Внутренние эндоморфизмы полугруппы нестандартных слов и нестандартные динамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Хромова Г, В.. Молоденкова И. Д. Методы приближенного решения задачи восстановления функций: Учеб. пособие. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Ч. 2. 33 с.

5. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука. 1977. 508 с.

6. Молоденкова И. Д. Некоторые оценки точности приближений функций с помощью осредняюших операторов, сохраняющих сплайны // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 88 - 90.

УДК 519.4

В. А. Молчанов

ВНУТРЕННИЕ ЭНДОМОРФИЗМЫ ПОЛУГРУППЫ НЕСТАНДАРТНЫХ СЛОВ И НЕСТАНДАРТНЫЕ ДИНАМИКИ*

В статье [1] разработаны основы нестандартного подхода к теории конечных полугрупп, языков и автоматов. В настоящей статье изучается один из основных инструментов нестандартной теории псевдомногообразий - полугруппа нестандартных слов.

После открытия С. Эйленбергом [2] соответствия между потоками рациональных языков и псевдомногообразиями конечных полугрупп теория псевдомногообразий представляет собой одно из важнейших и интенсивно развивающихся направлений современной прикладной алгебры. Разнообразные подходы к теории псевдомногообразий разработаны С. Эйленбергом, МП. Шютденберже, Ж.-Э. Пэном, Дж. Алмейдой и многими другими (обзор [3]). Один из последних подходов к этой теории был разработан на основе методов нестандартного анализа [4]. Результаты работ [1, 5] позволяют характеризовать псевдомногообразия конечных полугрупп тождествами нестандартного языка узкого исчисления предикатов над конечным алфавитом А и исследовать такие псевдомногообразия и соответствующие им потоки рациональных языков с помощью нестандартного расширения *ЩА) полугруппы слов ЩА).

В этой статье исследуются эндоморфизмы полугруппы *ЩА) с целью разработки методов конструирования нестандартных слов, необходимых для изучения различных псевдомногообразий конечных полугрупп.

В статье используются основные понятия теории полугрупп [6] и нестандартного анализа [4]. Напомним, что главная идея нестандартного анализа заключается в использовании отображения * стандартного теоретико-множественного универсума U = V(S) над исходным множеством атомов 5 в собственную подструктуру *U нового теоретико-множествен-ного универсума У( *У) над расширенным множеством атомов *S, так что выполняется следующий принцип переноса: для любых A¡, ..., Ап е U любое утверждение логики первого порядка с ограниченными кванторами

* Работа выполнена при финансовой поддержке INTAS (проект 99-1224).

79

<р = ф(.>:..хп) истинно в V тогда и только тогда, когда ф истинно в *1> для нестандартных расширений *А\, ...,*Ап. Множество А е У(*$) называется внутренним, если А в*и.

Пусть А - конечное множество и ЩА) — полугруппа слов над алфавитом А, наделенная операцией конкатенации. Любое слово IV а,...а„ из ЩА) может быть отождествлено с таким отображением/: [1,и] -> А сегмента [1,и] натурального ряда N в множество А, что а, =Дг) для каждого / = 1 ,п. Тогда по принципу переноса нестандартное расширение *1У(А) полугруппы ЩА) является полугруппой всех внутренних отображений сегментов [1 ,п] ряда *N в конечное множество А, которые можно рассматривать как нестандартные слова над алфавитом А. Множество всех одноэлементных делителей слова м>е * ЩА) называется содержанием этого слова и обозначается с{ы). Слово и' имеет полное содержание, если с(м>) = А.

Как известно [6], любое многообразие полугрупп полностью определяется своими свободными объектами, которые являются фактор-полугруппами полугруппы слов ЩА) над алфавитом А по полной инвариантной конгруэнции, порожденной тождествами этого многообразия от \А переменных.

Нестандартный подход к теории конечных полугрупп позволяет' модифицировать эту технику и конструировать для псевдомногообразия конечных полугрупп К свободный объект 1к{А) над алфавитом А в виде фактор-полугруппы полугруппы нестандартных слов *ЩА) по инвариантной нестандартной конгруэнции, порожденной нестандартными тождествами псевдомногообразия К от \А\ переменных (подробнее см. [5]). В общем случае этот объект /-\{А) является компактной топологической полугруппой, содержащей необходимую информацию о всех полугруппах псевдомногообразия К.

В частности, для псевдомногообразия всех конечных полугрупп Sg свободный объект F(A) над алфавитом А представляется в виде фактор-полугруппы полуг руппы * ЩА) по инвариантной нестандартной конгруэнции:

е = О { кег */ : f- гомоморфизм ЩА) в конечную полугруппу 5 }.

Нетрудно убедиться, что если для нестандартных слов и, V е * ЩА) выполняется условие и = V (е), то эти слова имеют одинаковые конечные делители, одинаковые конечные префиксы и одинаковые конечные суффиксы. Далее при исследовании свободного объекта /•\А) псездомногооб-разия будем отождествлять с-эквивалентные нестандартные слова и вместо и =у (г) писать и = V.

Пусть Л = {хь ...,хт) и / - эндоморфизм полугруппы слов ЩА). Тогда для любого слова и' = а\...а„ из ЩА) выполняется равенство Лм>) =/(а\...аг) =_/(а1)...Да„), т. е. значение ДиО является результатом подстановки в слово \\г вместо входящих в него букв из последовательности

хи...,хт соответствующих слов м, - /fx,) (/" = ],w). Следовательно, эндоморфизм / полностью определяется своими значениями на элементах .V t А и соответствие /-> (f(x\),...f{xm)) if е End ЩА)) является изоморфизмом полугруппы эндоморфизмов End W(A) на m-ю декартову степень ЩА)'" полугруппы ЩА), наделенную следующей операцией композиции:

(и,.....ит) ■ (v¡„. ,,vm) = (mi(v,,...,v„),...,Mm(vb...,vm)),

где u¡, v e W и w,(vb...,vm) - слово, полученное в результате подстановки в слово u¡ вместо входящих в него букв из последовательности X],...¿cm соответствующих СЛОВ V],.. ,,v„.

По принципу переноса нестандартное расширение *End ЩА) полугруппы эндоморфизмов End ЩА) является полугруппой всех внутренних эндоморфизмов полугруппы нестандартных слов *ЩА). При этом по-прежнему любой эндоморфизм / s*End ЩА) полностью определяется своими значениями на элементах х е А, и соответствие / —> (ßx\),...J(xm)) (f е *End ЩА)) является изоморфизмом полугруппы *End W(A) на полугруппу *ЩА)т.

Пусть / € *End ЩА) и u¡ = flx¡) (/ = 1,m). Тогда для любого w е*ЩА) значение flw) — w(u],...,um) и условие w = w\ влечет w(ßi,...,um)= = W](u\,...,um). Следовательно, упорядоченный набор т нестандартных слов й - (u\,...,um) определяет преобразование полугруппы F(A), которое непрерывно относительно компактной топологии на этой полугруппе и может рассматриваться как топологическая динамическая система на пространстве Е(А), При этом элемент и е*ЩА)т будет также называться нестандартной динамикой.

Напомним, что точка Р динамической системы (F(A).J) называется рекуррентной, если она является пределом некоторой подпоследовательности последовательности значений {/"(Р)}. Множество всех рекуррентных точек такой динамической системы обозначим символом Reef.

ТЕОРЕМА 1. Для любого внутреннего эндоморфизма/полугруппы *W(A) справедливы следующие утверждения:

1) множество Ree /состоит из всех таких we * ЩА), что/ (и) = w для некоторого бесконечного числа k е *N;

2) множество Ree/совпадает с множеством значений отображения f k для любого бесконечного числа к е *N;

3) ограничение отображения / на множестве Reef является перестановкой этого множества.

Внутренние эндоморфизмы полугруппы нестандартных слов *W(A) позволяют конструировать нестандартные слова, с помощью которых описываются важные псевдомногообразия конечных полугрупп [7].

ТЕОРЕМА 2. Если все компоненты нестандартной динамики й е *ЩА)т имеют полное содержание, то для любого бесконечного числа к е *;V компоненты динамики и к регулярны и J-эквивалентны [6] между

собой. Если к тому же для некоторого ri е N компоненты динамики и" имеют одинаковые первые буквы и одинаковые последние буквы, то компоненты динамики ик являются Я-эквивалентными [6] между собой групповыми элементами.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Molchanov V.A. Nonstandard characterization of pseudovarieties // Algebra Universalis. 1995. Vol. 33. P. 533-547.

2. EilenbergS. Automata, Languages and Machines. Vol. B. N. Y.: Academic Press,

1976.

3. Almeida J. On pseudovarieties, varieties of languages, filters of congruences, pseudoidentities and related topics//Algebra Universalis. 1990. Vol. 27. P. 333 - 350.

4. Альбеверио С., Фенстад Й., Хеэг-Крон Р., Линдстрем Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике. М.: Мир. 1990.

5. Molchanov V.A. Nonstandard congruences and lattices of pseudovarieties // Semigroups, automata and languages. Singapore; New Jersey; L.: World Scientific, 1996. P. 183- 193.

6. Лаллеман Ж. Полугруппы и комбинаторные приложения. М.: Мир, 1985.

7. Almeida.). Dinamics of implicit operations and tameness of pseudovarieties of groups // Trans. Amer. Math. Soc. 2002. Vol. 354, P. 387 - 411.

УДК 519.4

В. Е. Новиков

О КОНЦЕПТУАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ НА КОНТЕКСТЕ С МНОГОМЕРНЫМИ АТРИБУТАМИ*

В настоящей статье даётся обзор основных результатов работ [1, 2] и продолжается исследование взаимосвязи концептуального анализа [3] с теорией распознавания образов [4].

Напомним необходимые понятия теории концептуального анализа систем с многомерными атрибутами. Пусть р с:М] х ■ • • х М„ - и-арное отношение. Обозначим: и :=(1,2,...,«), М-ц := М, х• • • х М„ и г5 := (г,,^,—

х- .....X/ ), М- := М-ч х•■ ■ х М1< для произвольных

1 < г, <•■• < и . При этом также обозначаем /( с; п . Будем говорить, что у-система х- входит в отношение р, если существует я-система хд е р, для которой элементы х, являются её соответствующими ком-

понентами.

Для 4,/¡ей, а; е М) , X с М} обозначим:

п]к(рУ-=^У]1 еМ]к IУ}„ входитвр}, Ст|я4;(р):={% 6 РК,

* Работа выполнена при финансовой поддержке INTAS (проект 99-1224).

82