Отношения Грина на полугруппах нестандартных слов Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.А. Молчанов

УДК 519.4

ОТНОШЕНИЯ ГРИНА НА ПОЛУГРУППАХ НЕСТАНДАРТНЫХ СЛОВ

В работе [1] разработан нестандартный подход к теории псевдомногообразий, который позволяет характеризовать псевдомногообразия в терминах нестандартных тождеств с помощью нестандартных слов над конечным алфавитом.

Для конечного множества А = {х1,..., хт} символом W = W(А) обозначим полугруппу слов над алфавитом А с операцией конкатенации. По принципу переноса нестандартное расширение *W = *W (А) полугруппы W является полугруппой всех нестандартных слов над алфавитом А с операцией конкатенации. Слово и € *W называется конечным, если и € W, и бесконечным в противном случае. Символом W1 = W(А)1 обозначим моноид слов над алфавитом А с операцией конкатенации, единичным элементом которого является пустое слово Л. Тогда *W1 = *W (А)1 - моноид всех нестандартных слов над алфавитом А Л.

Как известно [2], каждый элемент и € *W порождает в полугруппе главный идеал I(и) = *W1 •и•*Wправый главный идеал Я(и) = и•*W1 и левый главный идеал Ь(и) = *W1 • и. С помощью этих идеалов па полугруппе *W (А) определяются отношения Грина <J, и <с по формулам: и <J V ^ I(и) С I(-и), и <п V ^ Я(и) С Я("у) и и <с V ^ Ь(и) С ). Очевидно, что эти отношения являются

квазипорядками на множестве соответствующие симметричные

-1 -1 части которых — отношения Грина J =<j П , ^ =<п П <и и -1

С =<с П <£ — являются эквивалентностями на множестве

В настоящей статье исследуются свойства отношений Грина на полугруппе нестандартных слов и рассматриваются приложения этих

А

Так как в полугруппе слов *W не выполняются никакие соотношения, то для слов и,- € ^^давие и V равносильно тому, что и = = х-у для некоторых х,у € *W1, т.е. слово V является подсловом слова и. Аналогично условие и V равносильно тому, что и = vx для некоторого х € * W1, т.е. слово V является префиксом слова и, и условие и <с V равносильно тому, что и = XV для некоторого х € *W1, т.е. слово V является суффиксом слова и.

Для слова и Е обозначим Г(и) множество всех конечных

подслов и. Слово и Е называется рекуррентным, если для любого и Е Г (и) найдется такое с лово V, что иуи Е Г (и), и равномерно рекуррентным,, если это слово и бесконечно и Г (и) = Г (и) для любого бесконечного поде лова и слова и.

Теорема 1. Длл любых бесконечных слов Е *W справедливы следующие утверждения: 1) если Г (у) С Г (и), то найдется такой бесконечный префикс и слова V, что и = хиу для некоторых слов х,у Е *W1; 2) услов ие и <J V влечет, Г (у) С Г (и); 3) если сл ово и рекуррентно, то найдется такой бесконечный префикс и слова, и, что и = хиуиг для некоторых слов х,у,г Е *W1.

Теорема 2. Если равномерно рекуррентные слова, Е *W

удовлетворяют условию Г (у) С Г (и), то найдется такое подслово и слова, и, что и <и р и и <с д для некоторого бесконечного префикса р слова, V и некоторого бесконечного суффикса д слова V.

Из [1] следует, что полугруппа нестандартных слов и ее фактор-полугруппы кодируют в своей структуре общие алгебраически-комбинаторные свойства членов соответствующих псевдомногообразий. В частности, для псевдомногообразия всех конечных полугрупп Sg свободный объект над множеств ом А является частным полу группы *W по конгруэнции £ = Р|{кег */ : / есть гомоморфизм W в конечную полугруппу Б.

Как показано в [4], фактор-полугруппа Г (А) = *W/£ является нестандартной интерпретацией свободной проконечной полугруппы ^^^ всех ш-арных неявных операций над псевдомногообразием Sg,

А

топологическая полугруппа и для любой полугруппы Б Е Sg и любого отображения в : А ^ Б существует такой равномерно непрерывный гомоморфизм р : Г (А) ^ Б, что р ◦ гА = в для канонического отображения г а : А ^ Г (А).

С помощью [1, теорема 4.2] получаем следующий результат.

Теорема 3. Пусть для некоторых нестандартных слов и,у Е Е *W уравнение и = хуу имеет решение в каждой конечной полугруппе Б. Тогда найдутся такие нестандартные слова, в,Ь Е Е *W, что нестандартное тождество и = буЬ будет выполняться в псевдомногообразии Sg.

В частности, изложенные результаты дают очень короткие и элементарные комбинаторные доказательства свойств свободной проко-

нечной полугруппы F (A), полученных ранее Дж. Алмейдой и М. Волковым в работах [3, 5].

Следствие. Свободная проконечная полугруппа F (A) удовлетворяет, следующим свойствам:

1) слово w G *W равномерно рекуррентно в том и только том случае, если w является J-максимальным элементом в множестве F (A) \ W ;

F(A)

J

3) если w G *W является равномерно рекуррентным словом, то для любого v G J (w) найдется подслово и слова w, такое что u = v(H) для от,ношения, Грина H = R П L;

4) для бесконечного слова w G *W множество F (w) в том

w

равномерно рекуррентным периодическим словом, т.е. w = un(J) для некоторого u G W и n G *N.

Полученные результаты применяются в теории псевдомногообразий для аксиоматизации нестандартными тождествами важных классов конечных полугрупп.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Moïchanov V.A. Nonstandard characterization of pseudovarieties // Algebra Universalis. 1995. Vol. 33. P. 533-547.

2. Лаллемап Ж. Полугруппы и комбинаторные приложения. М,: Мир, 1985.

3. Almeida J., Volkov M. V. Subword complexity of profinite words and subgroups of free prosemigroups // Intern. J. Algebra Comput. 2006. Vol. 16. P. 221-258.

4. Moïchanov V.A. Nonstandard free objects over pseudovarieties of finite algebraic systems // Contributions to General Algebra 16, Proceedings of the Dresden Conference 2004 (AAA68) and the Summer School 2004, Verlag Johannes Hevn, Klagenfurt, 2005. P. 145-154.

5. Almeida J. Profinite groups associated with weakly primitive substitutions // J. Mathematical Sciences. 2007. Vol. 144, № 2. P. 3881-3903."