Нестандартная конструкция ядра свободной проконечной полугруппы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Выбираем дугу геодезической длиной с/. Расчетные формулы для определения и - координаты левого конца геодезической строятся аналогично (6).

С помощью переразложения соотношений (3) - (8) легко построить образы на поверхности детали остальных сторон элементарного прямоугольника и найти точку их пересечения. Тогда по оценке деформации сторон можно построить условия неприлегания ленты и максимума деформации. Учет толщины ленты элементарен

С помощью предельного перехода 0 можно получить дифференциальные соотношения, описывающие локальное отображение ленты на поверхность детали. Но для расчета процесса тогда придется строить дискретную модель, основанную на полиномиальных интерполяционных зависимостях. Предложенный подход, основанный на локальных разложениях, фактически представляет собой аналогичную расчетную схему.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1 Фокс А , П/ютт М. Вычислительная геометрия М.: Мир, 1982

УДК 519.4

В. А. Молчанов

НЕСТАНДАРТНАЯ КОНСТРУКЦИЯ ЯДРА СВОБОДНОЙ ПРОКОНЕЧНОЙ ПОЛУГРУППЫ*

В основе исследования комбинаторных аспектов теории формальных языков логико-алгебраическими методами лежит известное соответствие Эйленберга [1] между потоками распознаваемых языков и псевдомногообразиями (то есть 5Я/у;л-зам кнуты ми классами) конечных полугрупп. В работе [2] с помощью методов нестандартного анализа [3] автором получен аналог известной теоремы Биркгофа о структурной характеристике многообразий, который показывает, что псевдомногообразия являются классами конечных полугрупп, аксиоматизируемыми нестандартными тождествами. На основе нестандартной конструкции пополнений равномерных алгебраических систем [4] над каждым псевдомногообразием полугрупп V для произвольного множества А естественно определяется свободный объект 17\{А), который является проконечной (то есть компактной и вполне несвязной) полугруппой и который полностью характеризует А-порожденные полугруппы псевдомногообразия V Исследования Дж Альмейды, М. Волкова, Н. Релли и других показывают, что ядра (то есть наименьшие замкнутые идеалы) таких полугрупп играют важную роль в изучении проблемы аксиоматизации псевдомногообразий. В на-

" Работа выполнена при поддержке ГЫТАБ, грант № 99-1224

99

стоящей статье приводится нестандартная конструкция ядра свободной проконечной полугруппы над псевдомногообразием всех конечных полугрупп.

В статье используются основные понятия теории полугрупп [1] и универсальной алгебры [5], а также методы нестандартного анализа из [3].

Напомним, что любая компактная полугруппа Ь1 имеет наименьший замкнутый идеал, который называется ее ядром и обозначается К.ч

ЛЕММА 1 Если / - непрерывный гомоморфизм компактной полугруппы 5 на конечную полугруппу Т, то ./{£.?) = Кт.

Доказательство Так как ЛКя) и /"' (Кт) - замкнутые идеалы полугрупп Т и 5 соответственно, то

КтсМз), К5с/л(Кт), /(/Су) с Кт, ЛК*) = Кт. Пусть А - конечное множество, IV = ЩА) - полугруппа слов над А и IV,, - множество слов, длина которых не превосходит числа п . Если для слов и,ч,ч> е IV выполняется равенство м/ - ну, то слово и (соответственно у) называется префиксом (соответственно суффиксом) слова ус. Подмножество Ь полугруппы И7 называется распознаваемым, если найдется такой гомоморфизм / полугруппы ¡V в конечную полугруппу 5, что Ь = /"'(/') для некоторого Р с 5.

Как известно [2], любое отображение / множества А в конечную полугруппу 5 естественно продолжается до гомоморфизма /: И' —> 5 и нестандартно расширяется до гомоморфизма /: \У —> 5. Ядра кег/ таких гомоморфизмов /: IV—* 5 образуют направленное вниз по включению семейство конгруэнций конечного индекса на полугруппе IV, которое полностью характеризуется своей монадой [3]

е = п { кег / : / - гомоморфизм IV в конечную полугруппу ¿> }. Из результатов [2,4] следует, что топологическая фактор-полугруппа ¡У/г нестандартного расширения IV по конгруэнции е является свободной проконечной полугруппой 1\А) над псевдомногообразием всех конечных полугрупп. Компактная полугруппа Р(А) имеет ядро КцА)

Рассмотрим слово уу е IV длины п и главный идеал 1 = (уу) полу-фуппы IV, порожденный этим словом н\ Обозначим символом /' (соответственно 5) множество всех префиксов (соответственно суффиксов) слова и\ Для слова и е IV символом Ь$(и) (соответственно ер(и)) обозначим максимальный по длине префикс (соответственно суффикс) слова и, принадлежащий множеству 5 (соответственно Р) Каждая пара слов е Рх Б определяет множество слов

Хр., = (кеИЖи/): Ы") а Ь£и) = У }. ЛЕММА 2. Одноэлементные множества {и} (где и е \Уп \ {и'} ), идеал / и семейство множеств Хр(где е Рх 5") образуют конечное

разбиение множества IV, которое определяет на полугруппе IV конгруэнцию конечного индекса 9»,-

Доказательство. Легко видеть, что перечисленные в формулировке леммы множества определяют на множестве (V отношение эквивалентности конечного индекса 9„ . Убедимся, что из и = V (0„), щ = VI (9„) следует ии\ = уу1 (9« ) Остановимся на нетривиальном случае, когда и, и\ 6 №„и I. Тогда слова и, и ] не делятся на м/ и выполняются равенства ер{и) = ер{\\ ¿>.<«1)= Ь^у0, еК"1) = Ы^)-Следовательно, = е^Ь^/) и условие ии\ е / равно-

сильно тому, что уу] б 1 Кроме того, Ь^ии^ = Ь^{и) = у) = Л.^уу;) и аналогично ер(ии\) = вр{уу\), так как длины слов и, и\ больше, чем число п. Значит, в любом случае ии\ = уу] (9„), то есть 9„ - конгруэнция на полугруппе IV.

Следствие 1. Главные идеалы полугруппы слов V/ являются распознаваемыми подмножествами

ТЕОРЕМА. Пусть М = п { (и-) : и- е И'} - монада семейства главных идеалов полугруппы слов IV. Тогда М - не пустой идеал полугруппы '(V, для которого г(М)аМ и фактор-полугруппа М/г = Кцл)

Доказательство. По следствию 1 для любого слова ы е IV главный идеал (и») насыщен относительно конгруэнции 9* Отсюда по принципу переноса [3] получаем, что нестандартное расширение *(и>) является идеалом полугруппы IV, насыщенным относительно конгруэнции 8„ Так как е с в, , то е( (к*)) с (ус). Следовательно, множество М является идеалом полугруппы IV и е(М) с М. Кроме того, семейство главных идеалов полугруппы слов IV направлено вниз по включению и, следовательно, его монада М * 0. Поскольку все множества (и/) насыщены относительно е, то

МУе = (п { : и- е { \м>)1е : \velY). (1)

Так как открыто-замкнутые подмножества образуют базу вполне несвязного топологического пространства, то ядро Кдл) проконечной полугруппы 1\А) представляется в следующем виде:

Кр^) = п { X: КПа) с= X - открыто-замкнутое подмножество Р(А)}. По построению нестандартного пополнения равномерной алгебраической системы в [4] открыто-замкнутое подмножество X полугруппы Р(А) представляется в виде X = /А, где /, - некоторое распознаваемое подмножество полугруппы И7. Известно [1], что каждое такое подмножество Ь определяет на полугруппе IV синтаксическую конгруэнцию конечного индекса Ст/. . При этом канонический гомоморфизм X полугруппы IV на конечную фактор-полугруппу 5 = и подмножество Р = ¿/<т/. полу-группы .V удовлетворяют условию I, = Х\Р). Тогда по принципу переноса [3] нестандартное расширение -.'¡V Я является гомоморфизмом,

для которого 'L = \'\Р). Так как е с а/., то по третьей теореме об изоморфизмах [5] для канонического гомоморфизма г . W -> F(/i) существует такой гомоморфизм /: F(/4) —> что ~К =/• е . Отсюда следует, что 'L = V(/>) = Е." W)X g(*i) =/"'(П '¿/Е

Очевидно также, что I идеал полугруппы W в том и только том случае, если Р идеал полугруппы S . Следовательно, ядро K}.w можно представить в виде

£/=М)= n {f \P) f F(A) -> S - конечная полугруппа, Р с S и Кщ)с/'\Р).

Поскольку для таких подмножеств Р по лемме 1 Ks=J{Kf\A)) а Р, то в силу следствия 1 и формулы (1) выполняются равенства КрА) = гл {f'\P): /: F(A) -> 5 - конечная полугруппа и Р идеал S } = = n { Liz : L - распознаваемый идеал полугруппы W} = = n { *(w)/E : w е W} = Me.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лаплеман Ж. Полугруппы и комбинаторные приложения М : Мир, 1985

2. Molchanov V.A. Nonstandard characterization of pseudovarieties // Algebra Universalis 1995. Vol 33. P. 533 - 547.

3. Альбеверио С., Фенстад Й., Хеэг-Крон Р., Линдстрсм Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике М Мир, 1990.

4. Молчанов R.A. Нестандартные расширения равномерных алгебраических систем // Сибирский математический журнал. 1994 Т. 35, № 5. С. 1094 - 1105.

5. Кон П. Универсальная алгебра М.: Мир, 1968.

УДК 513.88

Е. В. Назарова

О РАВНОСХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ЯДРАМИ, РАЗРЫВНЫМИ НА ДИАГОНАЛЯХ"

В пространстве ¿2[0,1] рассматривается интегральный оператор

X 1

А/(х) = а11А1(х,0/0У11 + а21л2(х,0/(М +

о х

1-х 1

+ а3 \ Лз(1-х,0/(0Л + а4 \А^\-х,1)/т (1)

о 1-*

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 00-01-00075, и программы «Ведущие научные школы», проект N»00-15-96123.