CC BY
53
УДК 538.9
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ КОНДЕНСАТА БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНА И НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
ШРЕДИНГЕРА
В. Б. Бобров1'2, С. А. Тригер1'3
Представлен вывод нелинейного уравнения Шредингера для волновой функции основного состояния неоднородной системы бозонов в самосогласованном приближении Хартри-Фока без использования формализма аномальных средних. Полученные результаты соответствуют уравнению Гросса-Питаевского для волновой функции конденсата Бозе-Эйнштейна при использовании дельта-образного потенциала взаимодействия бозонов.
Ключевые слова: конденсат Бозе-Эйнштейна, уравнение Гросса-Питаевского, нелинейное уравнение Шредингера.
Наблюдение конденсата Бозе-Эйнштейна (Bose-Einstein condensate - BEC) в ультрахолодных газах щелочных металлов осуществляется в магнитных ловушках, что обусловлено наличием магнитного момента у атомов щелочных металлов [1]. Наличие магнитных ловушек приводит к сильной неоднородности ультрахолодного газа, благодаря которой квантовые эффекты играют решающую роль на макроскопических масштабах [2]. Для описания неоднородного ВЕС широко применяется уравнение Гросса-Питаевского [3 ,4] для волновой функции конденсата в приближении среднего поля. Такое описание, как и теория Боголюбова для однородного газа с ВЕС [5], основано на использовании "аномальных" средних [2, 6]. Однако в настоящее время имеются обоснованные сомнения в справедливости гипотезы о существовании аномальных средних, строгое математическое доказательство которой отсутствует (см. [7-15] и цитированную там литературу). В настоящей работе мы покажем, что при рассмотрении слабонеиде-альной неоднородной системы, состоящей из конечного числа бозонов, для получения
1 Объединенный институт высоких температур РАН, 125412 Россия, Москва, ул. Ижорская, 13, стр. 2.
2 Национальный исследовательский университет "МЭИ", 111250 Россия, Москва, Красноказарменная ул^ д. 14.
3 ИОФ РАН, 119991 Россия, Москва, ул. Вавилова, 38; e-mail: [email protected].
уравнения Гросса-Питаевского нет необходимости в использовании формализма аномальных средних.
Рассмотрим неоднородную систему, состоящую из N бозонов, находящихся в статическом внешнем поле с потенциалом V(ех1) (г), которое обеспечивает финитное движение в ограниченной области пространства. Гамильтониан такой системы в представлении вторичного квантования, обеспечивающем учет тождественности частиц, имеет вид
Н = -2т У Ф +(г)АгФ(г)^Г + 2 У и(г1 - Г2)Ф +(Г1)Ф +(Г2)Ф(Г2)Ф(Г1)^3Г1^3Г2+ (1)
+ у V(ех1)(Г)Ф+(г)Ф(г)^3Г,
где Ф+(г) и Ф(г) - соответственно, полевые операторы рождения и уничтожения, удовлетворяющие коммутационным соотношениям для бозонов, и(г) - парный потенциал взаимодействия бозонов с массой т. Для определенности далее будем считать, что рассматриваемые бозоны имеют нулевой спин. В представлении чисел заполнения полевые операторы могут быть записаны как ф+(г) = ^а(г)«+, ф(г) = ^а(г)аа. Здесь ^«(г) - полная система одночастичных волновых функций, характеризующихся некоторым набором квантовых чисел а, а+, и аа - соответственно, операторы рождения и уничтожения бозонов в состоянии, отвечающем одночастичной волновой функции ^«(г).
В этом случае система взаимодействующих частиц характеризуется волновой функцией <£(N0, N1,..., Na,...; ¿) в представлении чисел заполнения в пространстве Фока [16], где Na = 0,1, 2,... - число частиц в состоянии с набором квантовых чисел а.
Волновая функция <1 удовлетворяет уравнению Шредингера ШдФ/дЬ = Н"ф. Решение этого уравнения для рассматриваемой системы в статическом внешнем поле имеет вид ф = Ф ехр(гЕфЬ/Й), где стационарная волновая функция Ф удовлетворяет уравнению НФ = ЕФ Ф.
Далее мы ограничимся рассмотрением слабонеидеальной системы бозонов и используем самосогласованное приближение Хартри-Фока (БИЕ). В этом случае ожидаемое значение "нормального" произведения одинакового числа операторов рождения и уничтожения представляется в виде суммы всевозможных произведений ожидаемых значений пар операторов рождения и уничтожения в соответствии с теоремой Вика-Блоха-Доминикиса [17] в применении к квантовой механике, причем
<Ф8НГ|а+ав|Ф8НГ> = N«6^, ^ Na = N.
С учетом сказанного выше, значение энергии Еф, отвечающее стационарной волновой функции Ф8НГ в самосогласованном приближении Хартри-Фока, имеет вид
ЕфНР = (ф8НЕ|£ ^ = ^ N у ^ (г) { -^ Дг + V(ех1)(Г)| <^(г)^Г+
+ 1 ^ N (Ыа - 1) I и(п - ^^ЫН^аМ^гЛ + (3)
+ 1 ее / «(Г1 - Г2){|^а(г2)|2|^в (Г1)|2 + ^а(Г1 )^«(г2)^в (^Жп ^
При этом состоянию с волновой функцией Ф8НГ при заданном числе частиц N (2) отвечает вполне определенный набор ненулевых значений чисел заполнения {Ыа}. Это означает, что, если соответствующий набор {Ыа}, удовлетворяющий условию (2), известен, энергия рассматриваемой системы ЕфНг в заданном внешнем поле V(ех1)(Г) является функционалом волновых функций <^а(Г) : ЕфНГ = ЕфНГ[^а].
Для определения энергии основного состояния такой системы, казалось бы,
можно применить неравенство
Е08НГ < Е^Ы. (4)
Однако, для того чтобы использовать неравенство (4) в вариационной процедуре, принятой в квантовой механике (см., напр., [18]), нам необходимо установить набор ненулевых значений чисел заполнения {Ыа}, отвечающий основному состоянию рассматриваемой системы бозонов. Здесь проявляется принципиальное отличие системы бозонов от системы фермионов, для которой соответствующий набор чисел заполнения нетрудно установить, учитывая, что допустимыми значениями N для фермионов в силу принципа Паули являются 0 или 1. В результате для системы фермионов второе слагаемое в (3) обращается в нуль, в третьем слагаемом в фигурных скобках должен стоять знак минус, а все числа N равны 1 с учетом последнего равенства в (2) при рассмотрении основного состояния.
Таким образом, для установления минимального значения энергии для си-
стемы бозонов, нам необходимо рассматривать энергию Е|НГ не только как функционал волновых функций но и как функцию от чисел заполнения Ыа, т.е. Е|НГ = ЕфНГ([^а], {Ыа}) с учетом условия (2). Аналогичное утверждение имеет место и в отношении волновых функций = ^а(Г, {Ыа}). Решение такой задачи в настоящее время не представляется возможным, поэтому далее мы будем исходить из "традиционного"
допущения о том, что в слабонеидеальном газе бозонов основному состоянию соответствует нахождение всех частиц в одном и том же одночастичном состоянии (см., напр., [19]). Фактически предполагается, что учет взаимодействия между бозонами (два последних слагаемых в правой части (3)) не влияет на ситуацию, которая имеет место для невзаимодействующих бозонов (учет только первого слагаемого в правой части (3)). Это означает, что в основном состоянии рассматриваемой неоднородной системы бозонов
N = N N«=0 = 0, (5)
где N0 - число частиц в одночастичном состоянии с наименьшей энергией б0, которое характеризуется одночастичной волновой функцией ^0(г), удовлетворяющей нелинейному уравнению
-12Дг + (г) + ^ - 1) /и(г1 - г)|^0(г1)|2^3гД ^0(г) = 60^0(г) (6)
2т
и условию нормировки J |^0(г)|2а3г = 1. Уравнение (6) непосредственно следует из неравенства (4), рассматриваемого как условие минимума функционала (3) с учетом
(5).
В случае N ^ 1 мы можем заменить одночастичную волновую ^о(г) в (6) на так называемую волновую функцию ВЕС
Ф0 (г) = ^0(г), (7)
определяемую из нелинейного уравнения Шредингера
-Дг + V(ех1)(г)+ /и(г1 - г)|Ф0(г1)|2^3гД Ф0(г) = 60Ф0М, [ |Ф0(г)|2^3г = N.
2т + V (г) + у и(г1 - г)|Ф0(г1)| а Г11 Ф0(г) = б0Ф0(г)^ |Ф0(
т (8) Введение в рассмотрение волновой функции ВЕС является формальным математическим приемом, который позволяет, всего лишь, исключить из уравнения Шредингера (6) число частиц N, перенеся учет величины N в условие нормировки (8). Прямой физический смысл имеет одночастичная волновая функция (6), отвечающая основному состоянию частицы в самосогласованном поле остальных ^ - 1) частиц. Из (8) непосредственно следует, что
к
2
N60 = Ф0Ж -ñ-A + v(ext)(r) + u(r! - г)|Фс(г1)|2^3гЛ Фс(г)^3г. (9
2m
При этом энергия основного состояния системы бозонов согласно (3)-(7) равна
EoSHF = Neo - 2/ u(ri - Г2)|Ф0(Г2) |2 | Фо (ri) |2d3rid3r2, (10)
т.е. энергия основного состояния системы бозонов в рассматриваемом приближе-
нии не определяется только величиной Ne0 (9).
Далее, переходя к координатному представлению для волновой функции системы бозонов с учетом (5), мы можем обобщить определение (8) для нестационарной волновой функции ВЕС Ф0(г,£), которая в рассматриваемом приближении удовлетворяет нестационарному нелинейному уравнению Шредингера
{ - Ar + V (ext)(r) + / u(ri - r)^o(ri,í)|2d3rij Фо(г,*). (11)
При использовании потенциала взаимодействия u(r) = u0$(r) из (11) непосредственно следует уравнение Гросса-Питаевского [3, 4]. Однако, как следует из проведенного рассмотрения, это уравнение не описывает динамику всей системы бозонов (см., напр., (10)). Таким образом, представленные выше результаты свидетельствуют об отсутствии необходимости в использовании формализма аномальных средних при описании ВЕС.
Настоящая работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 14-19-01492).
Авторы благодарны А. Г. Загороднему, А. М. Игнатову, А. А. Рухадзе за полезные обсуждения работы.
ЛИТЕРАТУРА
[1] M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews, et al., Science 269, 198 (1995).
[2] Л. П. Питаевский, УФН 168, 641 (1998).
[3] E. P. Gross, Nuovo Cimento 20, 454 (1961).
[4] Л. П. Питаевский, ЖЭТФ 40, 646 (1961).
[5] Н. Н. Боголюбов, Известия АН СССР, сер. физ. 11, 77 (1947).
[6] C. J. Pethick and H. Smith, Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases (Cambridge University Press, Cambridge, 2008).
[7] W. H. Bassichis and L. L. Foldy, Phys. Rev. A133, 435 (1964).
[8] H. Stolz, Physica A86, 11 (1977).
[9] C.-H. Zhang and H. A. Fertig, Phys. Rev. A74, 023613 (2006).
[10] P. Navez and K. Bongs, EPL 88, 60008 (2009).
[11] V. B. Bobrov, S. A. Trigger, and I. M. Yurin, Phys. Lett. A374, 1938 (2010).
[12] A. M. Ettouhami, Progr. Theor. Phys. 127, 453 (2012).
[13] В. Б. Бобров, С. А. Тригер, Краткие сообщения по физике ФИАН 42(12), 58 (2014).
[14] В. Б. Бобров, А. Г. Загородний, С. А. Тригер, ДАН 461, 400 (2015).
[15] В. Б. Бобров, А. Г. Загородний, С. А. Тригер, Физика низких температур 41, 1154 (2015).
[16] V. A. Fock, Zs. Phys. 75, 622 (1932).
[17] C. Bloch and C. de Dominicis, Nucl. Phys. 7, 459 (1958).
[18] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика. Нерелятивистская теория (М., Наука, 1974).
[19] Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Статистическая физика. Часть 2 (М., Нау-ка,1978).
Поступила в редакцию 28 марта 2016 г.
