Взаимно-сопряжённые краевые задачи с отходом от характеристики для многомерного уравнения Чаплыгина Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ВЗАИМНО-СОПРЯЖЁННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С ОТХОДОМ ОТ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЧАПЛЫГИНА

Т.Т. Шерияздан Актюбинский государственный университет им. К.Жубанова,

пр. Абылхайырхана, Актобе, 030000, Казахстан, e-mail: [email protected]

Аннотация. В работе исследованы взаимно-сопряженные краевые задачи с отходом от характеристики для многомерного уравнения Чаплыгина.

Ключевые слова: краевая задача, сферические функции, характеристика, многомерные уравнения.

При исследовании смешанной задачи M в [1,2], для уравнения колебания струны изучалась краевая задача с отходом от характеристики, где обращено внимание на важность исследования таких задач для гиперболических уравнений. Для вырождающихся гиперболических уравнений эта задача на плоскости рассмотрена в [3,4]. Однако, многомерные задачи с отходом от характеристики не изучены.

1. Постановка задач и результаты

Пусть Dp - конечная область евклидова пространства Em+1 точек (xi, ...,xm,t), ограниченная плоскостью t = 0 и при t > 0 коническими поверхностями

t

*>: r = /^m. 0 < г < го , 0<r„ = conSt<i,

0

t

к/З ■ /3 (г - r0) + Го = J л/giQdt,, г0 < г < Гі,

0

t

К і : г = 1 - [ л/Щ)с1£ , 0 < t < to , ri < r < 1 ,

где r = |x| - длина вектора x = (x1,...,xm), а 0 < в = const < 1, r1

t

1

(1 - Гр + Гр/3)

(1 + /3) '

¿о : — = J \/д(0^- Части этих поверхностей, образующих границу области Ир,

о

обозначим через Б, 50, Бв, Б\ соответственно.

В области Од рассмотрим многомерное уравнение Чаплыгина

Ьм = д(£)Джи - пы = 0 ,

(1)

где д(і) > 0 при і > 0 и д(0) = 0, д(і) Є С([0, ¿о]) П С2((0,іо)), Дх - оператор Лапласа по переменным Хі, т > 2.

В качестве многомерных аналогов краевых задач с отходом от характеристики рассмотрим следующие

Задача 1. Найти в области Од решение уравнения (1) из класса С (О д П С2 (Од)), удовлетворяющее краевым условиям

или

м|5 = Т(х) , м|5о = ^о(х) , м|5в = Од(х) ,

М*|^ = Т(х) , м|^о = Оо(х) , м|*з = Од(х) •

(2)

(3)

Задача 2. Найти в области Дд решение уравнения (1) из класса С(Дв ^ С2(Дд)), удовлетворяющее краевым условиям

^ = Т(х) , ч|сд = Од(х) , м|^1 = ^і(х) ,

(4)

или

= Т(х) , = Од(х) , м|^і = Оі(х) • (5)

Как отмечено в [4] сформулированные задачи возникают при исследовании трансзвуковых проблем.

В дальнейшем, нам удобно перейти от декартовых координат х1,хт, і к сферическим г, 0Ь ..., 0т-1, г ^ 0, 0 ^ 01 < 2п, 0 < 0і < п, г = 2, 3,..., т — 1.

Пусть П - проекция области О на плоскость (г, і) с границами

Г

Го

Гд

Г1

: і = 0 , 0 < г < 1

і

г = ] , 0 < г < Го ,

о

і

/3(г - Го) + Го = J \/д(0^ > г'0 < Г < Т\ ,

о

і

Г = 1- [ , 0 < і < ¿0 , Г! < г < 1;

{1П т(в)} - система линейно независимых сферических функций порядка п, 1 ^ к ^ кп, (т — 2)!п!кп = (п + т — 3)!(2п + т — 2), в = (01,вт-1), ^2(5), I = 0,1,... - пространства Соболева.

Имеет место (см. [5])

Лемма. Пусть f (г, в) € Ж^(5). Если I ^ т — 1. Функция f (г, в) представляется рядом

ГО кп

/ М) = ££ /,к (г)1;кт(в). (6)

п=0 к=1

Этот ряд, а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка р ^ I — т +1, сходятся абсолютно и равномерно.

Через тП(г), (г), тОП(г), <гвп(г), обозначим коэффициенты разложения ряда (6) соот-

ветственно функций т (г, в), V (г, в), а0(г, в), ад (г, в).

Введём множество функций

Сначала рассмотрим задачу (1), (2). В сферических координатах уравнение 1 имеет вид [5]

га=о к=1

££( II/П (г)11с2((о,1)) + ІІ/п(г)ІС([о,1]^ ехр2(и2 + п(т — 2)) < ТО , 1 > т — 1

Пусть т (г, 0) = г3Т *(г, 0), ^(г, 0) = г3^ *(г, 0), оо(г, 0) = г2О(*(г, 0), т * (г, 0), ^*(г, 0) Є

Вг(£), О(*(г,0) Є В^о), о0(г,0) Є В1(Бд).

Тогда справедливы:

Теорема 1. Задача 1 имеет бесчисленное множество решений. Теорема 2. В классе С (О д П С2(Од)) решение задачи 2 единственно.

2. Доказательство теоремы 1

т1

г

(7)

где

Искомое решение задачи (1), (2) будем искать в виде

СЮ kn

u(r

(r,M = (r,i)Ynkm(0)

(8)

n=0 k=l

где uk(r, t) - функции, подлежащие определению. Подставляя (8) в (7), используя ортогональность сферических функций Yjkm(d) (см. [5]), получим

m — 1

Ang(t)

9&)ипгг~\---- —9&)ипг~ипы-~2— ип = 0 > К = п(п+т-2), к = 1, кп , п = 0,1,.... (9)

При этом краевые условия (2),(3), с учетом утверждения леммы, соответственно запишутся в виде

иШг = тПк(г), 0 <г < 1, «Шг = аокп(г), 0 <г < го,

(10)

= wO > 0 < r < Г1 > k = 1> kn > n = 0,1,...;

U^r = ^(r) > 0 < r < 1 > ^|Го = ^On(r), 0 < r < r0

(11)

un Ir* = Vßn(r) > 0 < r < Гі, k= 1, kn , n = 0,1,....

1 Гв /3n(

Произведя в (9) замену переменных ü^(r,t) = г' 2 ' u^(r,t) и положив затем г = г,

n (1-т)

3

0

kkn

уипгг — и„„„ +

-Vnrr nyy

(12)

An

Полагая u?k = exp

[(т - 1)(3 - т) - 4Лга] J_

4 ’ \У) ~ 2д

dg_

-U ьт

.. .. І П У k

У^пгг ^nyy ' 2 ''

1

уравнение (12) приводим к виду ^пУ

c(y)w

с(у) = --(Ь2 + 2 Ь'у) е С {у > 0).

Уравнение (13), в свою очередь, с помощью замены переменных г переходит в уравнение

r, x0

1

A

, ,к — і ік________________і ік -і______— і г = а (г г \

шпгг шпхохо о ™ пхо ' _2 п Упх1 і ^0J ч

3x0

(13)

2 з

- у2

3 У

t

y

9п(г, хо) = ( ^

Зхо \ 3 ~2

Зх0\ 3 ~2

При этом краевые условия (10), (11) запишутся в виде

иП(г 0) = тЩ (г) , (г г) = ^П(г) ,

с^'(г, /3(г - Го) + г0) = (Jpn{r) , А: = 1, кп , /г = 0,1,..., 0 ^ г ^ 1 ;

д

Ит^/3 =ип(г), 0 < г < 1, w*(r, г) = (г),

иП (г, в(г - Г0) + г0) = ^п(г)

А: = 1, А:„, /г = 0, 1, , 0 ^ г ^ 1

i. / Ч (т-1) _ . . (т-1) _.

г„(г) = г 2 гга(г), ип(г) = г 2 z/ra(r),

A- / \ (m-l) / s к / \ (m-l) —k/\

Oon(r) = r 2 Vpjr) , <T0ra(r) = r 2 cj^ir) Наряду с уравнением (14) рассмотрим уравнение

Г , ;к = г ;к — г 1к ____—¡I 4- — II = а (г г \

« а,п а,пгг а,пхохо „ а,пхо ' „2 ot,n Уа,п\ ’ 0)

х0

Л,

г2

L()LOq п ^0,пгг ^0,пхохо 4" ^2 и0,п = #0^^ Х0)

(15)

(16)

(17а)

(17b)

£Ыг,х0)

Х0

1 — а

—2а

Х0

1 — а

1—а

и

Х0

1а

1а

go,п(г, x0) = c (x0) и£п (г, x0) , 0 < а = const < 1.

Уравнение (14) совпадает с (17а) при а = |.

Как показано в [6, 7], имеет место следующая функциональная связь между решениями задачи Коши для уравнений (17а) и (17b).

Утверждение 1. Если и^^г, x0) - решение задачи Коши для уравнения (17b), удовлетворяющее условию

Ц?;!(г, 0) = т„*(г), (г, 0) = 0

д

fc,i.

(18)

то функция

2 V 2

ик,П(г,х0)

х2

х0

(19)

c

c

г

1

при а > 0 есть решение уравнения (17а) с условиями (18).

Утверждение 2. Если ^^(г, х0) является решением задачи Коши для уравнения

(17о), удовлетворяющее условиям

^;!М)

(г)

5

(1 — а)(3 — а)...(2д +1 — а) ’ дх

0) = 0 ,

(18а)

то при 0 < а < 1 функция

Хо) = Ъ-к+2д

хо дх

■4 0+2(1 ^¿(г,^0)(1 -£2у

(гу \ а_I

2+1)

является решением уравнения (17а) с начальными данными

д

<п(г, 0) = о, 1іт*£—и^ = ^(г),

хо^о дхо

Чок’?1(г,хо)

Хо

(20)

где \/7гГ(^)уа = 2Г(2у^), Г(с) - гамма-функция, - оператор Римана-Лиувилля (см. [8]), а д ^ 0 - наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству 2 — а + 2д ^ т — 1. При этом функции дОкп(г, х0), д0кп(г, х0) связаны формулами (19) в случае утверждения 1 и (20) в случае утверждения 2.

Сначала рассмотрим задачи (176), (15) и (176), (16), где первое условие заменено усло-

д

вием —— шк = і'піт). Произведя замену переменной по формуле £ = дхо

эти задачи запишем в виде:

Мг = + ^~у2 Уп = С(? - і^. ГІ) ,

(г + Хо) (г — Хо)

—,П-

^(£, 0) = *&(£) , 0 < £ < £о = го ,

(22)

(23)

т(£ - Со)) = <Т()П(0 , Со < £ < 2 > А: = 1, кп , п = 0,1,;

/ д??к д??к \

^] к=„ = ^(0 , г;п*(£, 0) = акг(Є), 0 < Є < Єо

Чг (6 т(£ - Со)) = <т|„(0 , Со < £ < I , А: = 1, кп , п = 0,1,...;

Чг Съ/'?) - «’0,,г(? + “ ??) > (?) - (2?) 2 Гп(2іьЬ ^ОпСь)-? 2 ^ОпСь)

1

д

ип(0 — 2 > ярЛО — ((1 + 7)ч “ 7чо) 2 + Т)£ “ 7чо) >

1 — в

0 < 7 “ 1 + /3 < 1-

Аналогично, как в [7,9], можно записать решение задачи Коши для уравнения (22) следующим образом:

V) = \ т £, Ч) + \ т*(£Щ£, £; С, ч)+

1

+71

^£1+

п

5 п

+ У У с(^1 — тК(£ьП1)д(£ъП1;С,п), 0 < п<£< &

5о 0

>?) = \ гк('1])Щ'1], ц] £, ч) + ^ £; £, гч)+

5

+

д

^■(ЫЖб,6;£, /у) - ^'(6)^(6, ш;£, /у) |«1=Ч1

^£1+

(25)

(26)

5 п

+

с(6 - ^)г>*(£ь ^)Д(£ь Пъ £, >?) А , £о < £ < - , 0 < /? < -

где я(£ъш; £,п) = рм

(6 - У1Ш-У) + 2(6^1 +^) (6 + ??1)(£ + ?:/)

- функция Римана уравнения

= 0 (см. [10]), РДг) - функция Лежандра, ^ = п +

(т — 3)

50

<9Ж

/50 _50

?1=Ч1 ^1/?1=Ч1

Из (25), (26) при п = 0, и п = 7(£ — £0), используя краевое условие (23), соответственно получим интегральные уравнения первого рода

5

</!„(£) = " К1 • о < С < С„

(27)

т(5-5о)

6(£ + 7 (£ — £0))

(28)

5

а

<¿(0 = -У2<(0 - ^

5 ,

1 /“тп0 (Ы0/ {£1

0

,,к тп(7(£-£о)) т.п(0

9-2пЮ = V 2а 13пЮ-------------------------^=- +

+

>/2

7(5-5о)

$ $ \ р /6 ~ ?71 + 2(£г/71 + 7£(£ ~ 6)Л

т"ы 1 а& “ аЛ) Р“ I (£, + ч,)К + 7«-7Ы Л,„» 41

В [6] показано, что уравнение (27) имеет бесконечное множество решений, а в [7] установлено, что уравнение (28) разрешимо единственным образом.

Следовательно, задача (22), (23) сводится к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода (25) и (26) (см. [1]).

Теперь рассмотрим задачу (22), (24). Из (25), (26) при п = 0, и п = 7(£ — £0), с учетом (24), соответственно получим интегральное уравнение

5 к

г,НС) = «О - / (| I <*£.

01

0 < £ < £0

и функционально-интегральное уравнение

тпк (£) + тпк (7(£ — £0)) = ^2кп (£) —

тЖШШЪ. 6 <«<5

7(5-5о)

(29)

(30)

"01«(£) = 2а0кп(£) —

( т I <«■

7(5-51)

£1+7£(£~£о) £1(£ + 7(£-£о))]

¿£1

г (С С\— (7(£ - £о) - £) р/ 2" ' £1(£ + 7(£-£о)) "

£1+7£(£~£о) 1£1(£ + 7(£-£о))]

|^2п(£,£1)| <

С

С = со^

£ + т(£ — £0) ’

В [6] доказано, что уравнение (29) имеет бесчисленное множество решений.

Далее, так как интегральный оператор, стоящий в правой части равенства (30) вполне непрерывен, то, как показано в [7], функциональное уравнение (30) однозначно разрешима.

5

5

5

5

Таким образом, задача (22), (24) также приводится к интегральным уравнениям Воль-терра второго рода (25) и (26)

Теперь будем решать задачу (17а), (15). Её решение ищем в виде

(^ Хо) = О хо) + (г, хо) ,

где •иО; (г, хо) - решение задачи Коши (17а), (18), а (г, хо) - решение краевой задачи

для уравнения (17а) с данными

иК (г 0) = 0 , иК (г, г) = ^окп (г) — (г, г) , 0 ^ г ^ го ,

(г, в(г — го) + го) = (г) — ик1(г в(г — го) + го), го ^г ^ гі, (31)

А: = 1, кп , п = 0,1,....

Учитывая формулы (19), (20), а также обратимость оператора ДО (см. [8]), задачи (17а), (18) и (17а), (31) соответственно сводим к задаче Коши (176, (18) и - к задаче для (176) с данными

д

И’о.п (г. 0) = 0, 0 < г < 1, «¿,2 (г, г) = ^¡„ (г) , 0< Г <г„,

(32)

и’о,п (г> Р(г — Го) + Го) = <^2п (г) , Го < г < Гі , А: = 1, А:„ , /?. = 0, 1, ... ,

где (г), (г) функции, выражающиеся через т;к (г), (г), 0 < г < го и т, (г),овга (г),

го < г < гі .

Задача Коши (176), (18), как видно из (25) и (26), приводится к интегральному уравнению Вольтерра второго рода.

Задача (176), (32), как показано ранее, имеет бесчисленное множество решений. Далее, используя утверждения 1 и 2, устанавливается, что задача (17а), (15) имеет также бесчисленное множество решений.

Таким образом, задача (1), (2) имеет множество решений вида

сю кп

и(г, в, і) = ^2 ^2 г(12т) и *(г, Фп т{в), (33)

га=о к=1

где и, (г, і) определяются из двумерных задач.

Теперь рассмотрим задачу (1), (3), и её решение также будем искать в виде (8). Тогда она сведётся к задаче (17а), (16). Решение этой задачи ищем в виде

(г хо)=(г хо)+май(г, хо),

где (г, х0) - решение задачи Коши (17а), (21), а (г, х0) - решение краевой задачи

для уравнения (17а) с условиями

д

(г, 0) = 0 , 0 < г < 1, (г, г) = сткг (г) - (г, г) , 0 < г < г0,

и« ^ (г, в(г — г0) + г0) = ст|п (г) — иО: ’?2 (г, в (г — г0) + г0) , г0 < г < г1, (34)

к = 1, к; , п = 0,1,... .

Учитывая формулы (20), (19), задачи (17а), (21) и (17а), (34), соответственно, сведём к задаче Коши (176), (18;) и к задаче для (176) с данными (32).

Таким образом, задача (1),(3) также имеет бесчисленное множество решений вида (33), где ик(г, ¿) находятся из двумерных задач.

Учитывая ограничения на заданные функции т(г, ¿), ^(г, ¿), сто (г, ¿), стд (г, ¿), аналогично [6, 7], можно доказать, что полученное решение и(г, 0,і) (33) принадлежит искомому классу.

Теорема 1 доказана.

3. Единственность решения задачи 2

Теперь переходим к доказательству теоремы 2. Сначала рассмотрим задачу (1),(4). Для этого построим и (г, 0,і) - решения уравнения (1), удовлетворяющие краевым условиям

и|5 = т(г, 0) = г„й(г)У^т(0), и\3ои ^ = о , А: = 1, кп , п = 0,1,... , (35)

г;к Є V, где V - множество функций т(г) из класса С2(0 < г < 1) П С 1(0 < г < 1).

Очевидно, что множество V плотно в Ь2((0,1)). Функцию и (г, 0, ¿) будем искать в виде (8). Тогда, для М^г, хо) получим уравнение (17а) с краевыми условиями

(г, 0) = т;к(г), 0 < г < 1, (г, г) = 0 , 0 ^ г ^ го ,

(36)

и«,»г (г’ Жг — го) + го) = 0 , г0 ^ г ^ г\ , А: = 1, кп , /г = 0,1,... .

Как показано в п.2, задача (17а), (36) имеет бесчисленное множество решений.

Таким образом, решение (1), (35) в виде (33) построено, где и^г, ¿) определяются из двумерных задач.

Из определения сопряженных операторов (см. [11])

vLu — uLv = —vP (u) + uP (v)

где

m

P(u) = g(t) uxi cos (Nx, x^) — ut cos (Nx, t)

u^i cos

i=1

а Nx - внутренняя нормаль к границе ÖD^, по формуле Грина имеем

/ (vLu — uLv) dDe = /

Dß dDß

du dv . ,,

"SiV - “älv 1

ds, (37)

d m

где —— - конормаль к сШд, а М2 = (g(t))2 cos2 (iV-1, х*) + cos2 (iV-1, i).

dN ¿=1

Из (37), принимая во внимание граничные условия (4) и тот факт, что на характери-

д

стических коноидах А о, Ai конормальная производная —— совпадает с производной по

dN

касательному направлению (см. [11]), получим J т(r, 0)vt(r, 0, 0)ds = 0. Отсюда, поскольку

S

линейная оболочка системы функций {т^(г)У^ т(в)} плотна (см. [12]) в L2(S), заключаем, что vt(r, 0, 0) = 0, V(r, 0) £ S. Следовательно, в силу единственности решения задачи Коши (см. [11]): Lv = 0, v(x, 0) = vt(x, 0) = 0, будем иметь v(x, t) = 0, V(x, t) £ Цд.

Единственность решения задачи (1), (4) доказана. Аналогичным образом, доказывается единственность решения задачи (1), (5).

Заметим, что из примеров, построенных в [6], и из теоремы 1 следует, что однородная задача, соответствующая задаче 1, имеет бесчисленное множество нетривиальных решений.

Литература

1. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа / А.В. Бицадзе. - М.: Изд-во АН СССР, 1959. - 164 с.

2. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А.В. Бицадзе. -М.: Наука, 1981. - 448 с.

3. Protter M.N. // Dure Math. J. - 1954. - 21,1. - P.1-7

4. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике / Ф.И. Франкль. - М.: Наука, 1973. - 711 с.

5. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения / С.Г. Михлин. - М.:Физматгиз, 1962. - 254 с.

6. Алдашев С.А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений / С.А. Алдашев. - Алматы: Гылым, 1994. - 170 с.

7. Алдашев С.А. Вырождающиеся многомерные гиперболические уравнения / С.А. Алдашев. - Орал: ЗКАТУ, 2007. - 139 с.

8. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии / А.М. Нахушев. - М.: Высш. шк., 1985. - 301 с.

9. Алдашев С.А. // Укр.матем.журнал. - 2003. - 55,1. - С. 100-107.

10. Copson E.T. // J.Rath. Mech. And Anal. - 1958. - 1. - P.324-348

11. Смирнов В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов. - М: Наука, 1981. - Т.4(2). -550 с.

12. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М.: Наука, 1976. - 542 с.

MUTUALLY-ASSOCIATE BOUNDARY PROBLEMS WITH THE DEVIATION FROM CHRACTERISTICS FOR MANY-DIMENSIONAL CHAPLYGIN EQUATION

Т.Т. Sheriyazdan Zhubanov Aktiubinsk state university,

Abylkhaiyrkhana Av., Aktobe, 030000, Kazakhstan, e-mail: [email protected]

Abstract. Mutually-associate boundary problems with the deviation from characteristics for manydimensional Chaplygin equation are investigated.

Key words: boundary problem, spherical functions, characteristics, many-dimensional equations.