CC BY
33
Ивашкина Г.А., Невоструев Л.М., Кучеров А.А.
Оренбургский государственный университет
ЗАДАЧА ДАРБУ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА - ДАРБУ С ПАРАМЕТРАМИ 0 < а < 1, ß < 0
Решение задачи Коши для уравнения Эйлера - Дарбу с параметрами а > 0 , ß < 0 было получено в работе [1] с использованием общих свойств уравнения Эйлера - Дарбу и обобщенных операторов Ли-увилля дробного порядка интегрирования и дифференцирования [3]. В настоящей работе с использованием операторов Saigo [4], [5] было получено решение задачи Дарбу для достаточно широкого спектра параметров а и ß уравнения Эйлера - Дарбу.
Рассмотрим уравнение
П-Х ~ п-Х ~ (1)
В работе [1] было получено решение задачи Коши в следующей постановке.
Задача. В области Б, ограниченной линиями Х = 0,п = 1,1: П = Х , найти решение и(Х,п)е С(п)(э)п С(п+1)(Б иI) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям X
и(Х, X) = «£) = |Т(1)(Х- 1)‘а1 (1 >-р-1) (2)
lim:
Эи Эи
Эп"эХ
j(n-X)a+p
2(1 -a-ß)
x
v(X) = | G(t)(X -1)8 dt(S > a - 2)
(3)
Решение уравнения (1) с краевыми условиями (2), (3) имеет следующий вид:
U(X, h) = (h-X)jT(t)
x
h-X
Jk1)
h-1 h-X
h-10 Г(а + Ь)Г(1 +1) Г(Ь)Г(1 +1 + a)
\a+1
F(-1, a; a + ß)dt +
(h-X)L
F(1 - ß, a; a +1 +1; —- )dt + h-X
' (h - X)1-a-ß+8 J G(t)
h-X
h-t
8 X
F(-8,1 - ß;2 -a-ß; )dt +
h-t
+ Г(1 + 8)Г(2 -a-ß) _ X)1-a-ß+8
11
jG(t)
Г(2 - ß + 8)Г(1 - a)
1+8-ß
h-t
h-X
V 7
F(a,1 - ß;2 -ß + 8; )dt (4)
h-X
В целях упрощения решения поставленной ниже задачи Дарбу параметры 1 и § свяжем следующим равенством:
а+1-1=2-р+5
т. е. § = а-1+ Р +1 Так как 1 >-р-1, то, взяв 1 = е-р-1, получим § = а -1 + р + X - Р -1 = а - 2 + е>а - 2 .
Следовательно, ограничения, наложенные на 1 и §, выполняются (здесь е > 0, сколь угодно малое число).
Учитывая выбор 8, (4) можно представить в следующем виде:
h / £ ^1 1 /h-X
U(X, h) = (h-X)1J T(t)
X
h-t Г(a + Ь)Г(1 +1) Г(Ь)Г(1 +1 + a)
F(-1, a; a + ß; hX )dt + h-t
(h-X)1
'I
Jt«
X
Jgw
h-t
h-X
h-X
X
X V-a-ß
F(1 - ß, a; a +1 +1; ——- )dt + (h - X)1
h-X
,h-1
Г(a + ß + 1)Г(2 -a-ß) Г(1 + a + 1)Г(1 - a)
F(1 -a-ß -1;1 - ß;2 - a - ß^—^ )dt + h-1
(h-X)1 Jg(1)
/ \a+1
'h-1
h-X
F(a,1-
h -1
- ß; a +1 +1; — )dt
h-X
(5)
Заметим, что установленная связь между параметрами 1 и § совсем не обязательна. Введем в рассмотрение операторы Sаigo:
та,Ь,с.р _
ioX 1 =
-а-Ь X
Г(а)
Jf(t)(X- 1)"Р(а+Ь--с:а: TT ^ >0
(6)
dX’
"" 10+n,b-n,c-nf, а < 0;
с - Ь >-1,с,Ь е R f(x) е C[0,1]
Оператор Saigo обладает следующими свойствами:
-а,-Ь,а +с .
;
1. (iof )-1 = I
2та,Ь,с/тТ,8,а+с \ та+у,Ь+8,с/л г»\.
• ■Idx, UcO8, ! = Ц , (а g> 0);
та,Ь,с.р _
IoX f =
oX
1,Ь, _
oX VIdX /= IoX
(1 -Xr-Ь1
(7)
(8)
Jf (t)(t - Xf-1 F(a + Ь,-с; а; )dt, а > 0
0 1-X
Г(а)
dn
■^n u уа+п,Ь-п,с-г
dXn
(-1)n n I
X1
f> < 0;
(9)
с - Ь > - 1,с,Ь е Я Свойства этого оператора аналогичные. Задача. В области О, ограниченной линиями X = 0, п = 1,1: П = X, найти решение
0
0
0
n
d
0
и(Х,Л) е С(п) (б)п С(п+1) (Б и I) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям (2)
и(о, л) = ф(л) = 10-Т’Т’Р_1 Ф(Л) (10)
Полагая в (5) X = 0, получим:
Г(а + Р)Г(1 + 1)(л_С)1 ^ /л-1 ^
о(л)
и(0; л) =
Г(Р)Г(1 +1 + а)
• |ф^Хл- z)-1-т-2dz, у<Р (16)
о
С учетом (16) из (13) определим функцию в(т!)
: -, ,Г(1-—^-7 [ ф(z)(h - z)-1-T-2 dz -
Г(а + Р +1)2- — -Р)Г(-1 -1 -у)0П Л1 ;
0 V л
О 1 1 л-Ц,. Г(а + Р + 1)г(2-а-р) і
-В,а;а +1 + 1;-—Ш + 4 , —^------------------— л1
л Г(1 +1 + а)Г(1 -а)
а+1 . ч
р(1 -
- Г(1 -а)г(а + р)г(1 +1) т(л)
Г(а + р + 1)г(2 - а - р)г(р) и'
Найденные выражения для в(л) подставим в (5)
л
М
Г
а,1 -В; а +1 +1
¡1
(11)
и(Х, л)=}т(і Хл-1 )1г
-1, а; а + В;
л-Х л-1
І1 -
Перепишем (11) с помощью операторов Saigo г(а + р +1 )г(2 +а- Р)г(р)
и(0, л)= ф(а)= Г(—+ГР()Г)(1 +1) I—+1+1,-1-1,р-1т(л)н
г(1 -а)г(а + р)г(1 + 1) (л Х)1-а-рГ т(, ул * )а+В+1-1
„ + В +1 )(2 + „-«)() (л Х) 0 1(1)1 1) ■
Б
1 - а - р -1,1 - Р;2 - а - В;
+ Г(а + Р + 1)Г(2- — -Р) Iа+1+1;-1-1,Р-10(_) (12)
Г(1 -Р) 0л V '
Взяв оператор обращения от обеих частей равенства (12), получим:
1-.-.-и+,,.+Р+.ф(,1)= Г(а+ ОТ + ■) т(„)+
+ Г(— + Р + 1)Г(2- — -Р) 0(л) (13)
Г(1 -а)
Подберем натуральное число к так, чтобы -а-1 -1 + к>0 , т. е. к> 1 +а +1. Легко видеть, что к = п + 2 удовлетворяет условию п + 2 > 1 + а +1.
Действительно, в силу того, что неравенство п +1 > 1 + а должно не нарушиться при всех значениях -1 - Р < 1 < -Р, оно должно сохранить свой знак и при максимальном значении 1 = -Р; т. е. п +1 >-Р + а или (п + Р)+(1 -а)> 0, где каждое слагаемое положительно.
Преобразуем левую часть равенства (13)
а п+2
л-Х л-*
¡1 + І1 + 12,
I
-1-а-1,1+1. 0л
а+р+1 ф(л) =
¡п
п+2 0л
л
1-а-1+п,1-п-1,а+р+1-п-2
ф(л)(14)
Зададим ф(л)= І^’13 фл) У<Р- Тогда
.-а л
ф(л)= Г(а-у)/ф(г)(л- 2)“-ї-1г
а,1 - р; а - у,
л-z
¡г
(15)
Преобразуем (14) с учетом задания функции ф(л)
А п+2
I —1—а—1,1+1,а+Р+1 ф(л) d 11-а-1+п,1-п-1,а+Р+1-п-2
10л фп;=
(у,у,р-1ф(л))= Сп-у,1-п-1+у,а+р+1-п-2 ф(л)=
а л
¡л+Г • Г(1 -1 + п-у) -0 ф(^л-z) У dz = Г(-1-1 -у)
где (17):
I, =
Г(1 - а)л - Х)
1 Г(а + р + 1)г(2 - а-р)г(-1 -1 -у)0
я Л 1
л-Х
Б
л-Х
Л-а-р-1
1 -а-р -1,1 - р;2 -а-р;
л-*
0
¡10 ф^)1 - z)-1-у-2dz, (18) 0
1 л/
Г(1 + а +1)(-1 -1 -у)(л-Х)0
л-1
V /
і2 =
Ґ 1 л-1 1 а+1 Б
л - іЛї
; V -V
а,1 -
- р; а +1 +1:
. л-1 л-Х
¡10ф(z)(l - z) 1 у 2&і. (19)
В I1 изменим порядок интегрирования и выполним замену по формуле Х-(Х- z ) = 1, получим:
1
í і л л-1 Б
Х - л
V /
0(1 - V)-1
Г(1 + а + 1)Г(-1 -1 -у)
а,1 -р; а +1 +1;
1 - ^-А V л-Х
|-1-у-2
(л-Х)1 л-1'
л-Х
а+р+1-1
¡1
-а-р-1,1 -р;2-а-р;
1
1 - V
л-Х
Б(1 -
)dv
Применим формулу преобразования
Б(а,р,у,z)=(l-z) аБ
а, у-р; у;
z -1
с учетом которой гипергеометрическая функция, входящая в ^, примет вид:
1-а-р- 1,1-р;2-а-р;
1
1-^ V
л-Х
а+р+1-1
Х-"V'
л-Х
V •'У
0
л
л
0
0
0
0
л
Г
/ ,, \1-a-p-l
1 --Ц V
л-X
1
(1 -a-b-1,1 -a;2 -a-b; &
F
n-X
V
Осуществим далее переход к обратному аргументу, в результате которого получим
F(1 - a - b -1,1 - a;2 - a - b;
1
-)
1-І V =
л-Х
Г(2 -а-р)Г(р +1) (_Х-£
Г(1 - а)Г(1 +1) (л-Х )
Б(1 -а-р-1,-1;1 -р-1;——Х V) + л-Х
+Г;^2-„р)Г(Г-11 -р)) (Ц V)1-“ Б(1 -а, р;1 + р +1; Ц V)
Г(1 -а-р- 1)Г(1 -р) л-Х л-Х
В результате двух последних преобразований получим следующее выражение для функции І1.
1 =
X
ПР + ЦлЧ)1____________ J®(z)(X-z)-i-g-1 dz
1 Г(1 + l)r(a + b + l)r(-1 -g-1)
V (1 - V)-1-g-2 ■ F(1 - a - b - l,-l;1 - b -1; V)dV +
0 h-x
+
Г(1 -a)r(-b- 1)(h-X)-b
r(a + b + 1)Г(-1 - g- 1)Г(1 - a - b - 1)Г(1 - b)
-l-g-2
j®(z)(X - z)b—g—1 dz JVp+l (1 - V)—1
0 0
z — X
F(1 — a, b;1 + b +1; V)dV
r—x
Имеет место формула:
1
j(1 — z)m—1z u—1pFg (a1,a2,...,ap;b1,b2,...,bg;xz)dz =
0
= r^p+1^+1 (V,a1’a2,..,ap; v + m,b1,b2,..,bg;x)
(Rem > 0,ReV > 0,p < g +1; если p = g +1, то |x| < 1). применив которую, получим:
j =_______r(P+1Xri—X)1________jf(z )(x—z)—1—g—1
1 Г(1 + l)r(a + b + l)r(— 1 — g)J f(XX X .
1,1 -a-b-1,-1;-1 -g,1 -b-1;
z-X h-X
dz +
Г(1 -a)Г(-b- 1)Г(Ь + 1 + 1)(h - X)-b Vp(z)(X - z)b-g-1 Г(a + b + 1)Г(1 -a-b- 1)Г(1 - Ь)Г(Ь - g) V0 ) )
z-X
3F2(b +1 +1,1 - a, b; b - g,1 + b +1;—^-)dz
h-X
Учтем,что
3f2(b+1+1,1 -a,b;b-g,1+b+1;^г-) = F(1 -a,b;b-yz X
л-Х л-Х
Выберем далее у = Р + а -1, что вполне возможно сделать, ибо у < Р (здесь -1 <а -1 < 0).
При таком выборе у
z - X z - X
3 К (1,1 - а - Р -1,-1;-1 - у1 - Р -1;-%) = Е(1,-1;1 - Р -1;-^).
л-Х л-Х
з ^2 (Р +1 +1,1 -а, Р; Р - у,1 + Р +1) = (^)-Р
л-Х
Подставляя в ^ преобразованные обобщенные гипергеометрические функции и заменяя у = а + Р -1 , получим:
І1 =
Г(1 + 1)r(a + b + 1)Г(1 -a-b-1)
I р,«,-р- 1; л-х » +
+ Г(-Р- 1)Г(1 +Р +1)
Г(а + Р + 1)Г(1 - а - Р - 1)Г(1 - Р)
X
| ф^)(Х z)—а (л- z)—Р dz
Преобразуем I2 с учетом выбора у = а + Р -1 по той же схеме, что и ^, где !2 определяется формулой (19). Изменив порядок интегрирования, представив !2 в следующем виде
(л-Х) 1
(20)
r(a +1 + 1)Г(-1 -a-b)
(21 + І22 ), (21)
где
121 = jcp(z)dzj
л / ± \a+1
л-1
л-X
(t - z)-1-a-b-1F(a,1 -b; a +
h-1 X 1
+1 +1; h—X^dt = (h - X)J p(z)(h - z)-1-a-b-1 dz J va+1 h X 0 0
1-hziv
h-z r(a +1 + 1)Г(1
-1-a-b-1
F(a,1 - b; a +1 +1, v)dv =
b)
X
Г(2 + 1)Г(1 + a + b +1)
(h-X)Vp(z)(X- z)_
1-a-p-1
F(1, 1 + b +1; 1 + 2; ^ )dz
z-X
В гипергеометрической функции перейдем к обратному аргументу
F(1, 1 + b +1; 1 + 2; X) = Г(1 + 2)Г(1 + b) ■X—Z F(1,-1;1 -
z-X Г(1 + b + 1)Г(1 +1) л-Х
1+<+p
- 1 -b;£zX) + Г(1 + 2)Г(-1 -b)
h-X
Г(1 -b)
X-z
h-X
z-X
F(1 +1 + b, b;1 +1+ Р;^-Л
л-Х
С учетом последнего преобразования I21 примет вид
І21 =
r(a+1+1)Г(1+b)
ra+a+b+W+1)
X
V P(z)(X - z)-1-“-3 FC!,-1;1 -1 -b ■z—X)dz+
h-X
r(a+1+1)Г(1+1+b)r(-1 -b)(Л-X)"і X
г(1+“+ь+1)Г(1-Ь)
V(P(z)(X-z)"a(h-z)"bdz
U
0
F
3^2
0
Находим первое слагаемое формулы (21)
(h-X)
Г(а + Р + 1)Г(-1 -а-р)
= r(i + b)(h-X)1
Г(1 + а + р + 1)Г(1 + 1)Г(-1 - а - Р)
X 7 -Х
J j(z)(X - z)-1-а-Р F(1,-1;1 -1 - Р; —|)dz +
Г(1 +1 + Р)Г(-1 -Р)
Г(1 + а + р + 1)Г(-1 - а - Р)Г(1 - Р) Jj(z)(X- z)-а (h- z)-Р dz
(22)
Имеет место формула:
Г(х)Г(1 - х) = —
sin px
Применяя эту формулу к (20) и (22), получим
^ +---------(Л-Х-----121 = 0
1 Г(а +1 + 1)Г(-1 -а-Р) 21
следовательно, сумма ^ + I2, входящая в решение (17) задачи Дарбу, равна
І1 +12 -
(h-X)1
I22 = '
(h-X)1
Г(а +1 + 1)Г(-а-Р-1) 22 Г(а + Р + 1)Г(-а-Р-1)
h h / \а+1
1 h-t
Jcp(z)dzJ
h-X
F^,1 - Р; а +1 +1; )dt -
(t - z)-1-“^-1
(h-X)-
h-X Г(а +1 + 1)Г(-а-Р-1)
11 *
Jcp(z)(h - z)-Р dzjv“+1 (1 - v)
-1-а-Р-1
F^,1 -Р;а +1 +1;v)dv- ( -^ Jj(z)(h-z) PзF2(a +
+1 +1, а,1 -Р;1 -Р, а +1 +1;Л-^- )dz =
л-Х
1 л
Г(1 — Р) |ф»(Л- z)-Р (z -X)-а dz
Подставляя найденное выражение суммы в (17), получим решение задачи Дарбу
U(X, h) -(h-X)jT(z)
X-l
œh-X
h-z
V ' J
F(-1, а; а + Р; -—X )dz -
h-z
Г(1 - a)(h - X)1
Г(а + Р + 1)Г(2 - а - Р)Г(-1 - а - Р)
X / я \1-“-Р-1
œh-X
JT(z)
h-z
V ' J
F(1 -а-Р-1,1 -Р;2-а-
. (23)
h
- Р; )dz + J j(z)(h - z)-Р (z - X)-аdz
h-z Г(1 -Р) X
X
z
X
0
0
0
0
0
Список использованной литературы:
1. Ивашкина Г.А. Задачи Коши для уравнения Эйлера - Дарбу с параметрами a > 0 , Р < 0 // Вестник ОГУ, 2002, №5. С. 98-106.
2. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм рядов и произведений. Ф.М., Москва, 1962.
3. Hardy G., Liltlewood I., Some propertiesof fractional integraes. I Math Z., 27.,565-606.,1928.
4. Saigo M., Math Rep. Kyushu Univ, 1978, Vol 11.
5. Saigo M., Math., Jap., 1979., Vol 24.
