Аналог задачи Бицадзе-Самарского для гиперболического уравнения с двумя линиями вырождения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.3

Л.Р. Гайсина

АНАЛОГ ЗАДАЧИ БИЦАДЗЕ - САМАРСКОГО ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ЛИНИЯМИ ВЫРОЖДЕНИЯ

Для вырождающегося гиперболического уравнения поставлена и изучена краевая задача с нелокальным условием, содержащим обобщенный оператор дробного

интегродифференциирования, носителем которого является характеристическая часть границы области. Используя преобразование Меллина, свойства композиции операторов дробного интегродифференциирования и теорию интегрального уравнения Вольтерра второго рода, доказана однозначная разрешимость исследуемой задачи.

Настоящая работа является продолжением исследований задач для гиперболического уравнения с двумя линиями вырождения, рассмотренных [1-6].

Характерной особенностью данной задачи является наличие в краевом условии обобщенного оператора дробного интегродифференциирования, введенного М.Сайго [7], имеющего следующий вид:

-а-р х / Л

I * / ( х) =

О ! (

а + р,-л; а;1 —

х

У

Г(а)

^ 10°Г,Р-пЛ1-пДх),а<0,п = [1 -а],

[ (ї)йі, а > 0,

ёх

где [а] - целая часть а.

Рассмотрим уравнение

1 3

хихх + уиуу +а их + Р иу = 0, - < а < 1 , 1 <р< - (1)

в области Б, ограниченной характеристиками АС: х + у = 0; у < 0; ВС: 4х + д/-у = 1 и

отрезком [0,1].

Примем обозначения: в0 (х) - аффикс, то есть точка пересечения характеристики

уравнения (1), выходящей из точки (х,0), с характеристикой АС.

Аналог задачи Б-С (Бицадзе - Самарского):

Найти решение уравнения (1) из класса и(х, у) є С(П) п С 2(П), удовлетворяющее

краевым условиям:

и(х,0) = г(х) , х є [0,1],

3-а-В

а,--,с

А(х)(10+ 2 и[00(ґ)])(х) = В(х)иу (х,0) + Ф(х), х є (0,1), (2)

где г(х), р(х), А(х), В(х) - заданные функции, причем А(х) = хА А1 (х), В(х) Ф 0 , для "х є (0,1), т(х), ф(х), А1(х), В(х) є С[0,1] п С2 (0,1) ,

1 „ ,В-а-1 7 а . ^,а + В

---В< а + 2с < —-------------------------------------, а > В, А> а + 2-— . (3)

2 2 2 2

В характеристических координатах X = л/х - д/- у , Л = л/х + у/- у уравнение (1) выглядит следующим образом:

и 1 1

р— а —

и-^(иX - и„) + — 2(их + и„) = 0.

ы х-^ ь 1 х+л

Это обобщенное уравнение Эйлера-Дарбу-Пуассона. Для него решение задачи Коши: и(х,0) = г(х), х є [0,1]; ііш (-у)Ь иу (х, у) = V(х), х є (0,1)

имеет вид [8] : 24

и(X,ц) = у1(ц-Х)2 2р(ц+Х)2 |т1(^)г 2[(г Х)(ц г)]

,р-2 2 X

3 11 —а > а— —р

хЕ(--а,а--;р--;а)Л^(Х + Л)2 Jv1(t)t 2[(г-Х)(ц-1)]2 X

2

2 2

1 3 3

х Е(а —,—а; — Р; а)Л .

2 2 2

1 „о 3

а— 2Р+а—

_ 2 2 Г(2р-1) 2 2 Г(2 - 2р) (ц-1 )(t -X) ^ -2 ч

Здесь 71 =---------у-^-, у 2 =-^^, а = к\„'\ _ ? , хх (t) = х ($ 2), V! ($) = V (г2).

21 г2(р-^

23

2t (Х + ц)

Воспользовавшись формулой [9]

Е(а,1 - а; с; г) = (1 - г)С-1 Е(<с~а, с + а 1; с;4г(1 - г)),

2

2

и соотношением [10]

та,Ь,с г( ч _ -а-Ь-Ста,-а-е,-а-Ь /у \

10+ /(х) = х 10+ /(х) ,

10+ ./ Л А0+

на основании (4) находим

и [00( х)] = Кх х'-р

^ Р 1 а-Р-1 а-р а+Р-3 Л 10+2’^’^ t 1^ )

(х) + К 2

^ 3 р а+Р-3 а+Р-2 а-Р-1 Л

12+- v(t)

(х),

(5)

13

^-р 1 р-- 3

где К =У122 Г(р--), К2 =-722 2 Г<2-р).

Сведение к интегральному уравнению Вольтера 2-го рода и разрешимость аналога задачи Б-С.

Подставляя (5) в краевое условие (2) и учитывая равенство [16]

1

а,Ь.с

0+

(С-Ть 71) х)=х -а-г (10Г •Ь-а-с-^-“/+г / (/)\х),

получим уравнение Вольтерра 2-го рода:

Л-

;(х) + |К (хt)V2 (г)Л = / (х) ^

(6)

где

К (х, г) = -

А(х) К2 х

1

В(х)

Г

а+р 2

------а-2

2 а-р+-

(х - о 2 Е

/

а -р +

3 -

а + 3р 1 + а-р

V

2

г, 3 t

2 - с;а-р +—;1 — 2 2 х

а-р

V2(х)= х 2 п(х),

а-р

а-р

= -Ф(х)х 2 + АМК. х 2 В( х) В(х)

3-а-р

а,---------,с „

I 2 11-р

0+

г р 1 а-р-1 а-р а+р-3 10+2 2 2 5 2 1(5)

\ л

(О

(х) .

Соотношение (6) есть интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно функции V(х) . Исследуем вопрос о его разрешимости.

При выполнении условий (3) с учетом известных свойств гипергеометрической функции [9] имеем ядро К(х, г) , непрерывное в квадрате 0 < х, t < 1.

Выясним поведение правой части / (х) уравнения (6). С этой целью рассмотрим интеграл:

а-р

/1 (х) = А(х)х 2

3-а-р

а,--------,с - п

I 2 ^-р

0+

^ р 1 а-р-1 а-р а+р-3 Л ^

10+2’^’^ 5 1(5) (О

0 0

(х) =

= А( х)-

3

а----а

2

Г(а)

3-а-р , t \ 1-р , а +-— ,-с; а;1 г р Л X

2

2

х

X-

Г р--

I (г - 5) 2 Р

Г

р-- 10

2

а+р-3 5 2 1(5)Л5 =

а - а х а+р-3

= А ( х )

х 4-а-3р

2

Г(а)Г

15 2 1(5)Л51 г 2 (х - г) а 1(Г - 5)

х Р

3-а-р , г

а +-— ,-с; а;1

2х

Р

х

В силу равенства [9]

Р(а, Ь; с; г) = (1 - г) Р(с - а, Ь; с;------)

г -1

х

и замены а = —, г = хг имеем

5

5

/1 (х) = А( х)-

х

2

Г(а)Г

— 11(5)Жа3_а-р | г2-а-р (1 - г)а-1 (га -1)

1 I л 1

X

X Р

а+

3-а-р

2 ^

с; а;1 - г

Р

1 -а + р р-а;р 11

; р-;1 - га Лг .

222

Для вычисления внутреннего интеграла применим методику, разработанную О.И.Маричевым [11]. С этой целью введем в рассмотрение функцию:

К (а) = а3-а-р I г 2-“-р /1 (га) / (г)Лг, 0

(7)

где

3

р-

/1( га) = (га-1) + 2 Р

1 -а + р р-а;р 11

/2 (г) = (1 - г) Г Р

а \ха,х > 0

а+

, ; р—;1 - га

222

3-а-р

2

-с; а;1 - г

[0, х < 0.

Для вычисления (7) используем свойство преобразования Меллина [11,12]

¥

х» I гр /1( хг) /2 (г )<* « /* (5+а) (1 - 5 - а+р),

0

на основании которого

К * (5) = /1 (5 + 3 - а - р)/* (-5).

Далее, применяя формулы [12]

1 + а - с - 5,1 + Ь - с - 5 1 - 5,1 + а + Ь - с - 5 Яе с > 0,Яе 5 < 1 + Яе(а - с),1 + Яе(Ь - с),

5, с - а - Ь + 5 с - а + 5, с - Ь + 5 Яе с > 0,Яе 5 > 0,Яе(5 + с - а - Ь) > 0, находим функцию

(х -1) + 1Р (а, Ь; с;1 - х) « Г(с)Г

(1 - х) + 1Р(а, Ь; с;1 - х) « Г(с)Г

2

г

3

2

а-

3

2

К * (5) = Г(а)Г

р-2

а + Р , а+Р-3

1 - 5,-5,--!-----с - 5

Г 2 3 3 2

а + Р-2-5,Р-1 -5,а + с -5 Используя последовательно соотношения [12]

X а g (х) « g * (5 + а),

(х-1) + 1 Р3(а,аЬ,Ь';с;1 -х;1 -—) « Г(с)Г

1 - а' - Ь' - 5,1 + а - с - 5,1 + Ь - с - 5 1 - а - 5,1 - Ь - 5,1 + а + Ь - с - 5

при Яе с > 0,Яе 5 < 1 - Яе(а' + Ь'),! + Яе(а - с),1 + Яе(Ь - с), имеем

Г(а)Г

1

К (а) = -

Р

2

Г

а + 2с + Р -

а

3 а+Р

—а - 2 с------

2 2

(а-1)+

а+2с+Р-

X

X К

Р-а а + Р-1

2

,с+

2

Р -1, а + 2с -

а + Р-3 ;

; а + 2с + Р-—;1 -а;1-

2 2 а

где

Р3(а,а,Ь,Ь-;с;х;у) = £ (а)^'>"<Ь)Ь ')п х"у"

п (с) т+пт!п!

т,п=0 4 ''"+"

- гипергеометрическая функция Аппеля [9]. Тогда можно сделать вывод, что

31 (х) = А(х)-

5

а— 2

Г(а)Г

Р-2 10

|ф)К (а)Л5

(8)

где К (а) выражается формулой (8).

Исследуем Jl(х) на непрерывность. Для этого осуществим замену 5 = х1, в результате которой (х) принимает вид

31 (х) = А( х)----

Г(а)Г

В силу формулы [13]

Р-

г(х^Л.

1

Р3 (а,а ,Ь,Ь ;с;1 -х;1----------) = Г

с

к, с - к

2а-1 (1 - 2)с-к-1(1 - 2(1 - х)) ~а

X

X Р (а, Ь; к; 2(1 - х)) Р

'а ,-Ь' + с - к; с - к;(1 - х)(1 - 2) '

Л2,

1 - 2 (1 - х )

V /

где Яе с > Яе к > 0 и использованы формулы автотрансформации [9]

Р(а, Ь; с; 2) = (1 - 2)с-а-Ь Р(с - а, с - Ь; с; 2) , можно доказать, что гипергеометрическая функция Аппеля является сходящейся. Оценим интеграл, входящий в состав 31 (х) :

= М1

где М, М1 - константы, независящие от х, t .

3

Так как А + а- — > 0 выполняется, то можно сделать вывод, что 31(х) является непрерывной функцией на отрезке [0,1] .

1К (1 ] ^3 х( < М 1 1 -с-Р с —с-Р I (2 Л < М 2-с-р t2 1

•' 1t 0 3 0 0

2

3

а-

2

2

х

х

Из всего выше изложенного следует, что / (х) непрерывна в целом. Значит интегральное уравнение Вольтерра (6) допускает единственное непрерывное решение.

Для окончательной разрешимости используемой задачи покажем, что решение уравнения (6) дифференцируемо в интервале (0,1) . С этой целью проинтегрируем по частям в интеграле в соотношении (6).

Положим

и =п 2«),

а+р

V = ■

А(х) К2 х

В( х)

Г

а -Р +

(х - -)

а-р+

_ а + зра-р +1 0 3 , -

3-----^,---£---с; а-р + - ;1

2 х

2

2

і- .

2

[гс 1Р (а, Ь; с; г)] = (с -1) гс 2 Р (а, Ь; с -1; г).

Воспользуемся формулой [9]

і ёг Тогда

а-р-1

А( х)

V =-

К 2 х 2

В(х)

а -Р +

Ґ а-р+3 (

(1 - -) 2 Р

а -Р +

2

3

а + зр а-р +1

2

2

о 3 -

-с; а-Р + - ;1-

2х

Продифференциируем обе части полученного равенства по переменной х. В результате уравнение (6) преобразуется в уравнение

л

(х) +1N(х, -)у2 (-)ё- = /'(х),

(9)

где

N (х, -) =

К 2 х 2

а-Р-1 ґ а-р+3

(1 --) 2

х

3 -

3 3

(а + 2 -Р)Г(а + 2 -Р)В(х)

а + 3р а-р +1

А(х)В (х) + а-р-1

2

о 5 ! -

2 - с;а-р +—;1 — 2 2 х

А'(х)-----------------------— — +-

В(х) 2х

-1

А(х)

X

+ А ( х )

_ а + 3Ра-Р +1 а 3 , -

3 -,------с;а -Р + — ;1

2 2 2 х

1 - -

х

V

X

Ядро N(х, ^) является непрерывной функцией в квадрате 0 < х, ^ < 1. Тогда можно сделать вывод, что уравнение (9) допускает единственное непрерывное решение. Значит интегральное уравнение Вольтерра (6) имеет решение дифференциируемое в интервале (0,1) .

Из всего выше изложенного следует, что аналог задачи Б-С для уранения (1) однозначно разрешим.

Автор выражает глубокую благодарность своему руководителю О.А.Репину за постановку задачи и помощь в работе.

а-2

2

3

3

х

Г

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хасанов А. О некоторых задачах типа задачи Бицадзе - Самарского для уравнения гиперболического типа // Краевые задачи для уравнений матем. физики и их приложения. Сб. научн. трудов Ташкент. 1984. С. 50-58.

2. Салахитдинов М.С., Исломов Б. О некоторых краевых задачах со смещением для уравнения

- (у)тихх + хПиуу-I2 хп (-у)ти = 0 // Некласс. уравнения матем. физики и задачи теории ветвления. Сб. научн.

трудов. Ташкент. 1988. С. 24-34.

3. Репин О.А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Саратов: СарГУ. 1992. 161 с.

4. Репин О. А. О нелокальной краевой задаче с оператором М.Сайго для обощенного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Интегальные преобразования и краевые задачи. Сб. научн. тр. Черновцы: Ин-т мат-ки. 1996. Вып. 13. С. 175181.

5. Репин О.А. Задача со смещением для гиперболического уравнения с двумя линиями вырождения // Вестник. Самар. гос. эконом. академии. 1999. №1. С 208-213.

6. Нахушев А.М. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения //ДАН СССР. 1969. Т. 187. №4. С.736-739.

7. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions // Math. Rep. Kyushu.Univ. 1978. Vol. 11. N 2. P. 135-143.

8. Гордеев А.М. Некоторые краевые задачи для обобщенного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Волж. матем. сб. 1968. Вып. 6. Куйбышев. С. 56-61.

9. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.1: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука. 1973.-296с.

10. Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler - Poisson - Darboux equation // Math. Japan. 1979. Vol. 24. №4. P.377-385.

11. Маричев О.И. Метод вычисления интегралов от специальных функций (теория и таблицы формул) Минск: Наука и техника. 1978.-310с.

12. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск.: Наука и техника. 1987 - 688 с.

13. Saigo M. A. Maeda N. More generalization of fractional calculus // Transform. Methods. Functions. Varna. 1996. P. 386-400.