CC BY
17
УДК 538.9
О КОЛЛЕКТИВНЫХ И ОДНОЧАСТИЧНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЯХ В СВЕРХТЕКУЧЕМ ГЕЛИИ
В. Б. Бобров1'2, С. А. Тригер1'3
На основе анализа имеющихся теоретических и экспериментальных данных показа,но, что спектр коллективны, х возбуждений не совпадает со спектром одночастич-ных возбуждений в сверхтекучем гелии АНе. Установлено, что коллективные возбуждения, с фонон-ротонным, спектром, не имеют непосредственного отношения, к явлению сверхтекучести.
Ключевые слова: сверхтекучий гелий, коллективные возбуждения, одночастичные возбуждения.
1. Введение. Понятие о квззичястицэх к&к кв&нтовшшых коллективных возбуждениях впервые ввел «Л&нд&у [1] для феноменологического объяснения явления сверхтекучести в жидком 4Не. При этом Ландау исходил из гидродинамического подхода к определению квазичастиц как долгоживутцих (слабозатухающих) возбуждений в системе. На этой основе Ландау предсказал так называемый фонон-ротонньтй энергетический спектр таких возбуждений Ер^—Г (д) = (д) (зависимость энергии возбуждений от
их импульса Яя), что позволило ему дать описание экспериментальных данных по теплоемкости и второму звуку в сверхтекучем гелии [2].
Десятью годами позже Коэн и Фейнман [3] предложили экспериментальный способ для определения спектра коллективных возбуждений по значениям максимумов Етах(д) = Яштах(д) в динамическом структурном факторе жидкости
Б(д,ш) = V ! ещ^ш^ф^р-цЩМ, рч = ^ а+-цар. (1)
—те р
В (1) угловые скобки обозначают усреднение с большим каноническим распределением Гиббса с точным гамильтонианом рассматриваемой системы, находящейся в макроско-
1 Объединенный институт высоких температур РАН, 127412 Россия, Москва, ул. Ижорская, 13/19.
2 Национальный исследовательский университет "МЭИ", 111250 Россия, Москва, ул. Красноказарменная, 14.
3 Институт общей физики РАН, 119991 Россия, Москва, ул. Вавилова, 38; е-таП: [email protected].
пическом объеме V, оператор рд (I) является фурье-образом оператора плотности числа частиц в представлении Гейзенберга а+ и ар соответственно, операторы рождения и уничтожения частиц с импульсом Яр, которые удовлетворяют известным соотношениям коммутации. Здесь и далее спиновые индексы опущены.
Значения функции Б(д, и) в зависимости от величин импульса Яц и энергии Е = Ни могут быть найдены экспериментально по сечению неупругого рассеяния нейтронов и рентгеновских лучей в жидкости (см., напр., [4]). Предложение Коэна и Фейнмана [3] дает возможность установить соответствие между явно определенной функцией Б(д, и), которую можно приближенно вычислить на основе (1). и понятием коллективных возбуждений как квазичастиц, отвечающих максимумам Б(д,и).
При этом, как известно, максимумы в функции Б(д, и) непосредственно связаны с полюсами функции отклика "плотность-плотность" х(д,и) = у ((рч\р-ч))ш, или нулями диэлектрической функции е(д,и). Это позволяет придать ясный физический смысл понятию коллективных возбуждений.
Необходимо отметить, что приведенные выттте рассуждения, касающиеся коллективных возбуждений в жидкости, являются совершенно общими и не зависят от того, наблюдается ли в рассматриваемой системе явление сверхтекучести или нет.
Ротонная часть спектра в сверхтекучем гелии 4Не (Не II) была впервые эксперимен-ТШ1БНО обнаружена в работе [5], а полностью дисперсионная кривая фонон-ротонного спектра была экспериментально определена в работах [6, 7] (см. подробнее [8]).
Наряду с коллективными возбуждениями в статистической теории систем многих частиц (фермионов или бозонов) важнейшим является также понятие о квазичастицах, связанных с особенностями (полюсами) другой функции одночастичной функции Грина С(д,и) = ((ад\а+~))ш. Такие квазичастицы мы будем называть далее одночастичными возбуждениями.
Вопрос о соотношении между энергетическим спектром коллективных возбуждений, который определяется по положениям максимумов Б(д,и) или особенностями функ-х(д, и)
определяется особенностями С(д,и), до сих пор не решен и в общей форме даже не ставился. Согласно существующим теориям и полученным приближенным результатам полюса функций х(д,и) и С(д,и) различны в нормальных системах. В то же время в системах с конденсатом Бозе Эйнштейна (КБЭ), согласно теоретическим подходам, основанным на понятии об аномальных средних, полюса этих функций совпадают [8, 9]. Сложность вопроса связана, в частности, с отсутствием методов экспериментального
определения функции G(q,u) и ее особенностей. Рассмотрению проблемы соотношения между спектрами коллективных и одночастичных возбуждений, которая имеет принципиальное значение как для построения последовательной теории систем с КБЭ, так и для интерпретации многочисленных экспериментов по определению функции S(q,u), посвящена эта работа. Нами приведены убедительные данные, которые свидетельствуют о том, что особенности в функциях x(q,u) и G(q,u) не совпадают не только в нор~ мальньтх системах, но и в системах с КБЭ.
2. Спектры коллективных и одночастичных возбуждений. Как известно из ста~ тистической теории систем многих частиц (фермионов или бозонов), описание квазичастиц, являющихся одночастичньтми возбуждениями, существенно зависит от того5 являются ли исходные частицы фермионами или бозонами (см., напр., [4]).
В свою очередь, максимумы в динамическом структурном факторе S(q, и) непосредственно связаны с особенностями (полюсами) функции отклика "плотность-плотность" x(q,u) (см., напр., [10])
2h
S (q,u) = - 1 - exp-hu/T)Im x(q'u) (2)
или с нулями диэлектрической функции t(q,u) [11]
S(q>u) = - 1 - eM-hu/T) ^ Щ1тЖй)' (3)
Здесь v(q) - фурье-образ парного потенциала межчастичного взаимодействия, T - температура рассматриваемой системы.
Коллективные возбуждения, соответству юпд,ие особенностям функций x(q,u) и S(q,u), являются бозонами, независимо от того, бозонами или фермионами являются исходные реальные частицы в рассматриваемой системе. Это связано с четностью мнимых частот hun = 2nnTi, n - натуральное число в температурной функции Грина "плотность-плотность", аналитическим продолжением которой в верхнюю полуплоскость и является функция x(q,u) (см., напр., [12]). Типичным примером коллективных возбуждений ЯВЛЯЮТСЯ фононы и плазмоны. При этом число таких квазичастиц зависит от термодинамических параметров рассматриваемой системы, что соответствует химическому потенциалу, тождественно равному нулю при любых термодинамических параметрах системы (см., напр., [13]). При этом для одночастичных возбуждений химический потенциал ^ определяется по заданному числу исходных частиц (по крайней мере, в нерелятивистском приближении, когда число частиц в системе фиксируется массовой плотностью).
Таким образом, в общем случае коллективные возбуждения и одночастичньте возбуждения не связаны друг с другом непосредственно. Однако возможно исключение из этого общего утверждения. Совпадение в описании коллективных и одночастичньтх возбуждений возможно, но только при рассмотрении систем, состоящих из исходных бозонов. Для решения проблемы, связанной с различиями между химическими потенциалами для коллективных и одночастичньтх возбуждений, можно представить себе ситуацию, когда энергетический спектр одночастичных возбуждений Esp (q), который в общем случае зависит от термодинамических параметров системы, связан с химическим потенциалом рассматриваемой системы соотношением
Esp (q ^ 0) = Ц- (4)
Это условие выполняется не только для идеального газа бозонов [12]. но и для системы взаимодействующих бозонов при температурах, которые меньше или равны температуре перехода в состояние с КБЭ TBEC [14]. Только в этом случае спектр для ОДНОЧАСТИЧНЫХ возбуждений, понимаемый как
fi^sp(q) = Esp(q) - Esp(q ^ 0), (5)
может соответствовать фонон-ротонному спектру коллективных возбуждений, который наблюдается экспериментально. Иными словами, совпадение спектров коллективных и одночастичных возбуждений в принципе возможно только в системе бозонов при наличии КБЭ. Однако вопрос о том имеет ли в действительности место такое совпадение в системах с КБЭ оставался до сих пор открытым.
3. Гипотеза Пенроуза Онзагера и аномальные средние. Общее математическое соотношение для описания КБЭ в системе взаимодействующих бозонов было впервые предложено Пенроузом и Онзагером [15, 16] как существование недиагонального дальнего порядка (off-diagonal long-range order (ODLRO)) в одночастичной матрице плотности. В представлении вторичного квантования это утверждение имеет вид
lim y(г, г') = n0 = 0, y(г, г') = (Ф+ (г)Ф(г')), (6)
| r—r' | —
где no - плотность числа частиц в КБЭ, Ф+(г) и Ф(г) - соответственно полевые операторы рождения и уничтожения для рассматриваемой системы исходных частиц
Ф+(г) = ехР(-Фг), ф(г) = ехр(фг). (7)
Соотношение (6) обобщает критерий существования КБЭ в слабонеидеальном бозе-газе. который оыл предложен ранее Боголюбовым [17].
В теории систем с КБЭ принято считать что усреднение в (6) подразумевает учет нарушенной симметрии
ф +(г)) = Ф*(г) = 0, ф(г)) = Ф(г) = 0, (8)
хотя условия (8) не следуют из (6), а являются самостоятельными гипотезами, доста-точными5 но не необходимыми для выполнения (6). В (8) величина Ф(г) может быть интерпретирована как "волновая функция КБЭ", которая характеризуется амплитудой и фазой [4]. Если рассматривается однородная система, то согласно (7), (8) в КБЭ находятся только частицы с нулевым импульсом: {ар) = 0 дл я р = 0 и {а0) = ^ {N¡0), где {М0) = {а+а0) = п0У. Без ограничения общности мы можем считать, что для однородного КБЭ фаза равна нулю.
Как впервые показал Беляев [9], учет КБЭ при описании системы взаимодействующих бозонов в формулировке (6) (8) приводит к необходимости рассматривать вместо одной функции Грина и) матрицу одночастичных функций Грина которая
включает в себя помимо Сц = С еще и аномальные функции Грина. В этом подходе химический потенциал ^ удовлетворяет известному соотношению Гугенгольца-Пайнса [18] (см. (4)).
Для установления связи между спектрами коллективных и одночастичных возбуждений необходимо учесть наличие КБЭ при вычислении функции отклика х(я,и). При справедливости (6)^(8) оператор рч (1) можно представить как
Рч = 4^)^ ^ + ¡4, А = ¡4 + ¡-V ¡4 = Т. а+-чйР- (9)
Р=0,р=
Таким образом, функция отклика х(я,и) может быть представлена как сумма "кон-денсатной" и "нормальной" функций отклика [10]
х = х^с + х(п), х(с) = ЛаСавЛв, Х(п) = {{¡ПIаП), (10)
где Ла - вершинная функция дл я одночастичных функций Грина в системе с нарушенной симметрией (6)^(8). Величина Ла обращается в нуль, если п0 = 0. При этом х = х(п) для температур Т > Твес.
Впервые подробное исследование функции отклика х(я,и) (10) в рамках диаграммной техники, разработанной Б еляевым для бозе-систем с нарушенной симметрией, было
проведено Гаворе и Нозьером [19]. Они проанализировали структуру матрицы двухчастичной функции Грина К2, которая однозначно определяет функцию отклика х(я,и). Этот анализ затем был воспроизведен в рамках диэлектрического формализма (см. подробнее [8] и цитированную там литературу). В результате оказалось, что особенности (полюса) функций Сар и х определяются одной и той же функцией, которая однозначно связана с и) (3). При этом в отсутствие нарушения симметрии (Ла = 0) полюса функций Сав и х не связаны между собой.
На первый взгляд, рассмотренные выше результаты являются вполне общими и могут быть применены для рассмотрения газов и жидкостей с КБЭ. Однако недавно Кита [20] впервые обратил внимание, что рассмотрение, выполненное Гаворе и Нозьером [19], а также другими авторами в рамках диэлектрического формализма, основано на анализе структуры рядов теории возмущений, выполненном раздельно для функций Сав И К2-
Таким образом, такой анализ может страдать от двусмысленности относительно того, как определять сооственно энергетические и вершинные функции, которые присущи КБЭ, в соотношении с двухчастичными функциями Грина. Иными словами, подобный анализ необходимо проводить в рамках формализма, допускающего единое рассмотрение как одночастичньтх, так и двухчастичных функций Грина.
Для нормальных систем такой формализм, основанный на процедуре функционального дифференцирования при наличии заданного внешнего поля, был разработан Бей-мом и Кадановьтм [21]. Этот метод позволяет вывести формально точные выражения для двухчастичных функций Грина с точки зрения однозначно определенных сооственно энергетических и вершинных функций. Кроме того, он может быть использован в практических расчетах двухчастичных функций Грина с использованием приближения Бейма [22]. На основе обобщения этого подхода для рассмотрения бозе-систем в рамках концепции аномальных средних в [20] при рассмотрении конкретного потенциала было
х
частичных функций Грина Сав в противоречии с утверждением Гаворе и Нозьера [19]. Причина такого расхождения результатов связана с проблемой однозначности определения сооственно энергетических и вершинных функций и их диаграммного представления [20].
4■ Экспериментальные да,нны,е для, динамического структурного фактора, в жидком, гелии. Выясним теперь, как рассмотренные выше теоретические результаты соот-
носятся с имеющимися экспериментальными данными для динамического структурного фактора 5(д, и).
Прежде всего, необходимо отметить, что согласно (2). (3) максимумы в функции 5(д, и) могут быть связаны не только с коллективными возбуждениями при выполнении условий 1те(д,и) ^ 0 (1те(д,и) << Ке е(д,и)), но и с максимумами функции 1т е(д,и), которые можно интерпретировать как "сильное поглощение", в которых 5(д, и) имеет минимум(ы), вслед за которыми обязан(ы) следовать максимум(ы), в силу справедливости следующих общих соотношений
Ит 1те(д,и) = 0, Нт 1те(д,и) = 0, 1те(д,и) > 0. (11)
При этом максимумы функции 5(д,и), связанные с нулями Кее(д,и), характеризуются более острыми пиками, чем максимумы, обусловленные наличием сильного поглощения, связанного с поведением 1те(д,и) (см., напр., [23, 24]). По мере увеличения
д 5(д, и)
тьтми", как и при увеличении температуры. В то же время фононная часть спектра коллективных
возбуждений практически не изменяется с повышением температуры и характерна не только для жидкого гелия (как в сверхтекучей фазе, так и в нормальной фазе), но и для любых жидкостей, включая жидкие металлы (см. [25, 26] и цитированную там литературу).
Однако недавно на основе эксперимента по неупругому рассеянию нейтронов фонон-ротонньтй спектр коллективных возбуждений был обнаружен для двумерного слоя жидкого 3Не в нормальном состоянии при температурах ниже 100 тК [27]. При этом в обла-
5(д, и)
ротонов и в ферми-жидкости в отсутствие КБЭ вопреки описанному выше сценарию Га-воре и Нозьера. Интерпретация полученных экспериментальных результатов адекватно описывается в рамках развитой в [28] теории. В совокупности с теоретическим результатом Кита [20] это подтверждает предположение (см. [14, 26, 29] и цитированную там литературу) о несовпадении спектров коллективных и одночастичньтх возбуждений в сверхтекучем 4Не (Не II). Более того, еще в 1961 году в экспериментах Хеншоу и Вудса [7] был обнаружен фонон-ротонный спектр в нормальном жидком 4Не.
Эти экспериментальные данные убедительно
показывают^ что фонон ~ ротонныи 5(д, и)
5(д, и)
являются хорошо определенными (не размытыми), как впрочем и в двумерном жидком 3Не при еще более низких температурах. Это позволяет интерпретировать положение соответствующих максимумов как спектр коллективных возбуждений. С повышением температуры максимумы в функции Б(д,и) достаточно сильно размываются в области волновых векторов, отвечающих максон-ротонной части спектра, поэтому эти максимумы уже не характеризуют спектр коллективных возбуждений.
5. Заключение. Нам остается убедиться в том. что такая интерпретация не противоречит самой теории сверхтекучести Ландау, в том числе критерию сверхтекучести. В своей первой работе Ландау [1] предполагал существование двух типов элементарных возбуждений в сверхтекучем гелии: фононов. связанных с потенциальным дви^кением жидкости, и "ротонов Ландау" квантованных возбуждений, обладающих щелью при нулевом импульсе. Однако в рамках такой модели ему не удалось дать количественное описание экспериментальных данных по скорости второго звука, которая была с большой точностью измерена Пешковым [30]. Поэтому Ландау в своей следующей работе [2] ограничился рассмотрением только одного типа возбуждений с фонон-ротонньтм энергетическим спектром. При этом ротонньтй участок спектра уже не должен ассоциироваться с вихревым движением [31].
Отметим теперь, что наблюдаемая в сверхтекучем гелии критическая скорость оказывается на один-два порядка меньше, чем критическая скорость, связанная с ротонной щелью. Поэтому описание механизма срыва сверхтекучести в рамках критерия Ландау не может быть связано с ротонами (см. подробнее [32]). В результате в настоящее время срыв сверхтекучести при движении сверхтекучего гелия в капиллярах связывают с процессами рождения протяженных квантовых вихрей Онсагера Фейнмана или замкнутых вихревых нитей (петель, колец), что. в частности, позволяет описать экспериментальную зависимость критической скорости, при которой происходит срыв сверхтекучести, в зависимости от размеров отверстия в капилляре [33, 34].
Таким образом. коллективные возбуждения с фонон-ротонньтм спектром не имеют непосредственного отношения к явлению сверхтекучести.
Это утверждение полностью соответствует мысли Пайнса [35] о том. что спектры коллективных возбуждений в жидких 4Не и 3Не в большей степени обусловлены взаимодействием частиц, нежели эффектами квантовой статистики.
Подводя итоги проведенного рассмотрения, мы можем сделать следующие выводы:
1) хотя сверхтекучий 4Не является бозе-жидкостью с КБЭ, спектр коллективных возбуждений в нем не совпадает со спектром одночастичньтх возбуждений.
2) отличительной особенностью квантовых жидкостей - сверхтекучего 4Не при температурах, меньших температуры TBECи двумерного нормального жидкого 3Не при очень низких температурах является наличие слабозатухающих коллективных возбуждений с фонон-ротонньтм спектром,
3) фонон-ротонньтй спектр, соответствующий положениям максимумов в динамическом структурном факторе, является универсальным свойством жидкостей,
4) коллективные возбуждения с фонон-ротонньтм спектром не имеют непосредственного отношения к явлению сверхтекучести.
Настоящая работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 14-19-01492).
Авторы благодарны А. Г. Загороднему, А. М. Игнатову, А. А. Рухадзе, А. Г. Храпаку и В. Эбелингу за полезные обсуждения работы.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 11, 592 (1941).
[2] Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 17, 91 (1947).
[3] М. Cohen and R. P. Feynman, Phys. Rev. 107, 13 (1957).
[4] E. M. Лифтпиц, Л. П. Питаевский, Статистическая, физика, часть 2 (М., Наука, 1978).
[5] Н. Palevsky, К. Otnes, К. Е. Larsson, et al., Phys. Rev. 108, 1346 (1957).
[6] J. L, Yarnell, G. P. Arnold, P. J. Bendt, and E. C. Kerr, Phys. Rev. 113, 1379 (1959).
[7] D. G. Henshaw and A. D. B. Woods, Phys. Rev. 121, 1266 (1961).
[8] A. Griffin, Excitations in а Вose-condensed Liquid (Cambridge University Press, Cambridge, 1993).
[9] С. Т. Беляев, ЖЭТФ 34, 417; 433 (1958).
[10] P. Xozieres and D. Pines, Theory of Quantum Liquids, vol. II: Superfluid Bose Liquids (Addison-Wesley, Redwood City, 1964).
[11] В. П. Силин, А. А. Рухадзе, Электромагнитные свойства плазмы, и плазм,оподоб-ны,х сред (М., Госатомнздат, 1961).
[12] А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялотпинский, Методы кватповой теории поля, в статистической физик,е (М., Наука, 1962).
[13] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифтпиц, Статистическая, физика, часть 1 (М., Наука, 1976).
[14] S. A. Trigger and P. P. J. M. Schräm, Physica В 228, 107 (1996).
[15] О. Penrose, Philos. Mag. 42, 1373 (1951).
[16] 0. Penrose and L. Onsager, Phys. Rev. 104, 576 (1956).
[17] H. H. Боголюбов, Изв. АН СССР, сер. физ. 11(1), 77 (1947) (X. X. Bogoliubov, J. Phys. USSR 11, 23 (1947)).
[18] X. Hugenholtz and D. Pines, Phys. Rev. 116, 489 (1959).
[19] J. Gavoret and P. Xozieres, Ann. Phys. 28, 349 (1964).
[20] T. Kita, Phys. Rev. В 81, 214513 (2010).
[21] G. Baym and L, Ivadanoff, Phys. Rev. 124, 287 (1961).
[22] G. Baym, Phys. Rev. 127, 1391 (1962).
[23] В. Б. Бобров, К). П. Власов, С. А. Тригер, ЖЭТФ 102, 107 (1992).
[24] V. В. Bobrov, S. A. Trigger, and Yu. P. Vlasov, Physica В 203, 95 (1994).
[25] A. M. Belyayev, V. B. Bobrov, and S. A. Trigger, J. Phys.: Condens. Matter 1, 9965 (1989).
[26] V. B. Bobrov, S. A. Trigger, and D. I. Litinski, arXiv: 1407.6184 [cond-mat.other] (2014).
[27] H. Godfrin, M. Meschke, H.-J. Lauter, et al., Nature 483, 576 (2012).
H. M. Böhm, R. Holler, E. Krotscheck, and M. Panholzer, Phys. Rev. В 22, 224505 (2010).
[29] V. В. Bobrov, S. A. Trigger, and I. M. Yurin, Phys. Lett. A 374, 1938 (2010).
[30] В. П. Пешков, ЖЭТФ 16, 1000 (1946) (V. P. Peshkov, J. Phys. USSR 10, 389 (1946)).
[31] L, P. Pitaevskii, J. Low Temp. Phys. 87, 127 (1992).
[32] В. Б. Бобров, С. А. Тригер, Краткие сообщения по физике ФИАН 40(6), 48 (2013).
[33] R. J. Donnelly, Quantized Vortices in Helium II (Cambridge University Press, Cambridge, 1991).
[34] M. S. Paoletti, D. P. Lathrop, Annual Rev. Cond. Matter Phys. 2, 213 (2011).
[35] D. Pines, Physics Today 34, 106 (1981).
Поступила в редакцию 24 сентября 2014 г.
