CC BY
9
УДК 539.37
КРУЧЕНИЕ СЕКТОРА АНИЗОТРОПНОГО КРУГОВОГО КОЛЬЦА ПРИ ДЕЙСТВИИ ПЕРЕМЕННОГО ДАВЛЕНИЯ*
TORSION OF SECTOR OF THE ANISOTROPIC CIRCULAR RING AT ACTION OF VARIABLE PRESSURE
Б. Г. Миронов, Л. С. Козлова B. G. Mironov, L. S. Kozlova
ГОУ ВПО « Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева», г. Чебоксары
Аннотация. В настоящей работе исследуется задача о предельном состоянии сектора анизотропного кругового кольца при кручении. Предполагается, что сектор кругового кольца находится под действием переменного давления, линейно зависящего от угла поворота вокруг оси сектора. Определено напряженно-деформированное состояние сектора.
Abstract. The problem of limiting condition of sector of the anisotropic circular ring at torsion is investigated in the given work. It is supposed that the sector of the circular ring is under variable pressure, which is linear dependent on the rotating angle around the sector axis. The sector tension and deformations are found.
Ключевые слова: кручение, напряжение, деформация, анизотропия, сектор кругового кольца.
Keywords: torsion, tension, deformation, anisotropy, sector of the circular ring.
Актуальность исследуемой проблемы. Кручение - один из основных видов нагружений, действующих на элементы сооружений: стержни, балки, пластины, оболочки и т. д. Исследование предельного состояния тел при кручении, находящихся под действием внешнего переменного давления, является актуальной задачей теории предельного состояния.
Материал и методика исследований. Использовались фундаментальные представления теории идеальной пластичности и аналитические методы исследования.
Результаты исследований и их обсуждение. Рассмотрим сектор анизотропного кругового кольца, ориентированный в цилиндрической системе координат r6z. Ось z является осью симметрии кругового кольца (рис. 1).
Пусть напряженное состояние, возникающее в стержне, характеризуется условием пластичности
A(sr -°в)2 + B(se — Sz )2 + C(sz — Sr )2 + Dtre + Etl + Ftrz = 1 (1)
где A, B, C, D, E, F — const, siJ - компоненты напряжения в цилиндрической системе координат r6z.
* Работа выполнена в рамках проекта № 09-01-0024-а, финансируемого РФФИ в 2010 г.
z
Рис. 1
К соотношению (1) присоединим три уравнения равновесия
dSr +1 dtri I dtrz + sr ~se 0
dr r di dz r
d t rq 1 dSq dte 2t rq „ /'•W
—ri +--------в + —в + —ri = 0, (2)
dr r дв dz r
dtrz +1 dti + dSz + trz = 0
dr r de dz r
Система соотношений (1), (2) является статически неопределимой.
Предположим,
sr = Si=Sz = -тв + ci , Trz = 0, Тгв = Хгв (r, z ),Tqz = T& (r, z), (3)
где ^ = const, c1 = const.
Согласно (3) из (1) и (2) получим
+ = m - 2tri , Dt2rq+ Eti = 1. (4)
dr dz r
Второму уравнению (4) удовлетворим, полагая
тгв = a cos j,te = b sin j, (5)
1 h 1
где a = —¡=, b = —¡=.
Vd Ve
Подставляя выражения (5) в первое уравнение (4), имеем
dj , dj и- 2a cosj ,,4
- a smj^- + b cos j^~~ = —----------------------------------------—. (6)
dr dz r
Система уравнений для определения характеристик (6) имеет вид
dr dz Ыф
a sinj Ь cosj т~ ^ cosj
Из системы (7) следует
r2 (m — 2a cosj)- c2, (9)
dz a ,„4
— -—- ctg j, (8)
dr b
-±f m — c2 )dr (10)
2
где c2 - const.
Исключая из (8) j, получим следующее уравнение характеристики:
(m2 — c2 )dr
V((2a — m>2 + c2 )(2a + 2 — c2)
Обозначим через L контур поперечного сечения кругового кольца в плоскости rz (Q=const). Предположим, что боковая поверхность кругового кольца свободна от касательных усилий. Тогда вектор касательного напряжения т во всех точках контура L направлен по касательной к нему.
Пусть т - Trzi + t(k j - вектор касательного напряжения, где i, j - единичные векторы вдоль осей r и в. Согласно (5)
dz Та, b п
~г = — -— tgj- tgb, (11)
dr Tra a
где р - угол, который образует вектор касательного напряжения т с осью r.
Тогда
b-j—y, (12)
(b — a )tg j
b + atg2 j
Пусть (r0, x0 )e L и j(r0, z0) - j0. Тогда из (9) следует
r02 (m — 2a cosj0)- c 2. (13)
где tgy -\----- 2 , y - угол анизотропии. В изотропном случае b=a=1, у=0, ф=р.
С учетом (13) из (10) получим
z - z ±r — r02)+2ar02cosj0 )dp (14)
" J „2 -Т-2 “Л ,Л\ , V
, лД^ор2"—r2y+2ar2cosj0)
Из (7) следует, что вдоль характеристик (14)
dz b
— -— ctg j. (15)
dr a
Следовательно,
a 2tg2 р + b2
(a2 — b2 )tgb ’
t%a-t 2 /А (16)
где a - угол между вектором касательного напряжения т и характеристикой. Согласно (9) и (13) из (5) имеем
Tq -±——yJ (2ar 2 — m(r 2 — r0)— 2ar(2 cos jjlar 2 + m(r2 — r0)+ 2ar0 cos j), 2ar
m2 _ r0 )+ 2orQ2 cos j
ТГ0-—-------- 2 0-----------------------------. (17)
2r 2
После того, как построено поле характеристик, задача определения напряженного состояния может считаться решенной. Касательные усилия в точках характеристик определяются соотношением (17).
Деформированное состояние сектора анизотропного кругового кольца определим из соотношений ассоциированного закона пластического течения. Из условия экстремума функционала
А - ersr + ев°в + + 2(ereTre + £ezTez + erzTrz ) —
—m(A(sr — se)2 + B(se — sz)2 + c (sz — sr)2 + DTa + EtI + FtI —1) (18)
имеем
er-2m((A + c)sr— Ase — Csz), ere- 2mDтrв, ee-2m(— Asr+(A+B)se— Bsz),eez-2mETez, (19)
ez- 2m(— Csr— вав+(с+в)sz), erz- 2mFTrz.
Согласно (3) из (19) получим
er -ee-ez - erz - 0, EereTez - De&Tre . (20)
При исследовании деформированного состояния сектора анизотропного кругового кольца будем считать, что геометрия тела не меняется, начальные деформации равны нулю, компоненты тензора напряжений имеют постоянное значение в каждой точке. Тогда ассоциированный закон течения (20) после интегрирования примет вид:
er - ee- ez - erz - ^ EereTez - DeezTre , (21)
где eij - компоненты тензора деформаций.
Используя соотношения связи между компонентами деформаций и компонентами перемещений
-ды - и 1 dv -dw
r dr ’ а r r эа’ z dz ’
dv v 1 du . 1 dw dv . du dw ....
2erq--------+----, 2ea -------+—,2er7 - — +—, (22)
dr r r da r da dz dz dr
где и, v, w - компоненты перемещений вдоль осей r, в, z, в соотношениях (21), перейдем к
компонентам перемещений
du - и + 1 dv - dw - 0 du + dw _ 0 (23)
dr r r da dz ’ dz dr
1 dw dv \ (dv v 1 du ^ . ....
-rTe+i;rsj 1эт7+7 5qrnj- (24)
Предположим,
v - v(r, z). (25)
Тогда из (23) имеем
u - 0, w -hd, (26)
где h - const.
Согласно (25), (26) из (24)
dv . dv, va sin p + hb cosp
- a—sinp+------b cosp =------- ---------—. (27)
dr dz r
Соответствующая система уравнений для определения характеристик соотношения
(27) имеет вид
dr dz rdv
a sin p b cos p va sin p + r/b cos p
Из (28) вытекает, что характеристики уравнений (6) и (27) совпадают. Вдоль характеристик имеем
(28)
f
v = r
±ф г________ m2 -c2У + C3
a r 2 -у/((2a ~m)r2 + C2 )(2a + m)r 2 - C2)
(29)
где с3 - постоянная, своя вдоль каждой характеристики.
Постоянная с3 определяется из граничных условий для перемещения V. Рассматривая огибающую характеристик либо линию разрыва напряжений как предельное положение жесткого слоя, положим деформацию сдвига на этих линиях равной нулю.
Получим
^=1, Ні=-! (30)
Ъг г дz г
Согласно (30) вдоль огибающей имеем
dv = —dг -hdz. (31)
гг
Так как V определяется с точностью до жесткого перемещения, то, принимая в какой-нибудь точке огибающей характеристик либо линии разрыва напряжения і=0 и интегрируя (31) вдоль нее, находим значение V во всех точках огибающей и, следовательно, сможем определить константу с3 для каждой характеристики.
Резюме. Решена задача о кручении сектора анизотропного кругового кольца, боковая поверхность которого находится под давлением, линейно зависящим от угла поворота вокруг оси сектора. Определено напряженное состояние сектора, найдены характеристики, определены деформации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ивлев, Д. Д. Теория идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев. - М. : Наука, 1966. - 232 с.
2. Качанов, Л. М Основа теории пластичности / Л. М. Качанов. - М. : Наука, 1969. - 420 с.
3. Козлова, Л. С. Предельное состояние цилиндрических и призматических стержней с отверстием при кручении / Л. С. Козлова // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. - 2010. - № 2 (66). - С. 69-74.
4. Миронов, Б. Г. Кручение сектора кругового кольца при действии переменного давления / Б. Г. Миронов // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. - 2009. - № 2 (62). - С. 23-26.
