

дъи 1 д ( 2 ди>\

дт 2 дх дх) ' ^

Укажем также и обратное преобразование ги(х,т) = <р(х,Ь\)/\/2т, ¿1 =1пу/2т, с помощью которого осуществляется переход от уравнения теплопроводности (2) к уравнению растекания (1). Выделим еще один вид уравнения растекания, к которому приводит замена д = ио2:

^ дт ^ дх2 ^ (<9ж) ' ^

Следует признать, что уравнение эволюции границы, записанное в форме (2), выглядит наиболее простым, к тому же дивергентный вид этой формы удобен для численного исследования задачи Коши данного уравнения. Множество известных точных решений уравнения (2) (см. [6]) включает в себя множество известных решений уравнения (1) [4, 7]. Рассмотрим некоторые способы сведения уравнения (2) к обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ) и нахождения частных точных решений. Предварительно выделим два простых преобразования независимых переменных, позволяющие получать новые точные решения уравнения (2).

Пусть ъи(х,т) — решение уравнения (2). Тогда функция вида

ги\(х,т) = с^с^уи^х + с3, с2т + с4), (4)

в которой с\, с2 > 0, Сз, С4 — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения. В справедливости данного утверждения, сформулированного в [7], нетрудно убедиться непосредственной подстановкой (4) в уравнение (2).

Рассмотрим частные случаи решения (4) уравнения (2):

a) ъи\(х, т) = из(х + хо, т + то) при с\ = С2 = 1, сз = хо, С4 = го;

b) IV\(х, т) = —и}(—Х + Хо, Т + То) при С\ = —1, С2 = 1. Пусть д(х,т) — решение уравнения (3). Тогда функция

(х,т) = с{2с2д{с1Х + Хо,С2Т + т0)

также будет решением этого уравнения.

Теперь рассмотрим следующие частные случаи решения уравнения (3):

a) д!(х, т) = -д(х + х0, -т + т0) при с\ = 1, с2 = -1;

b) т) = д(х + хо, т + г0) при с\ = 1, с2 = 1;

c) г) = д(-х + хо, т + т0) при с\ = -1, с2 = 1;

ё) д\(х, т) = -д(-х + х0, -т + т0) при с\ = -1, с2 = -1.

Ниже предлагаем некоторые возможные автомодельные переменные и соответствующие им обыкновенные дифференциальные уравнения; в частных случаях они приводят к известным точным решениям.

1) Подстановка ь]{х,т) = /(т)д(х) приводит эволюционное уравнение (2) к системе двух ОДУ относительно /(т) и д(х), в результате получаем два частных решения для эволюционного уравнения:

Г 9 = с2,

/ = ci,

д3 = с3ж + с4.

Первое решение w(x,t) = const соответствует растеканию полосы, параллельной оси х [4, 7], а второе описывает растекание слоя в области, ограниченной "кубической параболой". 2) Подстановка

w(x,T) = -g(0, £ = т-ух

7

приводит к решению типа бегущей волны уравнения (2):

4 (г - 7ж) = С2 + (7w)2 - 2C\jw + С\ In (Ci +7w)2 , (5)

которое в случае С\ = 0 описывает известное решение о растекании в области, ограниченной параболой. Решение (5) представляет собой обобщенное решение задачи о свободном растекании пластического слоя в области, ограниченной параболой.

3) Подстановка

9 = Ч/2 + /(тМО, £= х2/(т + т0) приводит к следующим двум частным решениям эволюционного уравнения (3):

Ая

q = w2 = — -- +

2 (г + т0) ^тТТо

— известное решение о растекании пластического слоя в области, ограниченной эллипсом, у которого большая полуось лежит на оси х [4, 7] (в частности, при то = 0 решение описывает растекание слоя в круговой области);

х

2

Аъх2!ъ

^ = (6)

— обобщенное решение задачи о растекании пластического слоя в области, ограниченной эллипсом. 4) Подстановка

9 = (/2 + Цт)д(0, £= х2/(т0-т) дает следующие два частных решения для эволюционного уравнения (3):

2 ж2 , АЯ

Я = и} = 777-7 +

2 (т0 - т) у'то - т известное решение задачи о растекании в области, ограниченной гиперболой;

q = w2 = -- +

2 Asx2/3

2 (го-г) (го-г)7/9

— обобщенное решение задачи о растекании пластического слоя в области, ограниченной гиперболой. 5) Подстановка

q = 9(0, С = х2/ (г0 - т) приводит эволюционное уравнение (3) к ОДУ относительно д(£):

2дд" + д' {д' + д/£- 1) = о,

0дН0 из частных решениЦ КОТОрОГО имеет ВИд

9=9о=С/2, w{x,т) = ±л/q2 = ±

v/2(ro-r)'

совпадающий с известным решением о растекании пластического слоя в клиновидной области.

В заключение укажем некоторые другие допустимые автомодельные переменные и соответствующие им обыкновенные дифференциальные уравнения. 6) Замена

в 1+2/3

W{X,T) =трд(0, i = XT 2 , (7)

где ^ — некоторая автомодельная переменная, зависящая от произвольного параметра /3, приводит к ОДУ второго порядка относительно <?(£):

tfg1)' + (1 + 2(3) & -2(3д = 0. (8)

При /3 = 0 это уравнение имеет частное решение д = const, которое нами ранее описано. В общем случае уравнение (8) является обобщенно-однородным уравнением и путем понижения порядка его можно привести к уравнению Абеля II рода [7].

7) Замена

а 1+2/3

w(x,t) = (т0-т)р д(0, £ = ж(то-т) 2 (9)

приводит к следующему ОДУ относительно д(£):

{д2^)' -(1 + 2(3) & + 2(3д = 0. (10)

Ищем решение в виде д = , получаем а = 1 и уравнение А (1 — 2А2) = 0, которое дает два частных решения уравнения (10) (для произвольных значений /3) д = ±£/\/2. С учетом (9) имеем два решения уравнения (3)

х

w(x, т) = ±

v/2 (го-г)'

которые описывают растекание клина (ось ж является осью симметрии). 8) Замена

ъо(х,т)=е^д(0, £ = хе~?т (11)

приводит к уравнению

а замена

приводит к уравнению

(д2д')' + 2ߣg' - 2ßg = 0, (12)

w(x,t) = е^т°~т')д(0, t = xe-ß{*T0~T) (13)

Од2д')' - 2+ 2(Зд = 0. (14)

Замены (11), (13) являются экспоненциальными аналогами подстановок (7), (9). А уравнения (12) и (14) можно рассматривать как пределы (при больших (3) для уравнений (8), (10). Последние также являются обобщенно-однородными уравнениями, которые сводятся с понижением порядка к уравнению Абеля II рода.

При /3 = 0 оба случая (11) и (13) совпадают, а функция <?(£) при этом описывает растекание "кубической параболы", которое было представлено ранее.

Следует отметить, что все приведенные в настоящей работе точные решения относятся к задаче о свободном растекании пластического слоя на плоскости. На сегодняшний день опубликовано достаточно мало экспериментальных работ, посвященных проблеме растекания осаживаемых тонких пластических слоев. Так, например, формула (6), представляющая решение задачи о свободном растекании пластического слоя, ограниченного в начальный момент эллипсом, экспериментально подтверждена и известна в теории обработки материалов давлением как принцип С.И. Губкина: растекающийся пластический слой на плоскости, ограниченный в начальный момент замкнутой выпуклой кривой, в пределе (при больших временах) стремится к круговой области.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильюшин A.A. Вопросы теории течения пластического вещества по поверхностям // Прикл. матем. и механ. 1954. 18, № 3. 265-288.

2. Prandtl L. Anwendimgsbeispiele zu einem Henckyschen Satz über das plastische Gleichgewicht // ZAMM. 1923. 3, N 6. 401-406.

3. Безухое B.H. Об осадке пластического слоя некруговой формы в плане: Канд. дне. М., 1955.

4. Кийко И.А. Пластическое течение металлов // Научные основы прогрессивной техники и технологии. М.: Машиностроение, 1985. 102-133.

5. Белов H.A., Кадымов В.А. О краевой задаче течения пластического слоя между сближающимися жесткими плитами // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2011. № 1. 46-58.

6. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. Точные решения. М.: Физматлит, 2002.

7. Кадымов В.А., Белов H.A. О точных решениях уравнения растекания пластического слоя на плоскости // Тр. Междунар. научно-техн. конф. "Современные металлические материалы и технологии" (СММТ'2011). СПб.: Изд-во ГПУ, 2011. 33-36.

Поступила в редакцию 10.10.2014