CC BY
12
решением (или одним из решений) задачи (1). Если при этом, например, <р\(С*) > (О*), то для любого вектора коэффициентов О, удовлетворяющего неравенству ф\(С*) > (О), тара А = ^С* + ^ /2,
В = ^С* — /2 будет одним из решений задачи (1). Таким образом, очевидно, в этом случае решение задачи (1) будет не единственным. Тем самым мы показали, что справедлива
Теорема 2. Для того, чтобы пара (А*, В*) была единственным решением задачи (1), необходимо и достаточно, чтобы вектор коэффициентов С * = А* + В * был решением задачи (2), а, вектор коэффициентов О* = А* — В * - решением задачи (3), и при этом <р\(С *) = <р2(О*).
Работа выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки РФ (проект № 1.1520.20Ц/К).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация, М, : Наука, 1981. 384 с.
2, Демьянов В. Ф., Малоземцев В. Н. Введение в минимаке, М, : Наука, 1972, 368 е.
3, Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, М, : Наука, 1977, 512 е,
4, Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи, М, : Наука, 1980, 320 е.
УДК 512.531.2, 512.57
В. А. Молчанов
НЕСТАНДАРТНАЯ ТЕОРЕМА КОМПАКТНОСТИ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ
После открытия [1] взаимосвязи между потоками рациональных языков и псевдомногообразиями полугрупп (т.е. классами конечных полугрупп, замкнутых относительно формирования гомоморфных образов, подподполугрупп и конечных прямых произведений) теория псевдомногообразий представляет собой одно из актуальных направлений современной алгебры, которое имеет важные приложения в таких разделах компьютерной науки, как теория формальных языков и конечных автоматов. Этим объясняется значительный интерес к разнообразным альтернативным методам исследования псевдомногообразий конечных алгебраических систем. Основные результаты в этом направлении были получены С. Эйленбергом и М. П. Шютценберже, Ж. -Э. Пэном и П. Вей-лем, Д. Тьереном, К. Дж. Ашем, Дж. Рейтерманом, Дж. Алмейдой и
многими другими (см. обзор [2]). Как показывают исследования, один из наиболее последовательных подходов к теории псевдомногообразий может быть основан на принципах нестандартного анализа А. Робинсона [3]: результаты работ [4-6] позволяют охарактеризовать псевдомногообразия конечных алгебраических О-систем тождествами нестандартного языка узкого исчисления предикатов и исследовать такие псевдомногообразия и соответствующие им потоки рациональных языков с помощью нестандартного расширения алгебры О-слов.
В настоящей работе на основе методов нестандартного анализа получена теорема компактности для конечных алгебраических систем и показаны некоторые важные приложения этой теоремы в теории псевдомногообразий .
Пусть О обозначает произвольный фиксированный тип алгебраических систем с конечным числом предикатных символов. Для описания свойств алгебраических О-систем используется нестандартный формальный язык Сх над алфавитом X такой, что нестандартными термами языка Сх являются элементы нестандартного расширения О-алгеб-ры W = WQ(X) О-слов над алфавитом X. Формулы Сх строятся обычным образом с помощью пропозициональных связок и кванторов из нестандартных тождеств (т.е. атомных формул вида Ь1 = Ь2, Р (Ь1,..., Ьп), где Ь1,...,Ьп Е и ^ - п-арный предикатный символ из О). Интерпретация языка Сх в конечной алгебраической О-системе А определяется с помощью отображения в : X ^ А, которое канонически продолжается до гомоморфизма *в : *W ^ А.
С помощью принципов нестандартного анализа получена следующая теорема компактности.
Теорема. Пусть В - алгебраичеекая О-система, Т - семейство конгруэнции, на системе В, упорядоченное теоретико-множественным включением, направленным вниз, иТ; (г = 1,..., к) - семейства внутренних подмножеств нестандартного расширения *В, упорядоченные теоретико-множественным включением направленно вниз. Тогда для любой позитивной формулы <(х1,... , хп, у1,... , ук) узкого исчисления
О
1) для любых е € Т, ^ Е Т; (г = 1,... ,к) фактор-система *В/*е удовлетворяет свойству
(4x1,... ,Хп)(Зу 1 Е Г1,...,у& Е ) <р(х1, ...,Хп,У1,..., у к);
2) найдутся такие элементы Ъ; Е : Fi Е Т;} (г = 1, к), что
для конгруэнции д = Р|{*£ : £ € Т} фактор-система *В/д удовлетворяет свойству
(Ухь ...,Хп) .. .,Хи,д(Ь\),.. ., д(Ьк)).
Следствие 1. Пусть Я - класс конечных алгебраических О.-систем, замкнутый относительно формирования подсистем и конечных прямых произведений и пусть для натуральных чисел п, к , ХП1 Хп+1 , ... , Хп+к) (з € 3) - позитивная формула языка Су над алфавитом У = {хх,..., жп, хп+х,..., хп+к}. Если класс Я удовлетворяет условию
(УхЬ . . . , Хп)(ЗХп+1, . . . , Хп+кМХ1, . . .
, xn, Хп+1, ... , Хп+к ) ,
то существуют такие нестандартные термы I{ = 1.1(х1,..., хп) (г = = 1, к) язык а С х над алфави том X = {х1,..., жп}, что кл асс Я удовлетворяет условию
(УхЬ . . . ,Хп)^(х1, . . .,Хп,Ь (Х1, ... ,Хп),... ,£к(ж1,... ,Хп)).
По определению [7] п-арпой неявной операцией на классе алгебраических О-систем Я называется семейство (па)а€я таких отображений па : Ап ^ А, что для всех гомоморфизмов ^ : А ^ В любых систем А, В € Я выполняется равенство па•р = •пв. Множество всехп-арных неявных операций па классе Я обозначается ОпЯ и имеет структуру алгебраической О-системы.
Я
ческих О-систем и п п-арная неявная операция на классе Я. Тогда, найдется такой нестандартный терм £ = £(х1,..., жп) языка Сх над алфавитом X = {х1,...,хп}, что для любых А € Я и а1,...,ап € А выполняется условие
пА(а1,... ,ап) = £(а1,... ,ап). п
ЯО
ются элементами множества *Wп(X) над алфавитом X = {ж1,..., жп}. На этом множестве естественно определяется алгебраическая структура О
—1
В = {*в •* в : А € Я и в : X ^ А}.
При отождествлении нестандартных термов, определяющих одинаковые n-арные неявные операции на классе K, получается эквивалентность £ на множестве *Wq (X) и равномерная алгебраическая О-системa *Wq(X)/е с Хаусдорфовой компактной вполне несвязной топологией. Эта система является нестандартной конструкцией алгебраической О-системы всех п-арных неявных one раций О nK на классе K. Нетрудно убедиться, что система *Wq(X)/е является свободным объектом с п порождающими для систем из класса K.
Последний результат показывает, что многие проблемы теории псевдомногообразий, базирующиеся на понятии неявной операции, могут быть сведены к теории нестандартных многообразий.
Оп ция п на классе полугрупп Я называется регулярной, если она является регулярным элементом полугруппы ОпЯ всех п-арных неявных операций па K, т.е. выполняется условие п = п • д • п для некоторой п-арной неявной операции д на классе полуг рупп K.
Следствие 3 [8]. Пусть Я - псевдомногообразие конечных полугрупп и п = (па)Лея ~ п-арная неявная операция на классе K. Тогда, п в том и только том случае будет регулярной операцией, если она поточечно регулярна, т.е. для любых A е Яи a\,... ,an е A элемент пл(а1}...} an) регулярен в полугруппе A.
Например, для доказательства последнего результата достаточно убе-
п
ет ее регулярность в полугруппе ОпЯ. Так как в силу следствия 2 пп
tn = tn(x\,..., xn), то класс Я удовлетворяет условию
(УХ\ ) ... ) xn)(^x)tn (xll ... 1 xn) • x • tn (xll ... 1 xn) tn (xll ... 1 xn) .
Значит, по следствию 1 для некоторого нестандартного терма
t — t (x 1, . . . , x n) класс Я удовлетворяет условию
(Vxl ^ ... ^ xn)tn (xl^ ... ^ xn) • t(xh ... i xn) • tn (xl1 ... 1 xn) tn (xl^ ... ^ xn) .
Тогда нестандартный терм t(x1}... 5 xn) определяет на классе Я п-арную неявную операцию д5 которая удовлетворяет условию п • д • п = п5 т.е. п-регулярный элемент полугруппы ОпЯ.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Eilenberg S. Automata, Languages and Machines, V, B, Academic Press, N. Y,, 1976. 403 p.
2. Almeida J. On pseudovarieties, varieties of languages, filters of congruences, pseudoidentities and related topics // Algebra Universalis. 1990. Vol. 27. P. 333-350.
3. Альбеверио С., Фепстад И., Хеэг-Кроп Р., Липдстрем Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике. М, : Мир, 1990. 616 с.
4. Molchanov V. A. Nonstandard characterization of pseudovarieties // Algebra Universalis. 1995. Vol. 33. P. 533-547.
5. Molchanov V. A. Nonstandard congruences and lattices of pseudovarieties // Semigroups, automata and languages / ed. J. Almeida. Wold Scientific. Singapore ; New Jersey ; London, 1996. P. 183-193.
6. Molchanov V.A. Nonstandard free objects over pseudovarieties of finite algebraic systems // Contributions to General Algebra 16, Proceedings of the Dresden Conference 2004 (AAA68) and the Summer School 2004. Verlag Johannes Heyn. Klagenfurt, 2005. P. 145-154.
7. Almeida J. The algebra of implicit operations // Algebra Universalis. 1989. Vol. 26. P. 16-32.
8. Almeida J., Azevedo A. On regular implicit operations // Portugaliae Mathematica. 1993. Vol. 50. № 1. P. 35-61.
УДК 517.51
М.Д. MyiTTKO О ДВОИЧНЫХ БАЗИСНЫХ СПЛАЙНАХ
При практических вычислениях сплайн-функции удобно представлять как линейную комбинацию базисных сплайнов(В-сплайнов). Возможность такого представления доказывается в теореме Карри-Шенберга [1]. Мы докажем это утверждение для двоичных сплайнов второй степени. Подробнее о сплайнах второй степени можно посмотреть в [2]. Рассмотрим функцию Уолша W3. Проинтегрировав эту функцию один раз, мы получим функцию Мартенса-Терехина С(х) = 4 /0 W3(t)dt. При помощи функции Мартенса-Терехина образуем функцию р следующим образом:
пX
р(х) = 4х[о,1](х) С(^, (1)
Jo
где Х[о,1](х) ~ эт0 характеристическая функция отрезка [0,1]. Рассмотрим систему сдвигов функции (х)}кеъ, гДе (к(х) = ^р(х — |).
Теорема 1. Для любого х € [0,1} выполняется следующее условие:
3
Е Рк(х) = 1. (2)
к=—3
