ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА ДАРБУ С ПАРАМЕТРАМИ α>0, β Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ивашкина Г.А.

ГОУ ВПО «Оренбургский государственный университет»

ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА - ДАРБУ С ПАРАМЕТРАМИ а>0, £<0

Задачи со смещением были впервые поставлены Нахушевым А.М. [6]. Для уравнения

Ub —(U_ - U е) = о -1 <р< о задача со смеще-

si п-е 1 s 2

нием была решена в работе [5], причем в работе были использованы операторы дробного порядка интегрирования и дифференцирования в смысле Лиувилля [1].

В данной работе поставлена задача со смещением с операторами Saigo [3, 4] для более широкого спектра параметров а и в.

В работе использовано общее решение уравнения Эйлера - Дарбу, полученное автором в работе [7].

Рассмотрим уравнение

Un+-Or Ue-^т Un= о, (1) п-4 П-4

где а>0, в<0.

Для нахождения общего решения будем использовать два основных свойства уравнения Эйлера - Дарбу.

1. Если ввести новую функцию

и(Ы=(п-еГ-р п)

то уравнение (1) перейдет в уравнение

^п-^г уп+ ^Г v4 = 0. (2) П-4 П-4

Если через Z(a, b) обозначить любое решение уравнения (1), то в силу (2)

z( а,в) = (п-е)1-а-Р z(1 -рд-а ). (3)

2. Если Z(a, b) любое решение уравнения (1), то

Ме^ = z(1 + а,Р), = z(a,1 +Р). (4)

Эп

Используя (3) и (4), можно записать

z(«,P) = "d^mz(a- m'e) =

dm dn

— (пЧ)1-а-р+т — z(1 - P - n,1 - а + m) d^m 1 ^ Э^п v ' J

где

z(1 - в - n,1 - а + m) =

= X1 (п - i;rP+n-m-1 f ф( е + (п - Ot)tn+P-1(1 - O^^t +

JV(£ + (пЧЮГ-" (1-t)-p-ndt (5)

X2

(здесь 0<а-т<1,0<Ь+п<1, т, пОЫ). Введем вспомогательные функции

4 4

ф( 4) = / Т(7)(4 - 2)1 dz, у(4) = | G(z)(4 - z)8 0 0 После ряда преобразований получим общее решение уравнения (1).

(Эти преобразования приведены в работе [1].)

и(4,п ) = (п - 4)'-m f T(t)| j F(m -1, а; а + P; )dt +

• I п -1 I п -1

+ Г(а + Р)Г(1 - m +1) (п-е)1-m

. Дт4)

' п-

Г(Р)Г(1 +1 - m + а )

п

f T(t)( Л-! )а-m+1F(1 - р,а;а - m +1; Л-! )dt + (п - 4) j п - е п - е

1-а-р+8

f G^^-t j F(-8,1 -P;2 -а-Р;

п-4)dt + Г(1 + 8)Г(2-а-Р) (п-е)1-а-Р+8 п-t Г( 2-р + 8)Г(1 -а)

п ( -1 ^1+8-Р -1

f G^i^—| F(а,1 -Р;2-р + 8; ^ )dt,

п-е

(6)

п

где ё>а-2,-1 -р + т < 1 < т -р.

Задача. В области Б, ограниченной линиями 4=0, п = 1, П = 4, найти решение и(4,п)ес(п'(р)с(п+1)(биI) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям

4

и( 4,4) = т( 4) = / т(2)(4- 2) dt

0

() = 1 -т,-1 -Р<)<-Р) , (7)

р(4)101-а-)Д+)'а+р+)и(0,4)+ + g(4)I0lo)oP.1+).a+p+) и(4,1) = г( 4) (8)

Здесь через 1^?'° и обозначены операторы Saigo.

та,Ъ,с г_

10? 1 -

-Ъ I

Г(а) ё? п

} f(t)( ?- ^^(а + Ъ'-с;а; 1 )dt

} 1 а > 0; (9)

та+П'Ъ-П'С-п р f

с - Ь > -1,с,Ь е R,f е С[0,1]

Этот оператор обладает следующими свой-

ствами

-1

-а,-Ъ,а+с 0?

(10)

2.1|1Ъ'С10'г?'а+° = 10+т'Р+5'° (а, У > 0) (11)

Выразим Щ0, x) через операторы Saigo

и( 0,?) -

Г(ц + а + в)Г(2 - а - в) ?) +

Г(1 -а)

10?

Г( а + в)Г(ц +1) 11+м.+а,-^-1,р-1Т( ?)

Г(в)

10?

Тогда

Iи(0 ?) =

Г( а + в)Г(ц +1) Г(в)

Т(?) +

+ Г( а + в)Г(ц +1) т(?) + Г( а + в + Ц )Г( 2-а-в) (13)

Г(в) Найдем

Г(1 -а)

та,Ъ'Ср _ 1 ?1 f -

(1- )-

1

-} ОДа - ?)а-1 F(a + Ъ-с^;1-? ^

Г(а)

(-1)п _^!а+п'Ъ-п'с-ч

а > 0; а < 0;

с - Ъ > -1,с,Ъ е ^ е С[0,1]

Свойства этого оператора аналогичные. В целях упрощения решения задачи выберем параметр d из условия 2 -в+5-а+ц+1, т. е. 8-ц + а + в-1.

Тогда решение уравнения (1), удовлетворяющее краевому условию (7), примет вид:

и(п) = (1-?)|Т(о| ^1-? | -ц;а;а + в;+

Г( а + в )Г( ц +1) Г(в)Г(1 + ц + а)

М)} Т(1)|

п-1

п-?

F(1 -в, а; а + ц +1; ^ +

п-?

-(-?)/| F(-1 - а - в - -в;2-а-в; ^n_i)dt +

п -1

и( ?,1) - (1 -?)/Т(1)[ 1-? ] ' ^ -ц, а; а + в; ^)ё1

1-?

Г(а + в)Г(ц +1) (1 -?)) ГТ(1)| 1-1 Г(в)Г(1 + Ц + а)У ^ / 1 -?

1 -1

F(1 -в; а; а + ц +1;-)ё1 +

1 -?

(1 -?)} 0(1)1

1-? 1 -1

1-а-в-Ц

1-?

^ 1 - а - в - -в;2 -а-в;-—1 ё +

Г( а + в + ц )Г( 2-а-в) Г(1 + а + ц )Г(1 -а)

(1 -? )Ц/аЦ 1

1-1 -?

1 -1

F( а,1 -в;1 + а + ц;-—? )ё1 Имеют место формулы

р|-ц, а,а+в; ^ Ук!

^ | р[-ц,в;а + в;Г(а + в)Г(в + Ц) 1 -?] I 1 -?] Г(в)Г( а + в + ц)

(14)

Г(ц + а + в)Г( 2-а-в) Г(1 -а )Г(1 + ц + а)

(п-?)} 0(1)1

п -1

п-?

Р(а,1 -в;1 + Ц + а; 1 (12)

п-?

Полагая в (12) ? = 0 и п = ?, получим

Щ(Ш =

Г(ц + а +р)Г(2-а -р) Г(1-а)Г(1 + ц + а)

Б (аЛ - Р;1 + ц + а;

№

Г (а + Р)Г(ц + 1) Г (р )Г (1 + ц + а)

- ц,1 - ц - а - в;1 - ц - в;

1-1' 1-?

| Г(а + в)Г(-в-ц)Т?-!^рТ

Г( -ц )Г( а)

в,1 - а;1 + в + ц;

1-1 1-?

1 -в, а; а + ц +1;

1 -1 У 1 -1

1 -Ц1 -?

Г( а + ц + 1)Г( ц + в) Г(ц + 1)Г( а + в + ц)

- ц,1 - а - в - ц;1 - в - ц;

1-1 1-?

Г(1 + а + ц )Г(-в-ц)

Г(1 -в )Г( а)

в+ц

Р(1 -а,в;1+ в + ц; 1::|);

+

+

+

+

-ц

+

+

+

где через и1 (4,1) и и 2 (4,1) обозначены соответственно три первых и три последних слагаемых формулы (15)

F(1 - а - в - ),1 -в;2-а-Р;

.1 -4-11 -4

1 -1 I 1 -1

1-а-в-)

1-4

-1+а+в+)

Е 1 - а - в - ),1 - а;2 - а - в;

1-4

t-4

применив которые, найдем выражение для и(4,1) в следующем виде:

и(4,1) = (1 -4))

Г(а + Р)Г(Р + )) Г(Р)Г(а + в + ))

1

t

1 -)-Р;—4 )dt + (1 -4)) 1 -4

Г(-))Г(а)

11Ч Й

,)+р

Б(Р,1 -а;1 + Р + );

)dt + (1 -4))

1-4

Г(а + Р)Г(-р-))Г(1 + )) Г(Р)Г(1 -Р)Г(а) .

Т«

1-4

1-4

,)+Р

F(1 -а,Р;

t-4

1 + р + );тг| ^ + (1 -4))

Г(2 - а - Р)Г(Р + )) Г(1 - а)Г(1 + ))

|G(t)F(1 - а - Р - ),-);1 - Р - );1—4)dt +

)

;1 -4)

-1+а+Р+)

(1 - 4))|G(t)| ^ | Р(1 - а - р - ),1 - а;2 - а - в;-l-o4^ +

+ (1 -4))

Г(а + в + ))Г(2 - а - Р)Г(-Р - ))

Г(1 - а)Г(а)Г(1 -Р)

Юк .1 -4

Заметим, что 1

Г(1 + Р + ))

в+)

t-4

Б(1 -а, Р;1 + Р + ); ^—4 )dt

(15)

I т(t)(t-4))+р F(1 -а,Р;1)dt

•1+Р+),-1-),а-Ъ

41

Т(4)

Аналогично можно выделить оператор Ба1§о из последнего слагаемого. Ввиду громоздкости, связанной с преобразованиями этих интегралов, выберем конкретное значение ), учитывая, что -1 - р < ) < -р. Легко показать, что в качестве ) можно взять ) = -а - р + т.

Действительно, исходя из верного неравенства -1 <-а + т < 0, получим -1 -р<-а-р+ т <-р.

Итак, взяв в (15) ) = -а-р + т, найдем

I0í-p-)'-)-1•а+p+) (и! (4,1)+ и2 (4,1)) =

= т,т (И1(4,1)+ и 2 (4,1)),

= (- íVm_d^I-í+а,í-p-а,oи (41)=(- 1)т Г(а + Р)Г(т - а) ¿т 1 ' 64т 41 1 ' Г(Р)Г(т) 64т

МЛ (t - 4)а-2 (1 - (^Р-

Г( а-1) ^ ^ У !

Т^Б^а + Р - т,1 - т,1 + а - т;^р + (-1)т

Г( а + Р)Г(а - т) ¿т Г(а)Г(а + Р - т)Г(а -1) ¿4т 1 t (1 - 4)/ (( - 4)а-2 (1 - ()-Р dtJ T(z)(t - 2)°а+т

40

z - (

Е(Р,1 - а;1 - а + т;—-^ +

Г(1 - а - Р + т)Г(а + Р)Г(а - т)Г(1 - а + т) Т( (16) Г(Р)Г(1- Р)Г(а) (4) ( )

Обозначим первое слагаемое формулы (16) через 11 ,второе через 12.

11 = (-1)т

Г( а + Р)Г(т -а ) ¿т Г(Р)Г( а-1)(т -1)!64т

(1 -4)р/((-4)а-2 (1 - ()"

а-в+т

/ T(z)F(а + Р - т,1 - т;1 + а - т;^—-)dz = Г(а + Р)Г(т -а) 6т

=(-1)т

Г(Р)Г( а-1)(т - 1)!64т

а-в+т

11 (1 -4)р! т(z)dzJ ((-4)а-2 (1 - ()-а-1

04

z - (

а + Р - т,1 - т;1 + а - т;-Ш.

1-(

Во внутреннем интеграле выполним подстановку (= 4 + (1 -4^ и заменим гипергеометрическую функцию по формуле

г -

Е(а + Р - т,1 - т;1 + а - т;-) =

1 - (

ч т-1 / ч

ío^- I И1 -Р,1 -т;1 + а -т;^ I.

Тогда 11 примет вид

11 =(- хг ■

Г(а + Р)Г(ш - а) Г(Р)Г(а -1)^-1)!^"

[т(7)(1 - 7)ш-1 dz / Vа-2 (1 - у)1-а-Р

1 - V ,

Е(1 -Р,1 - т;1 + а- т;1 -4)) = 0 (17)

1 - z

Действительно, гипергеометрическая функция р[1 - в,1 - т;1 -(1 - ?)] представляет многочлен т-1 степени по переменной 1 -^ (1 -?),

1 - г

линейной относительно х, т. е.

1 - V

Б(1 -в,1 - т;1 + а- т;1--(1 -?)) -

1-г

-1 +МИт) г - ^ (1

(1 + а- т)1! | 1 - г "

(1 -в)(2 -в)(1 -т)(2 -т) (1 - 1-у 2 +

(1 + а- т)( 2 + а- т)2! ( 1 - г( '

+ (1 -в)(2-в)""(-в + т- 1)(-1)т-1 Т1 - 1-у (1 -?)

(1 + а- т)( 2 + а- т)""(-1 +а) | 1 - г

т-я производная от которого будет равна нулю. Преобразуем второе слагаемое формулы (16) 1 - ( 1)т Г(а + в)Г(а -т) р^

2 ( ) Г(а)Г(а + в - т)Г(а -1) d?m ( ?) 1 t •} (1 Ч^-2 (1 - 1)-в ¿1} Т(1)(1 - z)-а+т

7 - \

F(в,1 - а;1 - а + т; —)ё7 - (-1)т •

Г(а+в)Г(а-т) _атт(1 -?)в}(1 -?)а-2ё1

Г(а)Г(а + в - т)Г(а -1) ¿?п

}Т(г)(1 - г)-в (1 - г;та+тР(в,т;1 - а + т;—)ёг о 1 -1

Изменим порядок интегрирования

1 -( 1чт +(a + в)+(a-т) ёт (1 -?.р 2 ( 1 Г(а)Г(а + в -т)Г(а -1) ё?т ( ? 1 (} Т(7)(1 - 7)-в ¿7 •}(1 - ?)а-2 (1 - 7)т-а Б(в, т;1 - а + т; —

о ? 7

1

+ } Т(7)(1 - 7)-в d7 • ?

1

• }(1 - ?)а-2 (1 - 7)т-а Р(в, т;1 - а + т; —-

1-7

- НГ ^21 +122 )

(18)

где I

21

Г(а + в)Г(а - т) Г(а)Г(а + в - т)Г(а -1)

(1 -?)•

} Т(7)(1 - 7)-в ¿7} (1 - 7)т-а (1 - ?)а-2 Б(в,т;1 - а + т; 1—7

В гипергеометрической функции применим формулу перехода от аргумента х к 1 - х

тт/о , , 1 - г Г(1-а + т)Г(1-а-в)^

Р(в,т;1 - а + т;-) - —-—-— Р(в,т;а +

1 - г Г(1-а)Г(1- а - в + т)

Р 1-1. Г(1 -а + т)Г(-1 + а + в) + в; + Г(в)(т -1)!

1 -1 У-"-" 1 -1

—1 | Р(1 -а-в + т,1 -а;2-а-в;^-1)

1 - г ] 1 - г

Тогда 121 примет вид

Г(а + в)Г(а - т)Г(1 - а + т)Г(1 - а- в) ' Г(а)Г(а + в - т)Г(а - 1)Г(1 - а)Г(1 - а - в + т)

(1 -?)Р

} Т(г)(1 - г)-в ёг/ (1 - ?)а-2 (1 - г)т-аР(в,т;а + в;1-1 + 0 ? 1 - г

Г(а + в)Г(а - т)Г(1 - а - т)Г(-1 + а + в) (1 -Р)в Г(а)Г(а + в - т)Г(а - 1)Г(в)(т -1)! ( ?)

? 1

} Т(г)(1 - г)а-1 ёг/ (1 - t)1_a_в (1 - ?)а-2 (1 - г)т-а

1 -1

Р(1 -а-в + т,1 -а;2-а-в;-^ -

1-г

Г(а + Р)Г(а - т)Г(1 - а + т)Г(1 - а-в) Г(а)Г(а + Р - т)Г(1 - а)Г(1 - а - Р + т)Г(а -1)

(1 -?)в^

•}Т(7)(1 - 7)"

•а-в+т

¿7

1

(1 -?)а-^(а, а + в- т; а + в;—)& +

1-7

Г(а + в)Г(а - т)Г(1 - а + т) Г(-1 + а + в) Г(а)Г(а + в - т)Г(а - 1)Г(в) (т -1)!

гт(7)(1 - 7)т-1ё7 •

(1 -?)в

/1

• }(1 - 1)1-а-в (1 - ?)а-2 Р(1 - т,1 - в;2 - а - в; —

1-7

?

Во внутренних интегралах сделаем замену переменной по формуле 1 - (1 - -1

121 -

sin лаэтп(а + в - т)(1 - ?)в sin п(а + в) sin п(а - т)Г(а -1) 1

}Т(7)(1 - 7)-а-в+т аг}((1 - ?)(1 - у))а-2 Р(а;а + в - т;

а + в;1—- V)

1-7

(1 + -

Г(а + в)Г(-1 + а+в)

sin п(а - т) Г(а)Г(а - 1)Г(а + в - т)Г(в)(т -1)!

п

(1 -4)Р/т(7)(1 - -4)v Га°в

IТ(7)(1 - 2)1+т-а-^(1,2 - а - Р;2 - а - в + т; —)dz (20) J 1 -4

((1 - 4)(1 - V))"-2 F(1 - т,1 - Р;2 - а - Р;(1 4^)(1 - 4)dv =

1 - z

= sin па sin ;(а + Р - ш)(1 - 4)а+Р-1 sin ;(а + Р) sin ;(а - т)Г(а)

I Т(z)(1 - z)Toаoв Р(1, а + Р- т; а + Р; ^ )dz +-П--

J 1 - z вт ;(а - т)

0

Г(а + Р)Г(-1 + а + Р)Г(2 - а - Р)

Г(а)Г(а + Р - т)Г(1 - Р)Г(Р)(т -1)! 4

I Т(z)(4 - z)т-1dz = 0

ча+Р-1

1 -4Ч

-а /Т(z)(1 - z)To11 ^ I F(1, а + Р - т; а + Р; )dz + Г(ар | 1 - z I 1 - z

(-Цт-1 ( ГУТ^ Р) IТ(*Х4-2)Т-1 67(19)

(т- 1)!Г(а + р-т)яш;(а + в) •

Преобразуем второе слагаемое формулы (18)

I?? =

в 1

Г(а + Р)Г(а - ш)(1 -4) Г(а)Г(а + в - ш)Г(а -1)

/ Т(z)(1 - z) -

,dz ■

1

■ /0 - 4)а-2 (t - z)ш-а F(P, ш;1 - а + ш; — )dt J 1 - z

z

Во внутреннем интеграле делаем замену переменной по формуле х + (1 - z)v = (

1 = Г( а + Р)Г(а -т)(1- 4)Р 22 = Г( а)Г(а + Р -т)Г(а-1)

1

/ Т(z)(z -4)а-2(1 - z)ш-а-p+1dz

1

/ vш-а (1-

1 - z

4-z

v)а-2 F(P,т;1 -а + =

Г(а + Р)Г(а - т)Г(1 - а + т)Г(2 - а - Р)(1 - 4)а+в 2

Г(а)Г(а + Р - т)Г(а - 1)Г(2 - а - Р + т)Г(2 - а)

1

/Т(z)(1 - z)1+T-а-Pз F2 (1,2 - а,2 - а - Р;2 - а + т - Р,2 - а;—^ 4 1-4

(1 - а - в) вш п(а + в - т) вт п(а -1) - 4)а+р-2 (1 - а - в + т)Г(а) вш ;(а - т) вш ;(а + Р)

1

/ Т^)(1 - z)1+т-а-вF(1,2 - а - Р;2 - а - в + ш; 1^)dz = J 1 - 4

(1 - а - в)(1 -4)а-в-2 (1 -а-в- т)Г(а)

Подставим (19) и (20) в (18)

а+в-1

I-z

12 = /Т(z)(1 -z)To1 | Ы

2 ^ Г(а) .1 I 1

0

1 -4

Р(1, а + в- т; а + в;—-1 - z

Г(а + в)Г(1 -а)вт ;в (т - 1)!Г(а + в- т)вт ;(а + в)

Т^- z)т-1dz + (-1)^

-1 1 -а-в (1 -а-в + т)Г(а)

Т(7)(1 - 7)т

1 - 7

1-4

2-а-в

1 - г.

F(1,2 - а - в;2 - а - в + т;-)dz) =

1-4

Г (а + Р)г(1 -а)в1п пв Т(4)+(-

1 4 11 ^л«^-1

МТ(z)(1 - z)ш-1l 1- 4 аЫ I 1 -

Г(а)

1-41

1,а + Р-ща + в;—2 ldzl

1-z I

- 1 -а-в (1 -а-в + ш)Г(а)

№)(1 - z)

-1| 1 - z

ш-1

1-4

2-а-в

1 - Z

1,2-а-Р;2-а-Р +

dz). (21)

Учитывая, что получим 12 =^(1 - а - вХ-2-а-Р)..(ш-а-в)

/ Т()( - z)-1í 1

а+Р-ш -1

1 -4

- z

РЛ,а + Р-ш;а + Р-ш;^-4 ^-

I ^ I

(1 - а - в)2-а-в)..(1 + ш-а-в) (- 1) 1 -а-Р + ш Г(а)

К» - ^ й р"

1 - z

^ 1,2-а-Р + ш;2-а-Р + ш;^^ |dz-

Г (а + Р)г(1 -а)т пв Г(а + в - т)т п(а + в)

Т(?) =

(-1) г(1 + т-а - в)( -?)а+в-т-1 Г(а) Г(1 -а-в) ^ ?

1т(7)(1 -7)-а-в+тё7- Г(а + в)г(1-а)(пРТ(?).(22) | w ?-7 Г(а + в -т)пп(а + в)

Выражение для 11 и 12, найденные по формулам (17) и (22), подставим в (16) и найдем

1-1+а-т,1-а-в+т,ти (? 1)- (- 1)тг(1 + т-а-в)( -?)а+в-т-1

- г(а)г(1 -а-в) 11 ?

/ т(

2)(1 - 7)1-а-в+тё7 +

?-7

Т(?)(- 1)Т т Г(а + в)sin пвг(1 - а - в + т) \ Г(а^ш па

- Г(а + в)г(1 -а)ш пв 1-Г(а + в- m)sin п(а + в) I

- (- 1)т Г(1 + т-а-р) (1 - ?)а+в-т-1

г(а)г(1 - а - в)

/ Т(7)

(1 - 7)

-а-в+т

?-7

¿7 .

(23)

(коэффициент у функции Т(х)равен нулю). Аналогично находится

I

-1+а-т, 1-а-|

1-а-в+т ти 2 (?,1)-(-1)т d|mI"í+а;1_а_в;0u 2 (?д),

где и 2 (?,1) - три последних слагаемых формулы (15). Итак,

1-1+а-т, 1-а-в+т; т^ (?1)-

Г(2 - а - Р)г(- а + т) ^ Г(1 -а)г(1 -а-Р + т)г(а-1) ¿?г

1

}(1 -1 )-а-в+т (1 -?)а-2ё1

(- 1)т

-(1 -?)•

}G(tХ1 - 7)-1 • - т,1 - а; 2 - а - в;1—!

, (-1)" (т - 1)Г (2-а - в) _(?)

г(1 -в) ^.

7+

(24)

Здесь учтено, что последний интеграл формулы (15) представим оператором Saigo

11-а+т, а+в-1-т, а-1о(?) - У1 Ь/

?' К '- Г(1 -а + т)

} 0(1)1 - ?Га р|рд -а;1 -а + т;!-? .

Преобразуем сначала гипергеометрическую функцию

1 -1

Р(1 - т,1 - а;2 - а - в;-)

г -1

Запишем формулу перехода к обратному аргументу

7-1

Б(1 -а,в;1 -а + т;—) -1-1

Г(1 - а + т)Г(а + в-1) [ 1-1 : Г(в)(т-1)! I 1 - 7

1 -1

Б(1 - а,1 - т;2 - а - Р;-) +

7 -1

Г(1 -а + т)Г(1 -а-в) Т1 -1

1-а

Г(1 -а)Г(1 -а-в + т)I 7-1

1 -1

Б(Р, а + Р- т; а + Р;—), 7 -1

из которой определим функцию

1 -1

Б(1 - а,1 - т;2 - а - Р;-) =

7 -1

Г(Р)(т -1)!

1 - 7

Г(1 -а + т)Г(а + Р-1) I 1 -1

7 -1

Б(1 -а,Р;1 -а + т;-)-

1 -1

Г(1 -а-Р)Г(Р)(т -1)!

1-а

1 - 7

Л-а-в

}}G(7)F|l - т, а + в- т;1 + а - т;-7—1 ]]ё7 +

1 1 -1

+ (- 1)т ¿т (1 -?) Г(1 - 1)1-а-в(1 -?)а-2ё1 р(р,а + р-т;а +13;—) перейдем к обратному

Г(1 -а)Г(1 -а-Р + т)Г(а + Р-1) 11 -1

1 -1

Б(Р,а + Р- т;а + Р;-). (25)

7 - 1

В гипергеометрической функции

аргументу

в

+

1 -1

F(P, а + Р- m; а + Р;——) = z -1

Г(а + Р)Г(а - m) f t - z

P

Г(а + P - т)Г(а) I 1 - z

wn. , z -1. Г(а + Р)Г(т -а)

F(P,1 - а;1 - а + m;-) + —----

1 -1

Г(Р)(т -1)!

1 - z 1 -1

а+р-т

F(a + P - m,1 - m;1 + а - m;-)

1-1

Полученный результат подставим в (25)

1-1

F(1 - а,1 - m;2 - а - Р;-) =

z-1

r(P)(m -1)!

1 - z

Г(1 - а + m)r^ + P-1) 11 -1 z-1

F(1 -а,Р;1 -а + m;-)

1-1

Г(1 - а - Р)Г(а + Р)Г(1 - а + m)Г(а - m)

)-

Г(1 - а)Г(1 - а - Р + m)Г(а + Р - m)Г(а)

Г(1 - а - Р)Г(а + P)Г(m - а) (z Г(1 - а)Г(1 -а-Р + m)Г(а + P-1) I 1 -1

z -1

F(a + Р - m,1 - m;1 + а - m;-)

1 -1

Покажем, что выражение

Г(1 - а - Р)Г(а + Р)Г(1 -а + т)Г( а- m)

1--— 0

Г(а)Г(1 - а)Г(1 - а - Р + т)Г(а + Р - m)

Действительно,

sin па sin п(а + Р- m) sin па(-1)msin п(а + Р)

1--— 1--— 0

sin п(а + P)sin п(а - m) sin п(а + Р)(-1)m sin па

Таким образом,

1 -1

F(1 - а,1 - m;2 - а - Р;-) —

z -1

Г(2-a-P)^m-а) (t-z

= Г(1 -а )Г(1 -а-Р + m) ( 1 -1 z -1

F(а + Р - m,1 - m;1 + а - m;-)

1-t

Подставляя найденное выражение для гипергеометрической функции в (24), получим

T-1+a-m,1-a-P+m,mT т i\ _ % U2(4,1) —

41

(-1)m(m - 1)!Г(2 -а-Р)

Г(1 -Р) Г(2 - а - Р)Г(-а + m)

G© + (-1)" dm

Г(1 - а)Г(1 - а - Р + m)Г(a -1) d^11

1

| (1 - 1)-«-P+m(1 -4)а-2ё1

+ (-1)m

г z -1

| G(z)F(1 -m,а + Р-m;1 + а-m;--)dz =

— (-1)m(m - 1)!Г(2 -a-P)G© Г(1 -Р)

Г(2 - а -Р)Г("-а) dm (1 -р Г(1 - а)Г(1 -а-Р + m)Г(a -1) d£m (

1

| G(z)(1 - z)m-а-Р dz

t -z

(1 -4)а 2F(a + P-m,а,1 + а-m;-)d1 .

1-z

Выполним замену переменной по формуле

1 - (1 -4)v — t

j-1+a-m,1-a-P+m,mu 1) _

— (-1)m(m - 1)!Г(2 -a-P)

— Г(1 -P)

Г(2 - a - P)f(m -a) dm Г(1 - а)Г(1 - а - P + m)r(a -1) d^11 1

| G(z)(1 - z)m-a-P dz

G(4) + (-1)m

-(1 -4)'

a+P-1

f (1 - v)a-2F(a + P - m,a;a +1 -m;1 - v)dv —

1-z

0

— (-1)m(m - 1)!Г(2 -a-P)

G(4) + (-1)m

Г(1 -P)

Г(2 - a - Р)Г(" -a) dm Г(1 - а)Г(а - 1)Г(1 - а - P + m) d£n

1

; a +1 - m;

0

f G(z)(1 - z)m-1dzf (1 - v)a-2v1-a-PF(1 - P,1 - m; a +1

1 - Ы v) = (-ггСшг«^^©. (26)

1 - z Г(1 -в) 4 '

Гипергеометрическая функция представляет многочлен т-1 степени относительно пере-1-4

менной 1--2 V, поэтому

1 - z

¿т v

-Е(1 - Р,1 - т;1 + а - т;1--4) = 0.

64т 1 - z

Подставляя (13), (23) и (26) в краевое условие (8), получим уравнение относительно неизвестной функции С(х)

(m - 1)!Г(2 -a-P)G(4)

f P(4) + (-1)mg(4) ^ Г(1 -a) Г(1 -P)

1-a

+

Г(а + в)Г(1 -а-[3 + т)

+ Гф) p(S)t(S) + Hr^-T^rtS* - S)a+e

Г(а)Г(1 - а - р)

T(z)

(1 - z)

1-а-р-ш

S-z

-dz = r(S).

Уравнение разрешимо при условии

P(S) + ( 1)mg(S) . °

■+(-1) Т-в^о<S< 1

Г(1 -а )

Функции P(x), g(x) и г(х) - непрерывны на сегменте [0,1], g(S) = g*(S)S8(1 -S)8, где -а-Р + m< S< 1 -а-Р+m, °<8< 1; T(S) и G(x) -интегрируемые.

Список использованной литературы:

1. Hardy G., Littlewool I., Some properties of fractional integrals. I. Math., z., 27, 565-606, 1928.

2. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962. 1110 с.

3. Saigo M., Math. Rep. Kyushu Unir, 1978, vol. 11.

4. Saigo M., Math., jap., 1979, vol. 24.

5. Ивашкина Г.А., Невоструев Л.М. Дифференциальные уравнения, 14, №2, 1978.

6. Нахушев А.М. Дифференциальные уравнения, 5, №1, 1969.

7. Ивашкина Г.А. Задача Коши для уравнения Эйлера-Дарбу с параметрами а>0, в<0, 0<а+в<1 // Вестник ОГУ. - 2002. -№5. - С. 98-106.