CC BY
16
УДК 538.9
0 ТЕРМОДИНАМИКЕ ВЫРОЖДЕННОГО БОЗЕ-ГАЗА
С ДЕЛЬТАОБРАЗНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
В. Б. Бобров1'2 А. Г. Загородний3, С. А. Тригер1'4
В рамках самосогласованного приближения Хартри-Фока проведено рассмотрение равновесного слабонеиде-ального бозе-газа с дельтаобразным потенциалом взаимодействия при наличии конденсата Бозе-Эйнштейна без использования квазисредних. На этой основе с использованием теоремы вириала и методов диаграммной техники теории возмущений для равновесной системы, находящейся в макроскопическом объеме, получено уравнение состояния, обеспечивающее конечность изотермической сжимаемости, включая область существования конденсата Бозе-Эйнштейна.
Ключевые слова: конденсат Бозе-Эйнштейна, самосогласованное приближение Хартри-Фока, вырожденный бозе-газ.
Экспериментальное наблюдение конденсата Бозе-Эйнштейна (КБЭ) в ультрахолодных газах щелочных металлов [1] послужило мощным толчком для развития теоретических исследований слабонеидеальных бозе-систем (см. [2] и цитированную там литературу). При этом подавляющее число работ, посвященных исследованию систем с КБЭ, основано на использовании гипотезы Боголюбова [3] о C-числовом поведении операторов рождения и уничтожения частиц с нулевым импульсом, что приводит к появлению так называемых "квазисредних" в статистической теории (см., напр., [4]).
1 Объединенный институт высоких температур РАН, 125412 Россия, Москва, ул. Ижорская, д. 13, стр. 2.
2 Национальный исследовательский университет "МЭИ", 111250 Россия, Москва, ул. Красноказарменная, д. 14.
3 Институт теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова НАН Украины, 03680 Украина, Киев, ул. Метрологическая, д. 14-б.
4 ИОФ РАН, 119991 Россия, Москва, ул. Вавилова, 38; e-mail: [email protected].
Однако гипотеза Боголюбова не может быть доказана строго математически, что вызывает серьезные сомнения в возможности использования формализма квазисредних для описания систем многих частиц с КБЭ (см. [5-9] и цитированную там литературу). Альтернативный вариант при рассмотрении равновесных свойств таких систем основан на использовании стандартной диаграммной техники теории возмущений для равновесной системы, находящейся в большом, но конечном объеме [10]. Для перехода к термодинамическому пределу необходимо учесть, как это имеет место в идеальном бозе-газе, макроскопическое число частиц в состоянии с нулевым импульсом, что соответствует наличию КБЭ. Но при использовании стандартной диаграммной техники возникает существенная трудность, обусловленная аномальными свойствами идеального бозе-газа, в частности, бесконечным значением его изотермической сжимаемости при температурах ниже температуры перехода в состояние с КБЭ. Это означает, что нельзя использовать модель идеального бозе-газа в качестве исходного, нулевого приближения. Именно этим обстоятельством обусловлено само появление гипотезы Боголюбова [3] для неидеального бозе-газа. Другими словами, для рассмотрения системы с КБЭ необходимо изначально учитывать межчастичное взаимодействие, что отвечает применению общих функциональных методов квантовой теории поля для функций Грина (см., напр., [11]). При этом соответствующее рассмотрение необходимо проводить для системы, находящейся в очень большом, но конечном объеме с последующим переходом к термодинамическому пределу с учетом КБЭ. По этой причине мы будем использовать подход, предложенный в [12] для вычисления "высших" функций Грина через так называемые "регулярные" части этих функций и соответствующие средние более низкого порядка, что позволяет составить систему зацепляющихся интегральных уравнений по отношению к "регулярным" частям функций Грина. Для учета КБЭ в равновесной системе бозонов с нулевым спином, находящихся в макроскопическом объеме V при температуре Т, необходимо вычислить одночастичную функцию распределения (ОФР) ¡у(р) по импульсам Яр. С этой целью используем связь ОФР со спектральной функцией Лу (р,ш), которая однозначно определяет одночастичную функцию Грина [11],
оо
Г ( ч _ \ I ^ ЛУ (Р,ш)
¡у (Р) = «ар)у = '
I 2п ехр{(Яш — ^у)/Т} — 1
—те
Здесь а+ и ар - операторы рождения и уничтожения частиц с импульсом Яр, соответственно, а угловые скобки обозначают усреднение с большим каноническим распределением Гиббса и химическим потенциалом ^у. Для спектральной функции Лу(р,ш)
выполняются точные соотношения, называемые правилами сумм (см., напр., [13])
те те
2ттАу (р'ш) = 1' ЪгШЛу (р,ш) = Еу (р)'
Еу (р) = £Р + 1(0)п + 1(я)/у (Я + Р),
q
„2
где £р = П2р2/2т - энергетический спектр свободной частицы массы т,1(я) = / ¿3г ехр(гя • г) и (г) - фурье-образ для парного потенциала межчастичного взаимодей-
v
ствия и (г), п(Т, уу) = — 1 р /у (р) - средняя плотность числа частиц в рассматрива-
■ф
емой системе.
При реализации подхода [12] в качестве исходного приближения выступает самосогласованное приближение Хартри-Фока (СПХФ), в рамках которого спектральная функция равна [11]
Аунг(р, ш) = 2пМ (Пш - Е^нг(р)) . (4)
Подставляя (4) в (1)-(3), нетрудно убедиться, что ОФР /уНГ(р) в СПХФ удовлетворяет системе уравнений
/^<р) = ехр{(ЕуНр(р)1- )/Т}- 1 • П8нр = - £ /™Г<р)- (5)
Е?нР(р) = £р + и(0)пвнр + - £ и(я)/|нр(я + р). (6)
q
Очевидно, что система уравнений (5), (6) не может быть решена при произвольном виде фурье-образа потенциала межчастичного взаимодействия 1(я). Исключение составляет случай дельтаобразного потенциала взаимодействия и (г) = (г)(10 > 0), который широко используется в теории квантовых газов [3, 4]. В этом случае из (5), (6) непосредственно следует
/Г (р) = ех-7?-1 И)/Тг , П^ = - ^ /^ (р), (7)
еХр{(£р - ^)/Т } - 1 У ^
Уу = У у - 21оП^0 (Т, у у). (8)
Другими словами, ОФР /V0 (р) для бозе-газа с дельтаобразным потенциалом в СПХФ соответствует ОФР идеального газа с точностью до замены химического потенциала у у
на химический потенциал rfy для идеального газа бозонов (8). В этой связи отметим, что модель системы частиц, взаимодействующих между собой посредством дельтаобразного потенциала, отвечает идеальному газу точечных частиц, упруго сталкивающихся друг с другом. В этом случае переход к термодинамическому пределу (N) ^ то, V ^ то, n = (NV)/V = const, где NV = p a+ap - оператор полного числа частиц в системе, которая занимает объем V и характеризуется заданной средней плотностью числа частиц П, осуществляется аналогично процедуре, имеющей место в идеальном газе бозонов (см., напр., [14]). В результате при температурах T < Tbec, где Tbec = 2пЯ2П2/3/((3/2)m -температура перехода в состояние с КБЭ, ОФР /V° (p) имеет вид после перехода к термодинамическому пределу
fv° (p) = lim /v° (p) = (a+ a0)ip,,0 + /over (P)(1 - (9)
V ^те
а плотность числа частиц в рассматриваемой системе равна
n
nbec + nover, пвес = lim (a+ao)/V = n{1 - (T/Tbec)3/2}, (10)
0
v ^те
3/2
1 r d3p ( T \3/2
nover = xJim TT V fV° (P) = JTT^ /over(P) = n ^--. (11)
V p=0 J (2n)3 \tbec/
V ^ 3 (2п)л \Твес
р=0 4
Здесь Пвес - плотность числа частиц в КБЭ, Потег - плотность числа частиц в так называемых "надконденсатных" состояниях (в состояниях с ненулевым импульсом), £(х) -(-функция Римана, /0уег(р) = {ехр(ер/Т) — 1}-1. При этом ^ = = 0, так
что согласно (8) при температурах Т < Твес химический потенциал рассматриваемой системы равен ^ = Ишу= (Т, Следовательно,
(Т,^)/5^)т = (2^о)-1. (12)
Чтобы убедиться в справедливости равенства (12), рассмотрим термодинамический потенциал Гиббса П(Т, ^у, V) для системы в макроскопическом объеме V. Согласно результатам статистической термодинамики П(Т, , V) = — Р (Т, )V, где Р (Т, ) -давление в рассматриваемой системе [14]. С другой стороны, согласно теореме вириала [15] для системы с дельтаобразным потенциалом взаимодействия имеем
Р (Т,^у ^ = 2<К )у/3+ <Ц7 >у, (13)
где (К)у и <Ц7)у - точные средние значения кинетической и потенциальной энергии, соответственно. Учитывая точные выражения [11], получим
те
/К Р /«о(р) /т [ — )АУ(Р,^ (14)
<Х)у = ^^^ <^)у =2 2п ехр{(^ - Ы/Т} — 1. (14)
Теперь, учитывая (4)-(6), находим давление для системы бозонов, находящейся в макроскопическом объеме V, в рамках СПХФ
PSHF(T,^y) = 2v(0)(nsHF)2+ (15)
+V £ \£р + 2V £ v(q)/SHF(q + P)} /SHF(P).
p l q J
Из (15) согласно (7)-(11) непосредственно следует, что в термодинамическом пределе давление для бозе-газа с дельтаобразным потенциалом взаимодействия при температурах T < Tbec равно
Pvo(T,^)= lim Pvo) = Pid(t) + Vo(nvo)2, (16)
где Pid(T) = Z(5/2)(mT/2n^2)3/2T - давление идеального бозе-газа [14]. Сравнивая соотношения (12) и (16), нетрудно убедиться в справедливости общего термодинамического равенства [15]
n-1(<9P/ön)T = |(ön/ö^)T }-1, (17)
что подтверждает результаты проведенного рассмотрения для вырожденного бозе-газа при наличии КБЭ.
Настоящая работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 14-19-01492).
ЛИТЕРАТУРА
[1] M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews, et al., Science 269, 198 (1995).
[2] C. J. Pethick and H. Smith, Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases. 2-nd ed. (Cambridge University Press, Cambridge, 2008).
[3] Н. Н. Боголюбов, Известия АН СССР, сер. физ. 11, 77 (1947).
[4] Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Статистическая физика, часть 2 (M., Наука, 1978).
[5] V. B. Bobrov, P. P. J. M. Schram, and S. A. Trigger, Physica A208, 493 (1994).
[6] C.-H. Zhang and H. A. Fertig, Phys. Rev. A74, 023613 (2006).
[7] P. Navez and K. Bongs, Europhys. Lett. 88, 60008 (2009).
[8] A. M. Ettouhami, Progr. Theor. Phys. 127, 453 (2012).
[9] В. Б. Бобров, А. Г. Загородний, С. А. Тригер, ФНТ 41, 1154 (2015).
[10] В. Б. Бобров, С. А. Тригер, П. Шрам, ЖЭТФ 107, 1526 (1995).
[11] L. P. Kadanoff and G. Baym, Quantum Statistical Mechanics (Benjamin, New York, 1962).
[12] В. Д. Озрин, ТМФ 4, 66 (1970).
[13] О. К. Калашников, Е. С. Фрадкин, ТМФ 5, 417 (1970).
[14] R. Balescu, Equilibrium and Nonequilibrium Statistical Mechanics (Wiley, New York, 1975).
[15] Д. Н. Зубарев, Неравновесная статистическая термодинамика (M., Наука, 1971).
Поступила в редакцию 16 мая 2016 г.
