Об одной задаче с нелокальными краевыми условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

удк 517.944

Ивашкина Г.А., Белобородова С.В.

Оренбургский государственный университет E-mail: [email protected]

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

Рассматривается обобщенное уравнение Трикоми с краевыми условиями, связывающими границы эллиптической и гиперболической частей смешанной области. Доказывается существование и единственность поставленной задачи.

Ключевые слова: принцип экстремума, единственность, существование, сингулярные интегральные уравнения.

1. Постановка задачи.

Принцип экстремума.

Рассмотрим уравнение

8§п у\у\тыхх + ыуу = 0, (т > 0 ). (1)

Пусть Б1 - конечная односвязная область, ограниченная отрезком АВ = 3 оси Ох и простой гладкой дугой Жордана а, лежащей в полуплоскости у>0 с концами в точках А(0;0) и В(1;0).

Обозначим через Б2 область, ограниченную отрезком АВ и двумя характеристиками

AC : x-

BC : x +

m + 2 2

m+2 (-y ) — = 0,

m+2

(-y ) T"=1

т + 2 уравнения (1).

Совокупность областей Б1 и Б2 вместе в открытым отрезком АВ будем обозначать через Б.

Пусть 0О(х) и в1(х) - аффиксы точек пересечения характеристик АС и ВС уравнения (1) с характеристиками, выходящими из точки (х;0).

2

00 ( x) = т- i

^ m + 2 л

m+2

4

01 ( x) =

1 + x

m + 2

4

(1 - x )

m+2

Введем следующие обозначения: О10х/, В1/ - операторы дробного интегрирования порядка I при 1<0 и обобщенного (в смысле Лиувилля) дифференцирования порядка I при 1>0 [1], а именно:

DU = <

f

f (t )dt

i+1'

г(-1 )0(x-1)

dxn

Do-nf '

Dlx 1f =

1_J f (t)dt

I < 0;

I > 0.

I < 0;

r(~l)x (t - x))

dn

(-1)n_d—d-nf' i > 0.

V ' dxn x1

Рассмотрим следующую задачу. Задача С. Найти функцию

и (х, у )е С (В )п С1 (В и 3 )п

п С1 (В2 и 3)п С2 (В и В),

удовлетворяющую уравнению (1) в области В и В и краевым условиям:

и (х, у )а+ а(х)В1-ви (о (х)) = £ (х), (2)

Ь (х )и (х,0) + с(х)в1-ви ( (х)) = / (х), (3)

где а(х), Ь (х), с(х), / (х), £ (х) заданные непрерывные на 3 функции, С (х0 Ухе 3 ,

в= т . 2 (т + 2)

В полуплоскости у<0 уравнение (1) имеет

вид

(хуТихх х иуу = 0

и с помощью характеристических координат

2 т+2 2 т+ 2

% = х —у)~ , п = х + —г(ху)~

т + 2 т + 2

перейдет в уравнение Эйлера-Дарбу

2

ди

в

ди ди

= 0.

(4)

дддп Ц-^ Решение уравнения (4), удовлетворяющее краевым условиям

и (|,п)П=?=т(1), (5)

= ^(х) (6)

Цш

т + 2

2в

ди ди

имеет вид

К!л) = У1 ¡(п-£) 2в(л-г)в-1 (г-$Т-1т(г )<г-

где

-72 ¡(п-г )~в(г)<г,

(7)

Г2 (в)

= 1 Г(1 - 2в) 2 2 Г2(1 -в)

Из (7) следует, что

/ 4 \2в

т + 2

и(в0 (х)) = Г1х1~2в\в1 (х -г)в~1т(г )<г -

0

х

-Ъ1г~в(х - г)~ву(г)<г =

0

= Г1Г(в)х1-2Ч-хвхв-1т(х )--Г2Г(1 -в)о(в;1х ~ву(х),

((х)) = ъ (1 - х)1-2в ¡(1 - г)в-1 (г - х)в-1 т(г )<г -

(8)

-72 ¡(1 - г )в(г - х )-%(г )<г =

х

= 71 (1 - х)1-2в Г(в )(1 - х)1-2в Б~х1в (1 - х)в-1 т(х)-

-72Г(1 -вМ-1 (1 - х)-ву(х). (9) Подставим (8) и (9) в краевые условия (2) и (3). Тогда с учетом того, что

В- В"1 = я!-^-1 = Б0, получим

и (х, у )|ст=72Г(1 - в )а (х)х~ву(х)--ГхГ(в )а (х )Б1- в х1-2в Б-в хв-1т(х) + g (х), 72Г(1 -в)(1 - х )-в с (х )у(х) = т(х )Ь (х) + +71Г(в)с(х)Б1-в (1 - х)1-2в В-? (1 - х)в-1 т(х) - / (х).

Учитывая известные тождества Во-вх1- 2в Б-в хв~Ч(х ) = х-в В- 2вт(х), в1-в(1 -х)1-2в Б-в(1 -х)в-1т(х) =

| = (1 -х)-в В-2вт(х), предыдущие два равенства можно записать в виде

и (х, у )1=Г2Г(1 -в)а (х )х ~ву(х )--ПГ(в)а (х )х~вБ-~ 2вт(х)+ g (х), (10)

72Г(1 -в)у(х ) = ^ (1 - х )вт(х) + с(х 1

+ Г1Г(в)Б1-2вт(х)-^(1 -х)в . (11)

Лемма (принцип экстремума).

Ь (х)

Если /(х) = 0 и 0 Vxе [0,1], то полос (х 1

жительный максимум и отрицательный минимум решения и(х, у) задачи С в замкнутой области Б, достигается на а.

В области Б1 решение не может достигать экстремума. Предположим, что положительный максимум в замкнутой области Б1 достигается в точке (|;0), ^ е (0,1). Тогда, учитывая, что производная бЦ- 2вт(х) дробного порядка в точке положительного максимума строго положительна (в точке отрицательного минимума строго отрицательна), при выполнении условий леммы, получим, исходя из равенства (11), что у(х )> 0. Это противоречит принципу Заремба-Жиро. Из принципа экстремума следует, что задача С имеет единственное решение.

2. Фундаментальное соотношение

между т(х) и у+(х)

Задача N. Найти в области Б1 решение уравнения

утихх + иуу = 0 ,

непрерывное в области Б1, удовлетворяющее краевым условиям

и(ху)|а =Ф*(я), (0< ^ < I),

где I - длина дуги АВ,

.. ди +/ ч

у^ду=у (х1, (0 < х < 1X

п

л

причем

р* (з )е С [0,1 ],у(х )е С (0,1).

Решение задачи N в случае нормального контура имеет простой вид [3]:

-в

и О^ Уо ) = —1 Их)

(х-Хо)2 + -^2Ут+2

(т + 2)2

16

(х - 2хх0 + х0) + -

/ 1 \2 х — 2

2- У0

:+2

йх -

(т + 2)

кф (т + 2{1 - До2V (^)(2 )-в-1 ^ (в;

1 + в;2в;1 -о) ¿к.

(13)

где (|,п) - точка нормальной кривой Г:

' Р2

х —

V 2/

+ —^ Ут+2 = 1, 4

(т + 2)

2

■ = (х - хо )2 +-4

(т + 2)

2

т+2 т+2

У 2 + Уо2

•'=7 •

к = — 1 4п

\2в т-2

чт + 2,

Г2 (в) Г(2в)'

До2 =

2

+ —^г Уо +2

(т + 2)

Переходя к пределу при уо ^ о, получим

(хо ) = -к1 }у (х) |х -хо|2в -(х + хо -2ххо)

- ктхо (1 - хо )]УС? )п 1X

,-2в

йх -

X

(- хо )2 + —^ пт+2

(т + 2)

-1-в

£

Принимаем во внимание уравнение нормальной кривой

1 я

У = (1 - 2в)2в-1 [ х (1 - х)]2-в и полагая р*(з ) = р(х), будем иметь

т(х ) =

-к1 |у(?)[|х- 2в -(х + г -2хг)2в]йг + ф(х),

(13)

где

ф(х) = 2к1в(1 -2в) а х(1 -х)х

х}р(г)[г(1 - г)]Р"2 [х2 + (1 - 2х)г]-1-в йг (14)

о

^ Г2 (в)

к1 = — 1 4п

Ут + 2/

Г(2в)

Таким образом, получено три соотношения (10), (11) и (13), связывающие функции у(х), т(х) и р(х).

3. Сведение задачи б к сингулярному

интегральному уравнению

Из уравнений (10), (11), (13) выразим функции V (х) и р(х) через т (х). Тогда, с учетом того, что 2вх1-Ч-вхв-1т(х ) = х 2вт(х), буде иметь

м

р(х )= х-в(1 - х )-вт(х) +

с (х)

ПГ(в)а (х )х 2вт(х )-

- / (х)(1 - х)в х~ва(х) -с (х )

-ПГ(в)а (х)х"в^-2вт(х) + 8 (х), (15) у(х )= (1 - х )в Ь (х ) т(х) +

У2Г(1 -в)с (х )

72 Г(1 -в) х1 Г2Г(1 -в)с(х) ' '

Подставим (15) и (16) в (13)

к{У]Г(в) Г2Г(1 -в)

т(х)+ X

х}[|х - г|"2в - (х+г - 2гх)-2в ] в1-1вт (г )йг -

о

-2кв((- 2в)-в х (1 - х )пГ(в)х х} к (х, г )[г в (г )4" 2вт(г)-а (г )г "вд1-2вт(г)+

йг = ^ (г), (17)

+ а°т г-в(1 - г)-вт(г)

с (г)

2

г

2

где

Г (х) =--к-г 1 [|х - ч| ~2в - (ч + Х + 2чх)-2в ]х

у2Г(1 -0)1Г ]

Х(1 - Г)в ЬЩрйач +2кв (1 - 20 )-в Х(1 - х)х

С (Ч )

х 1 * (Х, ч )* (ч)-ч-в(1 - ч )в

0 Г с(ч )

в-1

, (х, ч ) = Г"' -

ач,

,1+0

Г х2 +(1 - 2 х )ч ]

Преобразуем интегралы, входящие в формулу (17)

] = 1[|х - ч|~2в -(х+ч - 2чх)-2в ]Бг2вт(ч)ач =

о

= х-ч|~2р -(х+ч -ш)-2в]аЭ^т(ч)ач =

=--1 П х-ч| 2в -(х + ч-2чх)2в ач Iх

г(20)[1 1 ' ' ]

х'тш- ч )2в-1 а|. 1

Изменим порядок интегрирования.

- )-2в-(х + ч - 2чх )-22в]х

] = -

Г(2в) Iо о

х(- ч )2в-1 ач + +)т'(- )а-1[(х -ч)-2в - (х + ч - 2чх)-2в ] ■ (- - ч)2в-1 Л +

х 0

+)т'(-)<-}[(ч - х )-2в - (х+ч - 2чх )-2в ] ■ (- - ч )2в-1

ач [

(18)

С помощью подстановки ч = -г сведем интеграл J1 к следующему виду

х 1

J1 = х-2в1т'(^)а^1

о о

^-^ _ - (2х-1) ^

-2 в х

х(1 - г)2в-1 аг=М-)-2вх

2Р о

х

/ г \ /

2в,1;1 + 2в;-

х

- Г

2в,1;1 + 2в;-(2 х -1)

х

Применяя формулу интегрирования по частям, получим

J1 = — Иш Г

1 20-^ х

20,1;1 + 2в;-

х

-1т(-)

/ г Л2в-1

х

ах--

—в Г (20,1;1 + 2в;2 х - 1)т(х) +

2Р

1т(-)

г ь \2в-1

а-

(19)

х + - - 2 х-

Интеграл J2 преобразуем с помощью подстановки Ь=%2

/ г \2в-1 1

х

х V 7

J2 = 1т'(-)- а-1Г(1 - г)-2в-(1 -(2х - 1)г)

1

ак = 1т'(-)

-2в

х

/ Л2в-1 1 / ■> -у20-1

х

1 --¡г г

х

х

х

1 - 2в

-Г

1 - 2в,1;2 - 2в;т

- Г

1,2 в,1 - 2 в;2;2 х -1,-

а-

Снова, применяя метод интегрирования по частям, получим

J 2 =-

1

Иш т(-)Г

1 - 2в-1 / \1-2в И- х-с

х V ' / '

+т(х )Г1 (1,2в,1- 2в;2;2х -1,1) +

1 -2в,1;2-2в;:

£

а-

1т(-)(1 - 2в)

/ \ х -2в / \ х

I-]

хГ

1,2в,2 - 2в;2;2х -1,-

а-.

имеют место формулы:

Г. (а, в, в'-;Т; х,1) =

= г(7)г(7-«-в-)Г(а в-у-в'• х)

1

F (а,в,в';в + в';у ) =

= (1 - у Г F

в; в + в; f^4 1 - у

с учетом которых J2 примет вид 1

J 2 =-

. lim t(|)F

Г(1 -2в)|^х

1 / \1-2в

-Jt(i)

1 -2в,1;2-2в;^ dl

хчТ

+1фТ(Х )F (1,2в;1 + 2 в;2 х -1 )-

-(1 - 2в)|тО

/ \1-2в

1

xF

1,2в;2;

I-х

/

х +1 - 2 х|4

х-I

d|.

Применяя рекуррентное соотношение Га-

усса

YF (а, в; 7; г )-YF (а +1, в, 7; г ) +

+ (а +1, в +1; 7 +1; г ) = 0 к гипергеометрической функции

F

1,2в;2;

х + |- 2 х1

х-|

1 - 2в

I-х

1

F

1,2 в; 2;

получим

х +1 - 2х| 4

х-I

^ \2в-1 I^TT (2I(1 -х))1

х +1 - 2 х! х +1 - 2 х| Таким образом 1

1-20

J 2 =-

Г(1 - 2в ) I

lim t(I)F

1 -2в,1;2-2в;:

i-Jt(i)

\1-2в

х-I

^2в"Т(х )F (1,2 в;1 + 2в;2 х -1) +

-МО

( V-2в

1

х + I- 2 х|

d|-

-Их)

(I- х )

20-1

х + I - 2 х|

(2х(1 - х))1-2в dI. (20)

Рассмотрим интеграл /3. Во внутреннем интеграле выполним подстановку г = х + ( - х)г. Тогда получим

/3 =}т'(!И/г- г¿г -

-mi)

2 х (1 - х )

I-х

-2 в

d|x

х}(1 - z

0

.20-1

1 (|- х )(2 х -1) z

2 х (1 - х )

2в

dz =

--^т(х)- |У(|) sin2n8 Г

2в

I-х

2 (1 - х )х

Х—F Х 2в

„(|- х )(2х -1)

2в,1;1 + 2в;——т1—-2 х (1 - х )

--П—т(х)- Гт(|)

sin2n8 J VW

I-х

2 х (1 - х )

\20-1

dI =

1

х +1 - 2х|

d|.

(21)

Подставляя (19), (20) и (21) в (18), получим

J = -

Г(2в)

~^т(х )+ Гт(|)

sin2я■в 0 К '

1 / \1-2в х

x

x

1 1 - + -

| - х х +1 - 2х|

dI

(22)

Замечание. При применении формулы интегрирования по частям в интегралах /1, / 2, /3 полагаем т (0) = т (1) = 0.

Рассмотрим следующий интеграл формулы (17).

1

J *= х (1 - х )

[t (1 -t)]

в-

[ х2 +(1 - 2 х )t ]

1+в

t ~ва (t Щ-т^ )dt.

1 -в

Положим a (t ) = a [t (1 -1 )]2 , где a=const. Тогда

г a 0

t ~pdt

Г(2в) 0 [х2 +(1 - 2х)t]1+в'

х}т'(|)(|- х )2в-1 d| =

х

0

х

/

а }т-(|)^|}[ х2 +(1 -2 х )|]~ ^

Г(2в) о о

х г х )2в-1ёг =

= -Гщ х"1-2'а *

х

х(1 - *)

20-1

, 2х-1е 1--Г" &

о

ч-1-0 /

ё* =

Мх-1-2ва X

Г(1 + в)

/ 2 -, Ч

1 -в,1+в;1I

2 /

х1-4в(1 -х)а х Г(1+в)х 11 )а х

0-1

х|т'(^)^в[х2 +(1 -2х)|Гd|. (23)

о

Преобразуем следующий интеграл формулы (17)

(1 -х)а}г[*(1 -'^ ^ О0-2вт(г)* = 0 [ х2 +(1 - 2х )|]

7 = х(1 -

= ТМ(''2 +(1 - К=Г" х

х ёг} т'(|)(г -£)2в-1ё£.

о

Изменим порядок интегрирования и выполним во внутреннем интеграле подстановку г = 1 -(1 -I)*.

( )-1-2в 1 „„ г в

7 а -|)2в I (1 -(1 -I)* )х

1 (1 - 2х )(1 * (1 -х)2

(1 )-1-20 1 х(1 -х) а

л-1-0

(1 - *)2в-1 ё* =

х Л

(1 - х)

ё| =

(1 )1-2в 1 х(1 -х) а

(1 -х) а тЧрМл I2в 1

х ^

1, в;1+2 в;

!(1 -I)

х2 + (1 - 2х )|

ё|. (24)

В гипергеометрической функции от аргумента 2 перейдем к аргументу 1-2

1, в;1 + 2в;

!(1 -I)

х2 +(1 - 2х )|

= 2 ^

1,в;1 -в;-

1(1 -х)2

х2 +(1 - 2х )|

\ /

Г(1 + 2в)г(-в) (1 -х)2в|в Г(в) [х2 +(1 - 2х )|]в

х ^

2в,1 + в;1+в; 21((( ^ )й х2 +(1 - 2х )|

= 2^

1,в;1 -в;

1(1 -х)2 х2 +(1 - 2х )|

Г(1 + Гвв')("в)(1 -х)2»?вх-4в х(1 -|)-2в[.Г +(1 - 2.,)«]"

Подставим ^

1, в;1 + 2 в;

!(1 -I)

х2 +(1 - 2х)

в (24)

** 2х (1 -х) а Г\20 1

7 = Г(1+2в) {т (I)(1 -I)

1-20 1

х^

1,в;1 -в; Д(-х) )

х2 +(1 - 2х )|

d| +

ГГ-в-)х1-4в (1 - х)а}т'(|)|в (( + (1 - 2х)|)в-1 ёI =

Г(в)

= 7* + 7;. (25)

Рассмотрим первое слагаемое формулы (25). Применим формулу автотрансформации

7 =

2х1-4в(1 -х) Г( + 2в)

1-2в 1

-/*'(!)(( +(1 - 2х )|)20-1 х

х

+

xF

-0,1 - 2в;1 -в;

£(1 - х )2 х2 +(1 - 2 х )£

2х1-4в(1 -х)1-2в а^ + (-2х)£) X

Г(1 + 2в)

xF

-в,1 - 2в;1 -в;

1(1 - х )2

х2 +(1 - 2 х )£

/О

2 х1-4в(1 - х )2в-1,

Г(1 + 2в)

1

d

;2в-1

/

XF

-в,1 - 2в;1 -в;

£(1 - х )2 х2 +(1 - 2 х )£

1(1 - х )2

х2 +(1 - 2 х )£

Будем считать, что т (х) при х=0 обращается в нуль, причем порядок нуля выше первого. Тогда

31 =

2 х1-4в(1 - х )2в-1,

Г(1 + 2в)

-X

1

О

-(1 - 2в)£в2

1(1 - х )2

х2 +(1 - 2 х )£

xF

-в,1 -2в;1 -в; 2£(( х] )е х2 +(1 - 2 х )£

(1 - 2в)

1(1 - х )2

х2 +(1 - 2х )£

-2 в

, х2 (1 - х )2 V +(1 - 2 х )£

х F

-в,2 - 2в;1-в;

£(1 - х )2 х2 +(1 - 2 х )£

2х1-4в(1 - х )1-2в

:2в-1

d£ —

Г(1 + 2в)

(1 - 2в)х

X) ;Т(^)(х2+(1 - 2 х )£)2в-1 X

О £

-в,1 - 2в;1 -в

. |(1 - х)2 х2 +(1 - 2 х )£

х2 +(1 - 2 х )£

xF

-в,2 - 2в;1-в;

1(1 - х )2

х2 +(1 - 2 х )£

Используя известное рекуррентное соотношение Гаусса, определим

F

-в,2 - 2в;1-в;

1(1 - х )2

х2 +(1 - 2 х )£

в

1 - 2в

(1 £

х2 +(1 - 2 х )£

\2в-1

+^ F 1 - 2в

-в,1 - 2в;1 -в;

1(1 - х )2

х2 +(1 - 2 х )£

С учетом последнего равенства 31** примет

вид

31 —

2х(1 -х)1-2в ав 1 т(|) (1 -£)

20-1

Я

Г(1 + 2в) 1 £ х2 +(1 - 2 х)£ 2х1-4в(1 - х )1-2в а (1 - 2в)

Г(1 + 2в)

¿■X

И*)

<1

1 -

1 -в х2

1 - 2в х2 +(1 - 2х)£

xF

-в,1 - 2в;1 -в;

(1 - х )2 £ х2 +(1 - 2 х )£

d£x

d£.

Подставляя 3" в (25), а затем (25), (23) и (22) в (17), получим

1

28т 2пв

т(х )-

С08 Пв Г

П

Т(£)

11 ■+-

£ - х х + £ - 2х£

1£ +

+а}т(£)я (£, х )d£ — F (х),

О

где Я (£, х) - ядро со слабой особенностью.

В силу единственности уравнение (26) разрешимо [5]. По формулам (15) и (16) можно найти (р(х) и у(х) через заданные функции, входящие в краевые условия.

7.04.2014

Список литературы:

1. Hardy, G. Some properties of fractional integrals I / G. Hardy, J. Littlewood // Math. Z. 24, 4, 1928. - P. 565-606.

2. Бицадзе, А.В. Уравнения смешанного типа / А.В. Бицадзе. - М.: Изд. АНСССР, 1959. - С. 84-86.

3. Смирнов, М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М.М. Смирнов. - М.: Наука, 1966. -С. 39-77.

4. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштеин, И.М. Рыжик. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1969. - С. 1068-1069.

5. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1962. - С. 235-239.

Сведения об авторах: Ивашкина Галина Андреевна, доцент кафедры математического анализа Оренбургского государственного университета, кандидат физико-математических наук Белобородова Светлана Валентиновна, ассистент кафедры математического анализа Оренбургского государственного университета 460018, г. Оренбург, пр-т Победы 13, ауд. 20515, тел. (3532) 372533, е-mail: [email protected]