CC BY
30
Известия Тульского государственного университета
Естественные науки 2008. Выпуск 2. С. 86-92
---- МЕХАНИКА -----
УДК 539.3
В. А. К а дымов
Московский государственный технический университет «МАМИ»
К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СВОБОДНОГО РАСТЕКАНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ НА ПЛОСКОСТИ
Аннотация. Рассматривается задача о свободном растекании пластического слоя между двумя сближающимися поверхностями внешних тел. Выписано решение подобия общего вида, включающее все известные ранее решения подобия. Исследуется асимптотика решения.
В работе [1] выведено нелинейное дифференциальное уравнение параболического типа, описывающее свободное растекание пластического слоя по недеформируемым поверхностям, занимающего в начальный момент область, ограниченную выпуклой кусочно-гладкой кривой. В частном случае растекания пластического слоя между параллельно сближающимися плоскостями, при котором область течения симметрична относительно оси ох так, что линия ветвления течения совпадает с отрезком оси ох, указанное уравнение принимает вид [2]:
- \^хх - Ф + ¥х) = 0, (1)
где у = <р(х,т) — неизвестное уравнение контура растекающегося слоя, причем:
(а) <р (х, т = 0) = <ро (х) — известный начальный контур области течения;
(б) <р (х, г) ^ 0 во всей области ее определения;
(в) у = <р (х, г) — выпуклая кривая при всех т ^ 0 ( т.е. <р'х ф).
Здесь г (£) = 1п — функция степени деформации, пропорционально
меняющаяся со временем ('*[ > 0).
Уравнение растекания пластического слоя получило дальнейшее развитие на случай ее растекания по деформируемым поверхностям, подчиняющимся модели винклеровского упругого основания [3, 4].
Уравнение (1) допускает классы решений подобия [1, 4] для следующих областей, ограниченных кривыми второго порядка:
1) клиновидной области (рис. 1)
ро (ж) = АдХ =>■ р) (ж, г) = А (г) ж,
глМ(т)= у_°,гл,; ' '
1* УоО)= А *
0
(2)
Рис. 1. Клиновидная область
2) области, ограниченной параболой (рис. 2)
(ж) = ®ох + Ьо =ї р2 (ж, г) = а(т) х + Ъ (г)
где а (т) = аде , Ь (т) = е
,2т
Ъо +
£ (е2- - 1)
(3)
Рис. 2. Область, ограниченная параболой
3) области, ограниченной эллипсом (гиперболой) (рис. 3, 4)
(я) = а0х2 + Ь0 => V2 {х, т) = а (г) х2 + Ъ (г) , (4)
где случай (ао < 0, 6о > 0) соответствует эллипсу, а (ао > 0, Ьд < 0)
— гиперболе,
а
аде
2т
ао + 1 — аде
2т
Ъ(т)
Ъде
2т
\/ад + 1 — аде2т
' У =
(у/л/у /у?/Х
н
Рис. 3. Область, ограниченная эллипсом
В настоящей работе предлагается достаточно общий класс решений подобия для уравнения (1), включающий в себя все перечисленные выше решения:
Ч>2 {х, т) = А (г) X2 + В (т)х +С (г). (5)
Подстановка (5) в уравнение (1) приводит к следующим зависимостям для неизвестных коэффициентов А(т), В (г), С (г). Выпишем их:
Сл е2т
где С\ выражается через начальные данные Ад = А (г = 0) в виде С\ = Ад
1 + 1С
В, ' С2е2т
(т^ 1 - С\ е2т '
Рис. 4. Область, ограниченная гиперболой
Отметим, что если С\ = 0, то, как следует из (6) и (7), А (г) = О, В (г) = = С2е2т.
Для определения коэффициента С (т) получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение, решение которого имеет вид
- { С3е2т + %е4т, если Сг = О,
С' (г) = ) Сзе2т , С’|е2т ^ , п (8)
I у/1-С'1е2т ^Сг(1 — Сге2т) 5 еСЛИ ^ ^ О-
Если при ЭТОМ В соотношении (8) ПОЛОЖИТЬ С\ = С*2 = 0 (то есть А (г) =
= В (г) = 0), то получаем
С(т) = С3е2т, у2 (х,т) = у2 (т) = Сзе2т. (9)
а следовательно, имеем частное решение задачи растекания пластической полосы бесконечной протяженности в направлении оси ох (Сз = 0):
-л/С~^ <у(т)<^С~ъет. (10)
Исследуем поведение коэффициентов А(т), В(т), С (г) в решении (5) при т 1.
Покажем, что асимптотики при т 1 для А (т) не существует. Действительно, как видно из (6), А (т) —>• оо за конечное время, причем это возможно, если только 0 < С\ < 1 (или 0 < Ад < оо):
т^т* = — ^ 1п6*1 = ^1п (^Л°^ ^ => А(т) +00. (11)
Указанный случай (0 < Сг < 1) включает в себя решения подобия для областей, ограниченных гиперболой, а также парой пересекающихся прямых.
Положим 7] = С1 е2т, тогда
дм = т^ = А- (12>
Как следует из (12),
Л)<0, -1.
(13)
Верхний случай из приведенных двух в (13) соответствует «горизонтальному» эллипсу (большая полуось расположена вдоль оси ох), а нижний характеризует «вертикальный» эллипс, который нас не устраивает, так как, по условию задачи, линия ветвления течения лежит на оси ох (рис. 5).
А (г)
7] —>• —оо £ —>• ОО, Сі
г] —>• +оо -Ф4> і —>• оо, С\
Ас
1 + Л)
А-о 1 + Ап
< 0^ -1 <
> 1 <=> Ап <
Л 0?)Л
Рис. 5. Зависимость А(т), соответствующая «горизонтальному» эллипсу
Пусть Ад = — 1 (точнее говоря, Ад —>• —1 + 0), то есть имеем случай «горизонтального» эллипса (рис. 6). Тогда, С\ = = — оо, а значит,
і / \ Аое2т
1. + ¿0 — А0е2т при Т^+°°’
то есть область течения, ограниченная эллипсом, стремится в пределе к окружности.
Рис. 6. Зависимость С\ (^о)? соответствующая «горизонтальному» эллипсу
Пусть С\ = 0 =>■ Ад = 0 =>■ А (г) = 0. Тогда при условии, что ф 0, Сз ф 0 имеем
В(т)~е2т, С(т)~е4т.
Этот случай соответствует задаче растекания области, ограниченной параболой.
Выделим также случай С 2 = Сз = 0, С\ ф 0, когда область течения представляет клиновидную область между двумя пересекающимися прямыми.
Что касается поведения коэффициента С (г) при г —>• сю, то можно отметить тенденцию его роста во всех случаях.
Библиографический список
1. Кийко И.А. Пластическое течение металлов / И.А. Кийко //Научные основы прогрессивной техники и технологии. - М., 1985. -С. 102-133.
2. Безухое В.Н. Об осадке пластического слоя некруговой формы в плане / В.Н. Без-ухов // Дис. ... канд. физ.-мат.наук. - М., 1955. - 78 с.
3. Быстриков С. К. Вывод точного дифференциального уравнения растекания пластического слоя между сближающимися упруго-деформируемыми по Винклеру плоскостями и его исследование / С.К. Быстриков // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. -2006. - Т. 12. - Вып. 2. Механика. - С. 24-29.
4. Соловьев Г.Х. Нестационарные задачи течения тонкого пластического слоя по деформируемым поверхностям / Г.Х. Соловьев // Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - М., 2005. -104 с.
Поступило 16.12.2007
