Вычисление энергии состояний атомов (h и he) вариационном методом в линейном и нелинейном приближениях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.18+517.97 ББК В3 В1161.8

Саид Насим Хусейн Шах

г. Карачи, Пакистан перевод: В. Е. Архинчеев г. Улан-Удэ, Россия

Вычисление энергии состояний атомов (H и He) вариационном методом в линейном и нелинейном приближениях

Как хорошо известно, задача многих тел не решается точно, поэтому в настоящем сообщении мы использовали различные приближенные методы расчета. Вначале была вычислена энергия атомов с помощью линейного гамильтониана, затем с использованием нелинейного гамильтонова оператора, и полученные результаты были сравнены между собой. В рамках такого подхода были установлены различия между энергиями при использовании различных волновых функций и дано обсуждение полученных результатов.

Ключевые слова: энергия состояния, волновая функция, гамильтониан, нелинейность.

Syed Naseem Hussain Shah

Karachi, Pakistan translation: V. Ye. Arkhincheev Ulan-Ude, Russia

(Н и Не) Atomic State Energy Estimation by Variation Method in Linear and Nonlinear Approximation

As well known the exact solution of several particles is not possible so here we used approximation methods. We have calculated the ground state energy of the wave function of atoms with the help of linear and nonlinear Hamiltonian operator and then compared these ground state energies. This gave us a new difference between the energies of different wave functions.

Keywords: state energy, wave function, Hamiltonian, nonlinearity.

Введение

Вариационный метод вычисления - один из самых используемых приближенных методов при вычислениях собственных значений энергии основного состояния атомов и первых возбужденных, для которых в основном известны лишь качественные представления о виде волновых функций. В случае атома водорода, когда система состоит их двух тел, возможно точное решение уравнения Шредингера. Однако, если система состоит из трех и более тел, то тогда точное решение невозможно, и используются приближенные методы расчета, к ним относится и вариационный метод. Вариационный метод является одним из наиболее полезных при расчетах химических соединений; а также при вычислении энергии основного состояния и первых возбужденных состояний систем, для которых невозможно построить точную волновую функцию.

В соответствии с квантово-механическим подходом энергия системы описывается выражением:

Т. е. используя выражение (1) можно найти энергию любой системы, если известны гамильтониан и волновая функция. Согласно вариационному методу можно показать, что минимальная энергия Ео получается при использовании точной волновой функции Фо для системы; использование любой другой пробной волновой функции Ф* дает энергию, больше минимального значения.

137

© Саид Насим Хусейн ТТТя-х, 2011

Следовательно, энергия системы, полученная при использовании пробных волновых функций волны, будет больше минимального значения. Таким образом, не зная точных волновых функций и используя некоторые пробные волновые функции, мы сможем, по крайней мере, оценить, какие из нескольких пробных функций являются достаточно точным приближением к истинной волновой функции в смысле получения минимальной энергии.

Э. Шредингер [1] одним из первых сформулировал квантовую механику в форме вариационного принципа и во многих задачах, особенно когда находятся приблизительные решения, это наиболее удобная форма использования. Дифференциальное уравнение Шредингера описывает движение волнового пакета Ф (г, Ь) . Волна, связанная со свободным перемещением нерелятивистской частицы с хорошо определенным импульсом «Р» и энергией «Е» представляется в виде:

г(гл Р — ЕЬ)

Ф(г,*) = Ле—^---, (2)

где Р = НК и Е = Ни, К - волновой вектор и и - угловая скорость.

дФ (г, Ь) Н2 2

Л-ш- = -—ЧЦгА) (3)

Дифференциальное уравнение (3) является волновым уравнением Шредингера для свободной частицы в нерелятивистском приближении, где V2 - оператор Лапласа. В случае внешних потенциальных сил V (г), когда Е = —VД, уравнение принимает вид:

^2+^)}ф(М) = ^ (4)

Вышеупомянутое уравнение описывает движение частицы массы «т» в силовом поле (Е = -VД), и это может также быть представлено как:

Н Ф = ЕФ,

где Н = — 2“V +У (г), Е = гН-щ и Н - линейный оператор Гамильтона, который дает собственное значение - полную энергию частицы, когда действует на Ф.

Нелинейное уравнение Шредингера было получено независимо исследователями Гроссом [2] и Рйаеувкп [3, 4]. Уравнение Гросса-Питаевского (СРЕ) оказалось чрезвычайно успешным для объяснения многих экспериментально наблюдаемых фактов при исследовании конденсата Бозе-Эйнштейна. Также гамильтонов оператор стационарного уравнения СРЕ используется и для вычисления основного состояния с использованием различных волновых функций. Однако оно не в состоянии учесть статистические квантовые эффекты, необходимые для того, чтобы рассматривать спонтанно начатые процессы [5, 6]. Уравнение Гросса-Питаевского аналогично уравнению Шредин-гера, но с добавлением взаимодействующего термина, к тому же уравнение СРЕ - нелинейное уравнение. Введем константу связи д, пропорциональную длине рассеяния двух бозонов а8 :

4пЙ2а» . .

3=---------• (5)

т

Тогда зависящее от времени уравнение Гросса-Питаевского имеет вид: дФ (г) Н2

Ш—^ =-----------У2Ф (г) + V (г) Ф (г) + д |Ф (г)| Ф (г) . (6)

дЬ 2т

В случае С.Р.Е оператор Гамильтона становится нелинейным:

Н = —V2 +У (г) + (? |Ф (г)|2 (7)

2т

2. Случай линейного гамильтониана

Для решения линейных уравнения разработано много методов, дающих точное решение. Энергия основного состояния атомов может быть вычислена с помощью уравнения Шредингера с использованием линейного гамильтонова оператора

Н = + У (г).

2т

2.1. Атом водорода

В этом случае волновая функция имеет вид:

Ф(г) = е-аг (8)

Для основного состояния атома водорода потенциальная энергия будет — ^г, и следовательно, гамильтонов оператор описывается выражением:

П2 р2

Н = ~ — V2--. (9)

2т г

Согласно вариационному методу (2.1) энергия водородного атома может быть вычислена как:

Е_/е-аг (-£У2-^)е-^с1У

/ е-аг е-аг]У

где ]У = 4пг2]г - объем сферы, заключенной между расстояниями г и г+]г от ядра. Пределы интегрирования меняются от 0 до то, поскольку меняется от нуля до бесконечности. Поскольку энергия описывается только радиальной частью уравнения, мы должны только рассмотреть радиальную часть оператора Лапласа V2:

V2 = \ — (г2 —

г2 дг \ дг

Таким образом, энергия основного состояния атома водорода равна:

Н2а2 2

Е =---------е" а. (10)

2т 1 ;

Далее выбираем параметр «а» таким образом, чтобы получить минимальную энергию. Итак, из (10) следует:

дЕ Н2а 2 те2

— е" =0, т. е. а

да т ’ Н2

Подставляя значение параметра в уравнение (10), получим энергию основного состояния водо-

родного атома:

Е = ~^- <">

2. 2. Атом гелия

Уравнение Шредингера может быть решено точно для атома водорода, но уже для атома гелия оно не может быть решено, потому что возникает проблема многих (трех) тел. Здесь и можно использовать вариационный метод, чтобы получить энергию основного состояния атома гелия. Атом гелия состоит из ядра с зарядом +2е(2 = 2) и двух электронов с зарядом - е, как показано на рис. 1.

-е

+7.Є

Рис.1. Атом гелия

Основная проблема вариационного метода состоит в выборе пробной функции. Выберем в качестве пробной волновую функцию в виде произведения одночастичных функций:

Ф (Г1,Г2) = Фі (гі) Ф2 (г2 ) ,

где

2г3

І = 1, 2........и общая волновая функция равна:

Ф (Г1.Г2) = ------те “о

пах

где ао =

П2

2

Потенциальная энергия системы описывается выражением:

2е2 2е2 е2

V (г) —--------------------------1------,

г1 г2 г12

(12)

где г1 и г2 - расстояния электронов от ядра г12 - расстояние между электронаи. Оператор Гамиль-

тона равен:

П2 / 2 2ч 2е2 2е2 е2

Н = ——— (V і + V2)----------------------------------1-•

2т г1 г2 г12

Вначале вычислим НФ и рассмотрим часть, относящуюся к первому электрону:

П2 2 2е2

V?-----------

2т 1 г1

Ф

П2 2 2е2

V?-----------

2т 1 г1

г(г]_ +г2)

2т

і д

гі

г2 дгі

д

дг-\

гь2

гі

2(г1 +г2) -----^-е “о

Аналогично, найдем для второго электрона:

^2

2та0

г(гі +г2)

2т

-^2-

^е2

Г2

Ф

2т

-^2-

^е2

Г2

. 2(г1 +г2) с*0

Таким образом получим:

г2 К2

2та0

^3 _г(г1+г2)_

—5-е “о

Н Ф

2

22П2\ (2 - 2) е2 (2 - 2) е2 е2

2та2 у

+

гі

+

г2

г(гі+г2)

Хотя нелегко оценить погрешность вычисления волновой функции, полученной таким образом, тем не менее можно найти собственные значения для этих функций - значения для энергии [7, 8]. Согласно вышеописанному энергия равна:

Е = [ Ф* (-^К) ф (IV + [ Ф* (г — 2) е2 (— + —^ Ф вУ + [ Ф*—Ф сШ .] V та2 у .] \гі Г2 у ] Г12

Рассмотрим интеграл:

20 0

— *2Х

(гі+г2)

“О (IV.

2

„ , ----о ) / е 22 “0 47ГГ2<ІГі

таї V

е

0 па0 0 2

па

х 16п2 х

2

“О 47ГГ2 1ІГ2

(22/аоГ

П2

3

е

0

3

0

е

0

3

0

0

е

3

0

0

е

0

3

0

со

е

3

0

0

со

0

2

Теперь рассмотрим 2-щй интеграл и предположим, что гх ~ Г2, т. е. Фх (гх) = Ф2 (Г2) :

2Z

Ф* (Z — 2) е2 I---1----= 2(Z-2)e2 — ^е~~^Мх

\ri r2 у J Г1 па0

2Zri

/ Z3 \ f00 Г р- —

= 2(Z — 2) е2 (—о) ------r?dri sin OdO dtp

Vnao/./o ./о ./0 ri

_2{Z -2)t2Z _2{Z - 2) ZmeA

ao H2

Рассмотрим третий интеграл:

* e2 f°° f ZJ \ ~ rA _97<П±Г2> о о

Ф ----. = I I ---5- I --e “o dr\dr\

ri2^dV

o

2

Z3 N 2 1 ■*$

,7rao J 1 Г i2

f°° е~ 2Zi

Qo Є

10 Г i2

e2f^) I '—^—^drldrl

n ao

Введем безразмерные величины R\ = ^ д2 = 2^12. и д12 _ 2Zrt2 ^ чт0 соответствует

= 2Z*i = 2Zd£2 = azdoa 0 0 0

1 ao ’ 2 a 0 12 a о

Поэтому можно записать интеграл как:

/ Z3 V e-Ri е-д2 / an Ч3 / an

Ы і -§*г (2»

= Г4У (£)2 (^|)3 х Г і^±,шьт

/ГСКд ) \2% ) ) СКо Уо ^12

'&\2 (^Л2 V ^ V 9.П1Г2 = —

чп«о/

Таким образом, энергия равна:

е2 —о — — х — х20тг 2 = —Zme4.

, 7га3 у V2Z7 V2Z7 a0 8Й2

^ Z2me4 2 (Z — 2) Zm4 5 4

E=~^ + J-^— + да2гае

£ 2_27^m,‘

8 ) П2

Для минимизации выражения используем условие = 0, которое дает значение Z = < 2.

Таким образом, получим:

4

те

Е= -2.8477^-. (13)

П2

з

3. Случай нелинейного гамильтонина

Далее используем нелинейное уравнение Гросса-Питаевского для нахождения энергетического спектра атомов водорода и гелия. В этом случае оператор Гамильтона имеет вид:

Н = —V2 +У (г) + <? |Ф (г)|2.

2т

3.1. Атом водорода

Мы рассматриваем водородный атом как систему двух тел (ядро и электрон). Взаимодействие возникает из-за кулоновского притяжения электрических зарядов. Обозначим заряд ядра и заряд электрона - е . Нелинейный гамильтониан для атома водорода:

П2 е2 9

Н=-—У2-- + д\е-аг\2. (14)

2т г

Используя вариационный метод, получим выражение для энергии:

I е~аг (-&У2 -Т + 9 \е-аг I2) е-агдУ Е =-----------

Используя соотношение

где Г (п) = (п — 1)!Г (п) = (п — 1)!

р ТО

I хпе-ах<1х- . ,,,

/о «(”+!)

/ е-аге-аг

Г (п +1)

В = І^-Л,+ £. (15)

2т 8 ^ у

Подставляя значение «а» в соотношении (13) о. = ^-, получим:

2

_ те2 о

Е=-----7Г + -- 16

2П? 8 ^ ;

3. 2. Атом гелия

Далее исследуем спектр атома гелия и будем рассматривать атом как систему трех частиц

(ядро и два электрона). Взаимодействие возникает из-за кулоновского взаимодействия электриче-

2 2 2 2 2

ских зарядов. Потенциальная энергия системы в отсутствие внешних полей равна — -у-------------^ .

Нелинейный гамильтониан для атома гелия описывается выражением:

Ь2 , 2 л2х 2е2 2е2 е2 2

н = -— (У1 + У2)---------------------1----д№ (гі,г2)\ .

2т гі Г2 гі2

Все вычисления аналогичные, кроме нелинейного члена.

/о Г°° [ 7^ \ 4 *г(г1+гэ) „ „

Ф*д |Ф (гі, гг)!2 ФйУ = д\ --------о ) е 42 =3 47гг?<ігі х 47гг2йг2

Jо \пао/

» 3 I - V / I 1-І

\пао/ ./о ./о

х д (47г) е аог1с1гі х е “»г2йг2.

Используем соотношение

где Г ( п) = ( п — 1)!

ЛТО

хпе-ах(1х - Г(п+1)

/о а(п+1)

^6™6„12

те

= Я7гт-т-в=9-

'64п2«6 а 64п2Ь6

Суммируя все вклады, получим:

в = | 2* _ 21г\ ^ + і,26”'6'12

8 у П2 64п2П6

Используя значения для параметра ^ = Ц, найдем значения для энергии основного состояния:

те4 ( 27 N 6 т6е12

£=_2.8477ж+9 - (17)

4

оо

4. Результат и заключение

Полученный результаты для удобства сравнения ниже сведены в таблицу

VARIATION METOD f<S/*H<S/dV & — f LINEAR YAMILTONIAN H=~&^+V(r) NON-LINEAR HAMILTONIAN H= -|^2+У(г)+Уо|Ф(г-)|2 ENERGY DIFERENCES

WAVE FUNCTIONS ENERGY WITH LINESR METHOD ENERGY WITH NONLINEFR METHOD

HYDROGEN ATOM <K» = l e-T/a V TTOi6 4 771 me a - 2ft2 „ _ me4 і Vq Є “ 2ft2 “Г s AE=^

HELIUM ATOM 3 Z( ri+r2) (ri,r2) = “o 7rao 4 E = -2.84772p- 4 E = -2.84772p- + , tг f27\6 m6e12 + 'M16) 647r2ft6 AE = Vo(i)6l^

В таблице приведены значения энергии основного состояния, вычисленные с использованием уравнений Шредингера и Гросса-Питаевского, а также различие в энергиях. Эти различия энергии основного состояния атомов водорода и гелия могут указать на преимущества метода вычисления энергии при использовании различных пробных функций.

Напомним еще раз кратко. Энергия основного состояния водородного атома при вычислении с линейным гамильтонианом равна:

4

т р4

Е=-

2 К2 ’

а та же энергия, вычисленная с использованием нелинейного гамильтониана, описывается выражением:

те4 Уо

~ _~2ЙЯ~ ~8~'

Различие энергии основного состояния атома водорода, вычисленная двумя методами, равно:

АЕ= —

8

Аналогичный результат получен и для атома гелия:

Л ^ /27\6 т6е12

А Е — Уп { — ]

16/ 64п2Н6

Согласно выполненным выше вычислениям изменение в энергии происходит из-за нелинейного поведения частиц, которое наблюдается экспериментально при очень низкой температуре T = 2mK, то есть в конденсатах Бозе-Эйнштейна. Замедление атомов до очень низких температур при помощи лазерного охлаждения приводит к появлению нового квантового состояния, которое известно как конденсат Bose или конденсат Боз-Эйнштейна. Новое квантовое состояние - конденсат Бозе-Эйнштейна основано на понятии Бозе газа. Бозе газ описывается статистикой Бозе-Эйнштейна, описывающее статистическое распределение неразличимых частиц с целым значением спина и названными бозонами. К бозонам относятся и фотоны, и атомы, такие, как гелий 4. Эйнштейн предположил, что бозоны, охлажденные до очень низких температур, образуют новое квантовое состояние, и ввел концепцию новой формы материи - конденсата.

В конденсате Бозе-Эйнштейна при очень низких температурах все атомы переходят в основное состояние и становятся «одним» атомом, который называют суператомом. В этом основном состоянии происходит сильное взаимодействие между частицами, из-за которого может произойти вышеупомянутое изменение в энергии. Эти результаты могут быть проверены экспериментально в будущем.

Список литературы

1. Schrodinger // Ann. der Physic, 1926. V. 79/ P. 361.

2. Gross E. P.«Structure of a Quantized Vortex in Boson Systems», 1961, Nuovo Cimento V. 20. P. 454.

3. Pitaevskii L. P. // Sov. Phys. JETP, 1961. V. 13. P. 451.

4. Huang K. and YangC. N. Phys. Rev., 1957. V. 105. P. 767.

5. Fetter A. L. and Walecka J. D. // «Quantum Theory of Many-Particle Systems» McGraw-Hill,

1971.

6. Edwards M. and Burnett K. // Phys. Rev. A, 1995. V. 51. P. 1382.

7. Eckart C., Phys. Rev. 1930. V. 36. P. 878.

8. Gardiner C. W. and Davis M. J. // J. Phys. B. 2003. V. 36. P. 4731.

Рукопись поступила в редакцию 28 апреля 2011 г.