Воздействие касательных усилий на коническую трубу Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.374

ВОЗДЕЙСТВИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ УСИЛИЙ НА КОНИЧЕСКУЮ ТРУБУ

Т. А. Кульпина

ГОУВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»

Рассмотрена коническая труба, находящаяся под воздействием различных касательных усилий и внутреннего давления. Определены компоненты напряженного состояния. Представленные результаты позволяют определить решения и исследовать новый класс задач теории идеальной пластичности.

A conic tube influenced by tangential forces and internal pressure is under analysis. The components of stress condition are defined. The results let define the solutions and research a new class of problems of ideal plasticity theory.

Ключевые слова: коническая труба, касательные усилия, давление.

Рассмотрим коническую трубу в пластической области в сферической системе координат (р, в, р). Вычислим нормальные и касательные усилия, предполагая, что они не зависят от координаты р.

1. Предполагается, что на внутренней поверхности трубы действует касательное усилие тРв Ф 0 .Тогда в нулевом приближении будем иметь

т" * 0.

■■рв^ 0, Тр9=Те?= 0. (1)

Предположим, что все остальные компоненты тензора напряжений зависят только от в .

Тогда уравнения равновесия в сферической системе координат, учитывая условия (1), примут вид:

ёа р 1 ёт

-т

— + — —& + — [2ар-(ав +ар)+трвс^в\= а р -в р

рв

+

1 -ав

-т

рр

+

р -в

1 -твр

+

-р р

Р

+ — [3т

Р

(2)

РР

2тврс^в]= °.

Предположим, что а р= 2 (ав + ар );

тогда система (2) запишется в виде:

-т

рв

-ав

+ 3трв-(ав -ар)в = 0.

(3)

рв \Г в ~ р ) Из первого уравнения системы (3) получим:

С

Т рв —

-ІП в

(ар-ав}+(ав-а}+{а?-арУ+6трв—6К 2.

Подставив в уравнение (5) первоначальные условия, имеем:

(-Ор)2 + 4трв - 4К2 — 0,

(4)

(5)

ав -ар — 2ТК 2 -тРв .

рв

Подставим последнее выражение во второе уравнение системы (3). Имеем:

ёав 3С „ . С _ п

в- + -—--21К2-------в — 0.

-ІП в

-ІП в

(6)

Решим уравнение (6)

аа —

I

С2 3С

С ^в-^С

\

-ІП2 в

-ІП в

ёв = 12,1 К2-

С ё -Іп в

-ІП2 в -ІП в

I-

* -1

3С

-Іпв

а — —

2л/ К2 -Іп2 в-С2 -Іпв

- К 1п

л/К2 -Іп2 в - С2 - К -Іпв

л/к 2 -Іп2 в- С2 + К -Іпв

- 3С 1п

в

і

+ С!.

(7)

2. Предполагается, что на внутренней поверхности трубы действует усилие г°вр Ф 0 , тогда в нулевом приближении будем иметь

0, Твр—Тр9 — 0. (8)

Предположим, что все остальные компоненты тензора напряжений зависят только от в . Система (2) примет вид:

ёав

ёт,

вер

+ 2т

вр

— 0.

Из второго уравнения системы (9) получим:

С

-Іп в

Уравнение (5) примет вид:

ав-ар— 2у[К

2 2 2 - Т

вр

вр

Из первого уравнения системы (9), учитывая (11), имеем:

(9)

(10)

(11)

С

—в Щв — а

-іп в

ав — 12,/К2 -т^К2 -іп4 в- С

С2

-Іп4 в

ctgвёв.

т2

-Іп2 в

т

+ — К 1п 2

л/к 2 -Іп4 в- С2 - К -Іп2 в

л/к 2 -Іп4 в- С2 + К -Іп2 в

+ С1.

(12)

в

3. Предполагается, что на внутренней поверхности трубы действует касательное усилие тР Ф 0, тогда в нулевом приближении будем иметь

тРрФ 0, Твр—тРв— 0.

(13)

Предположим, что все остальные компоненты тензора напряжений зависят только от в . Учитывая условия (13), система (2) запишется в виде:

ёав

-{ав -ар)в — 0

3трр — °.

Из второго уравнения системы (14) получим Уравнение (5) примет вид:

трр— 0.

(14)

(15)

(16)

°в-°(р= 2К.

Подставим выражение (16) в первое уравнение системы (14), имеем

^- 2Кщв = 0, в

ё&в = 2К^Шв,

ов= 2К | ^Шв = 2К 1п|8тв| + С. (17)

II. 1. Предполагается, что на внутренней поверхности трубы действует касательное усилие &Рв Ф 0 . Тогда в нулевом приближении будут справедливы условия (1).

Предположим, что все остальные компоненты тензора напряжений зависят только

от в .

Тогда уравнения равновесия в сферической системе координат примут вид (2). Предположим, что ав — — {ар + ар), тогда система (2) запишется в виде

ёт

рв

ёв

ёоа

+

2

в к*- 2 (°р-°

)ctgв — 0.

Подставив в уравнение (5) первоначальные условия, имеем:

а р - ар — ±2Л/1 - т

І1

рв

при к=1.

(18)

(19)

Подставим (19) в первое уравнение системы (18): ёт р

рв

+ Х1 - трв + трвс^в — 0 , где Х — ±1.

(20)

Решение уравнения (20) находим приближенно, используя разложение .^1 -т

2

рв

в ряд Тейлора:

1

1

1 - Т2 — 1____________Т___________Т +

1 трв 2 рв 8 рв '

(21)

2

Учитывая (21), уравнение (20) примет вид:

ёт рв — 3Х т ^"в~ 3г

-в~— гро- с<Яв>в- Х

М (22)

3 г и'

Используя замену трв=—ив, уравнение (22) запишется в виде линейного

уравнения 2-го порядка:

и" + ^ви'д- - и — 0.

Используя замену % = 008 в , уравнение (23) примет вид:

(%2 -1^+ 9 и = о.

Используя замену 2г = 1 + %, получим уравнение:

2(1 - г)и;г + 2 и = 0.

Искомые напряжения описываются из решения уравнения (25). 2. Предположим,

т19Ф 0 тРв =тРе = 0 = 2(ар+ар)

Учитывая условия (26), система (2) примет вид:

[3 (

2 (ар-ар)—

ёа а

- — {ар-а

)ctg в — 0,

• + 2твфс^в — 0.

Решив систему (27), имеем:

1

твр —

8Ш в

, а в = const.

3. Предположим,

тррФ 0, трв— т вр— 0, ав— 2{ар + ар)

Учитывая условия (29), система (2) примет вид:

'3

ёав і -а

ё в 2 ^ р ч>

3трр — 0.

)— 0,

{ар-ар) в — 0,

Решив систему (30), имеем:

трр — 0, ав = ^п^.

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

III. 1. Предполагается, что на внутренней поверхности трубы действует касательное усилие Трв Ф 0 . Тогда в нулевом приближении будут справедливы условия (1).

Предположим, что все остальные компоненты тензора напряжений зависят только

от .

Тогда уравнения равновесия в сферической системе координат примут вид (2). Предположим, что ар — 2 {ар +ав ), тогда система (2) запишется в виде:

-тр- 3

+ - (ар-ав )+трв ctSд = 0

Ав 2ч' р (32)

— 1 (32)

-в-+3трв- 2( - °в)в = °.

Подставив в уравнение (5) первоначальные условия, имеем:

&р -&в=±2у11 -трв при к=1. (33)

Подставим (33) в первое уравнение системы (32):

—р + Х1 - трв + трвс*ёв = 0 , где X = ±1. (34)

Решение уравнения (34) находим приближенно, используя разложение .^1 - т в ряд Тейлора:

V1 -трв =1 -2трв-^трв +... (35)

Учитывая (35), уравнение (34) примет вид:

-р = Хрв - с(§втрв - 3Х . (36)

3х и'

Используя замену = - -ц~, уравнение (36) запишется в виде линейного уравне-

2

рв

ния 2-го порядка:

9

u " + ctg -u g- - u = o. (37)

Используя замену £ = cos в , уравнение (37) примет вид:

9

( - i)u^+ -U = 0. (3S)

Используя замену 2г — 1 + £, получим уравнение:

9

z(l - z )U zz + 2 U = 0. (39)

Искомые напряжения описываются из решения уравнения (39). 2. Предположим,

* 0 тР-=тРр=o, ар= - (ар+а- ). (40)

Система (2) примет вид:

- (ар-ар>=

)= 0

-ав -1 (ар -ар)д = 0

-т

р

+2тврctg д =0.

Решив систему (41), имеем: 3. Предположим,

т р=

sin2 в

а в = const.

трр * 0, Трв = твр = 0, у = 2 {(Ур+ав,

Учитывая условия (43), система (2) примет вид:

'3

3(.

2

ар-ав )=0,

-а в 1

)g в = 0,

3трр=0.

(41)

(42)

(43)

(44)

Решив систему (44), имеем:

Трр = 0, а в= const. (45)

Результаты, представленные в статье, имеют фундаментальное значение и могут представлять интерес для всех, кто интересуется наукой о прочности — механикой деформируемого твердого тела. Полученные решения могут быть также приложены к различным задачам теории пластичности.

ЛИТЕРАТУРА

1

1. Ивлев, Д. Д. Теория предельного состояния и идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев. - Воронеж : Колос, 2005. - 205 с.

2. Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела / Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. -М. : Наука, 1978. - 208 с.

3. Ишлинский, А. Ю. Математическая теория пластичности / А. Ю. Ишлинский, Д. Д. Ивлев. - М. : Физматлит, 2001. - С. 33-185.

4. Михайлова, М. В. О влиянии сдвигов на упругоидеальнопластическое состояние пластины с круговым отверстием при двуосном растяжении / М. В. Михайлова, Л. И. Афанасьева // Проблемы механики неупругих деформаций. - М. : Физматлит, 2001. - С. 211-228.